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Exercice 18 — Une spirale de triangles

Exercice 18

Dossier BAC — Fonctions cosinus et sinus Fonctions cosinus et sinus

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Adapté du BAC S Centres étrangers, 10 juin 2016, exercice 4

On modélise une coquille de nautile par une ligne brisée. Dans un repère orthonormé, pour un entier $n\geqslant3$ et $0\leqslant k\leqslant n$, on définit $M_k\left(\left(1+\frac kn\right)\cos\frac{2k\pi}{n}\ ;\ \left(1+\frac kn\right)\sin\frac{2k\pi}{n}\right).$ La ligne brisée relie les points $M_0,\ldots,M_n$.

Partie A — Sept points ($n=6$)

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Déterminer les coordonnées de $M_1$.
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Calculer la hauteur issue de $M_1$ dans OM$_0$M$_1$, puis établir que l’aire de ce triangle vaut $7\sqrt3/24$.
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Partie B — $n+1$ points

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Déterminer $OM_k$ pour $0\leqslant k\leqslant n$.
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Déterminer une mesure des angles orientés entre l’axe horizontal et $\overrightarrow{OM_k}$, puis $\overrightarrow{OM_{k+1}}$. En déduire une mesure de l’angle entre ces deux vecteurs.
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Montrer que la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans OM$_k$M$_{k+1}$ vaut $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\sin\dfrac{2\pi}{n}$.
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On admet que l’aire de ce triangle est $a_k=\frac12\sin\frac{2\pi}{n}\left(1+\frac kn\right)\left(1+\frac{k+1}{n}\right),$ et que l’aire totale vaut $A_n=a_0+\cdots+a_{n-1}$. Le programme ci-dessous traduit l’algorithme officiel.
```
from math import sin, pi
def aire(n):
    A = 0
    for k in range(n):
        A = A + 0.5*sin(2*pi/n)*(1+k/n)*(1+(k+1)/n)
    return A
```
Pour $n=10$, compléter les deux dernières cases du tableau donnant les valeurs cumulées de A, arrondies au millième après chaque itération.

$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$A$ 0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726

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On admet $A_2=0$ et $\lim_{n\to+\infty}A_n=7\pi/3$. Compléter exactement les deux trous pour déterminer le plus petit $n$ tel que $A_n\geqslant7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$.
```
from math import sin, pi
n = 2
A = 0
while ...:
    n = n + 1
    A = 0
    for k in range(n):
        A = A + 0.5*sin(2*pi/n)*(1+k/n)*(1+(k+1)/n)
print(...)
```
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\(k\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(A\)	0,323	0,711	1,170	1,705	2,322	3,027	3,826	4,726

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Adapté du BAC S Centres étrangers, 10 juin 2016, exercice 4

Partie A — Sept points ($n=6$)

Déterminer les coordonnées de $M_1$.
Déterminer les coordonnées de $M_0$ et $M_6$.
Calculer la hauteur issue de $M_1$ dans OM$_0$M$_1$, puis établir que l’aire de ce triangle vaut $7\sqrt3/24$.

Partie B — $n+1$ points

Déterminer $OM_k$ pour $0\leqslant k\leqslant n$.
Déterminer une mesure des angles orientés entre l’axe horizontal et $\overrightarrow{OM_k}$, puis $\overrightarrow{OM_{k+1}}$. En déduire une mesure de l’angle entre ces deux vecteurs.
Montrer que la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans OM$_k$M$_{k+1}$ vaut $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\sin\dfrac{2\pi}{n}$.
On admet que l’aire de ce triangle est $a_k=\frac12\sin\frac{2\pi}{n}\left(1+\frac kn\right)\left(1+\frac{k+1}{n}\right),$ et que l’aire totale vaut $A_n=a_0+\cdots+a_{n-1}$. Le programme ci-dessous traduit l’algorithme officiel.
```
from math import sin, pi
def aire(n):
    A = 0
    for k in range(n):
        A = A + 0.5*sin(2*pi/n)*(1+k/n)*(1+(k+1)/n)
    return A
```
Pour $n=10$, compléter les deux dernières cases du tableau donnant les valeurs cumulées de A, arrondies au millième après chaque itération.

$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$A$ 0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726
On admet $A_2=0$ et $\lim_{n\to+\infty}A_n=7\pi/3$. Compléter exactement les deux trous pour déterminer le plus petit $n$ tel que $A_n\geqslant7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$.
```
from math import sin, pi
n = 2
A = 0
while ...:
    n = n + 1
    A = 0
    for k in range(n):
        A = A + 0.5*sin(2*pi/n)*(1+k/n)*(1+(k+1)/n)
print(...)
```

\(k\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(A\)	0,323	0,711	1,170	1,705	2,322	3,027	3,826	4,726

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