Fonctions cosinus et sinus — Cours en autonomie

Mode d’emploi — Chercher avant de consulter

Pour chaque exemple, lire d’abord la question et essayer de prévoir le premier geste. Pour chaque bloc « À toi », recopier l’énoncé, masquer la correction et chercher sur papier. Après comparaison, identifier la première ligne qui diffère : une bonne réponse finale ne suffit pas si elle a été obtenue par un raisonnement incorrect.

Les indices sont une aide après une tentative. Les corrections restent développées, même quand l’énoncé devient moins guidé. Les reprises proposées plus tard servent à vérifier que l’on retrouve une méthode sans simplement la reconnaître.

Vocabulaire — La nature d’un énoncé

Une définition fixe le sens d’un mot ou d’un objet. Une propriété, une proposition ou un théorème affirme un résultat mathématique, sous des hypothèses précises : ces mots ne correspondent pas à des degrés de certitude.

Un lemme est un résultat qui prépare une preuve ; un corollaire est une conséquence d’un résultat déjà établi. Une caractérisation donne une équivalence : les deux sens doivent être justifiés.

Une démonstration établit le résultat pour tous les cas annoncés. Un exemple l’illustre dans une situation ; un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation universelle fausse.

Le but de cette unité

Un même angle peut se mesurer en degrés ou en radians. Sur le cercle, plusieurs mesures peuvent conduire au même point. Le sinus et le cosinus associent ensuite deux nombres à chaque mesure réelle. Nous allons séparer ces trois idées pour donner un sens précis aux calculs qui suivront.

Définition — Cercle trigonométrique et sens positif

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) dans un repère orthonormé direct. Son point de départ est \(I=(1;0)\).

Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre. Le sens négatif est le sens des aiguilles d’une montre. Un tour complet ramène au point de départ.

Définition — Mesure en radians

Sur un cercle de rayon \(r>0\), un angle au centre positif, correspondant à un arc de longueur \(L\), a pour mesure en radians \[\theta=\frac{L}{r}.\] Ainsi \(L=r\theta\). Un angle de \(1\) radian intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon. Le rapport \(L/r\) reste identique lorsque l’on agrandit le cercle.

Propriété — Un tour mesure \(2\pi\) radians

La circonférence d’un cercle de rayon \(r\) est \(2\pi r\). Un tour mesure donc \(2\pi\) radians ; un demi-tour mesure \(\pi\) radians et un quart de tour mesure \(\dfrac\pi2\) radians.

Démonstration.

Pour le tour complet, \(L=2\pi r\) et \(r\neq0\). La définition donne \[\theta=\frac{2\pi r}{r}=2\pi.\] Partager ce tour en deux ou en quatre parts égales partage sa mesure dans la même proportion : \(2\pi/2=\pi\) et \(2\pi/4=\pi/2\).

Exemple 2.1 — De l’arc à l’angle, puis de l’angle à l’arc

Sur un cercle de rayon \(3\) cm, un arc mesure \(4{,}5\) cm. La mesure de l’angle est \[\theta=\frac{4{,}5}{3}=1{,}5\text{ rad}.\] Les deux longueurs ont été exprimées dans la même unité. Le contrôle reconstitue l’arc : \(3\times1{,}5=4{,}5\) cm.

Sur le même cercle, un quart de tour mesure \(\pi/2\) radians. Son arc a pour longueur \[L=3\times\frac\pi2=\frac{3\pi}{2}\text{ cm}.\] Quatre arcs de cette longueur donnent \(4\times3\pi/2=6\pi\) cm, soit bien la circonférence \(2\pi\times3\).

Propriété — Les deux conversions

Pour une même mesure orientée, \(\displaystyle \boxed{\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{deg}}\frac\pi{180}},\)\(\displaystyle \boxed{\theta_{\mathrm{deg}}=\theta_{\mathrm{rad}}\frac{180}\pi}.\) Les formules conservent le signe et restent valables pour des mesures supérieures à un tour.

Démonstration.

Un demi-tour mesure à la fois \(180\) degrés et \(\pi\) radians. La proportionnalité des mesures donne \(1\) degré \(=\pi/180\) radian. On multiplie donc le nombre de degrés par \(\pi/180\). Dans l’autre sens, on multiplie par son inverse \(180/\pi\) ; ce nombre existe car \(\pi\neq0\).

Exemple 2.2 — Garder des fractions exactes

Convertissons \(150\) degrés en radians. On écrit d’abord la formule, puis on simplifie le quotient : \[150\times\frac\pi{180} =\frac{150\pi}{180} =\frac{5\times30\pi}{6\times30} =\frac{5\pi}{6}.\] On a simplifié le facteur commun \(30\) au numérateur et au dénominateur.

Convertissons maintenant \(-7\pi/6\) radians en degrés : \[-\frac{7\pi}{6}\times\frac{180}{\pi} =-\frac{7\times180}{6} =-7\times30 =-210.\] Le facteur \(\pi\) se simplifie dans le produit ; le signe négatif est conservé. Enfin, \(450\) degrés donnent \(450\pi/180=5\pi/2\) radians : cette mesure représente un tour et un quart.

À toi 2.1 — Convertir en expliquant les simplifications

1. Essai guidé : compléter \(75\times\dfrac\pi{180} =\dfrac{5\times\ldots\times\pi}{12\times\ldots}=\ldots\).

2. Sans modèle : convertir \(-135\) degrés en radians.

3. Convertir \(7\pi/4\) radians en degrés et situer cette mesure entre un demi-tour et un tour complet.

Indice : dans la deuxième question, \(135=3\times45\) et \(180=4\times45\).

Correction expliquée et contrôle.

1. \(75=5\times15\) et \(180=12\times15\), donc \[75\times\frac\pi{180} =\frac{5\times15\pi}{12\times15}=\frac{5\pi}{12}.\] Les deux cases intermédiaires contiennent \(15\).

2. Le signe appartient à la mesure entière. Ainsi \[-135\times\frac\pi{180} =-\frac{3\times45\pi}{4\times45} =-\frac{3\pi}{4}.\]

3. On utilise la conversion inverse : \[\frac{7\pi}{4}\times\frac{180}{\pi} =7\times\frac{180}{4}=7\times45=315.\] On a \(180<315<360\) : l’angle est bien compris entre un demi-tour et un tour. En radians, le même contrôle s’écrit \(\pi<7\pi/4<2\pi\).

Définition — Point associé à un réel

Pour associer un point \(M(x)\) au réel \(x\), on part de \(I=(1;0)\) sur le cercle unité. Si \(x>0\), on parcourt une longueur \(x\) dans le sens positif ; si \(x<0\), on parcourt une longueur \(|x|\) dans le sens négatif. On peut effectuer plusieurs tours. Pour \(x=0\), on reste en \(I\).

Propriété — Reconnaître deux mesures du même point

Pour tous réels \(x\) et \(y\), \[\boxed{M(x)=M(y)\quad\Longleftrightarrow\quad x-y=2k\pi\text{ pour un entier }k\in\mathbb{Z}.}\] Le symbole \(\mathbb{Z}\) désigne l’ensemble des entiers relatifs : \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\).

Démonstration.

Si \(x-y=2k\pi\), le parcours correspondant à \(x\) ajoute ou retire \(k\) tours complets à celui correspondant à \(y\). Le point d’arrivée est donc le même. Réciproquement, si les deux arrivées sont les mêmes, la différence des parcours correspond à un nombre entier de tours complets. Chaque tour mesure \(2\pi\) ; cette différence s’écrit donc \(2k\pi\).

Convention — Mesure principale

Dans ce cours, la mesure principale est l’unique représentant appartenant à \(]-\pi;\pi]\). L’extrémité \(-\pi\) est exclue et \(\pi\) est incluse. Un autre intervalle semi-ouvert de longueur \(2\pi\) pourrait être choisi, mais il faudrait conserver cette autre convention dans tout le calcul.

Proposition — Existence et unicité du représentant

Tout réel \(x\) possède exactement un représentant dans \(]-\pi;\pi]\) qui conduit au même point du cercle.

Démonstration.

Les intervalles \(]-\pi+2k\pi;\pi+2k\pi]\), pour \(k\in\mathbb{Z}\), se suivent sans trou et sans chevauchement. Le réel \(x\) appartient donc à exactement l’un d’entre eux. En soustrayant \(2k\pi\), on obtient un représentant dans \(]-\pi;\pi]\). Deux représentants distincts d’un même point seraient séparés d’au moins \(2\pi\) ; un intervalle semi-ouvert de cette longueur ne peut pas les contenir tous les deux.

Méthode — Réduire une mesure sans calculatrice

Écrire \(2\pi\) avec le même dénominateur que la mesure. Ajouter ou retirer un nombre entier de tours. Vérifier ensuite deux choses : le résultat appartient à l’intervalle demandé et la différence avec le nombre initial est bien un multiple entier de \(2\pi\).

Exemple 2.3 — Une mesure positive, puis une mesure négative

Pour réduire \(29\pi/6\), un tour vaut \(12\pi/6\). Deux tours valent \(24\pi/6\). On écrit \[\frac{29\pi}{6}-2(2\pi) =\frac{29\pi}{6}-\frac{24\pi}{6} =\frac{5\pi}{6}.\] Comme \(-\pi<5\pi/6\leq\pi\), le résultat convient. La recomposition \(5\pi/6+24\pi/6=29\pi/6\) contrôle le nombre de tours retirés.

Pour \(-25\pi/3\), on ajoute quatre tours, soit \(8\pi=24\pi/3\) : \[-\frac{25\pi}{3}+8\pi =\frac{-25\pi+24\pi}{3} =-\frac\pi3.\] Ce représentant appartient bien à \(]-\pi;\pi]\). Le signe négatif de la mesure de départ ne commande pas de soustraire encore des tours : on cherche à rejoindre l’intervalle choisi.

À toi 2.2 — Réduire, contrôler, distinguer

1. Réduire \(-17\pi/4\) en commençant par écrire \(4\pi\) avec le dénominateur \(4\).

2. Sans consulter l’exemple, réduire \(19\pi/3\).

3. Quelle est la mesure principale de \(-\pi\) ? Pourquoi doit-on néanmoins garder \(-\pi\) et \(\pi\) séparément lorsque l’on cherche des solutions réelles dans l’intervalle fermé \([-\pi;\pi]\) ?

Correction expliquée et contrôle.

1. \(4\pi=16\pi/4\) représente deux tours. Ainsi \[-\frac{17\pi}{4}+4\pi =\frac{-17\pi+16\pi}{4}=-\frac\pi4.\] La mesure obtenue appartient à \(]-\pi;\pi]\).

2. Trois tours valent \(6\pi=18\pi/3\). Donc \[\frac{19\pi}{3}-6\pi =\frac{19\pi-18\pi}{3}=\frac\pi3.\] On vérifie à la fois l’appartenance à l’intervalle et la différence de trois tours avec le nombre initial.

3. \(-\pi+2\pi=\pi\). La convention choisit donc \(\pi\). Mais \(-\pi\neq\pi\) dans \(\mathbb{R}\) : ce sont deux nombres différents, même s’ils correspondent au même point. Un ensemble de solutions réelles peut contenir les deux lorsqu’elles appartiennent à l’intervalle demandé.

Définition — Les deux fonctions trigonométriques

Pour tout réel \(x\), le point \(M(x)\) du cercle trigonométrique a pour coordonnées \[\boxed{M(x)=(\cos x;\sin x)}.\] Le cosinus est son abscisse ; le sinus est son ordonnée. Les fonctions \(\cos:x\mapsto\cos x\) et \(\sin:x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\). Leur entrée est une mesure réelle en radians ; leur sortie est un nombre.

Exemple 2.4 — Lire les points des axes

Un quart de tour positif mène à \((0;1)\) : \(\cos(\pi/2)=0\) et \(\sin(\pi/2)=1\). Un demi-tour mène à \((-1;0)\) : \(\cos\pi=-1\) et \(\sin\pi=0\). Un quart de tour négatif mène à \((0;-1)\) : \(\cos(-\pi/2)=0\) et \(\sin(-\pi/2)=-1\). Enfin, un tour ramène à \((1;0)\) : \(\cos(2\pi)=1\) et \(\sin(2\pi)=0\).

Vigilance — Fonction, valeur et unité

\(\sin\) désigne une fonction ; \(\sin x\) est sa valeur en \(x\). Il ne faut pas lire \(\sin x\) comme un produit de deux lettres. De même, \(\cos(2)\) désigne le cosinus de \(2\) radians, et non de \(2\) degrés.

La calculatrice doit être en mode RAD. Vérifier \(\sin(\pi/2)=1\) est un premier contrôle de ce réglage. Les formules de dérivation usuelles du sinus et du cosinus utiliseront cette unité radian.

À toi 2.3 — Passer de la mesure au point, puis aux deux valeurs

Déterminer \(M(5\pi/2)\), puis \(\cos(5\pi/2)\) et \(\sin(5\pi/2)\). Expliquer pourquoi l’entrée \(5\pi/2\) peut être supérieure à \(1\) alors que les deux coordonnées du point restent entre \(-1\) et \(1\).

Correction expliquée et contrôle.

On retire un tour : \(5\pi/2-2\pi=(5\pi-4\pi)/2=\pi/2\). Le point d’arrivée est donc celui d’un quart de tour, soit \((0;1)\). Par lecture des coordonnées, \(\displaystyle \cos(5\pi/2)=0,\)\(\displaystyle \sin(5\pi/2)=1.\) L’entrée mesure le parcours ; elle n’est pas une coordonnée du point. On peut effectuer autant de tours que nécessaire, mais l’arrivée reste sur le cercle de rayon \(1\).

À toi 2.4 — Un nouvel essai pour vérifier la réparation

Réduire \(13\pi/4\) dans \(]-\pi;\pi]\), puis expliquer pourquoi le signe final peut être négatif alors que la mesure initiale est positive.

Correction expliquée et contrôle.

Retirer un tour donne \(13\pi/4-8\pi/4=5\pi/4\), qui dépasse encore \(\pi=4\pi/4\). On retire donc un second tour : \[\frac{5\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}.\] Le représentant appartient à \(]-\pi;\pi]\). Son signe indique le sens du parcours le plus court choisi ici, pas celui de tous les parcours menant au point. On revient au problème initial avec le bon geste : retirer des multiples de \(2\pi\), puis contrôler l’intervalle.

Correction expliquée et contrôle.

\(240\pi/180=4\pi/3\), après simplification du facteur \(60\). Cette mesure est entre \(\pi\) et \(2\pi\), comme \(240\) est entre \(180\) et \(360\) degrés.

Pour la réduction, \(4\pi=24\pi/6\) représente deux tours, donc \(-23\pi/6+24\pi/6=\pi/6\). Le résultat est dans l’intervalle demandé et \(\pi/6-4\pi=-23\pi/6\) reconstitue la mesure initiale.

Enfin \(-3\pi/2+2\pi=\pi/2\). Le point est \((0;1)\) ; son cosinus vaut \(0\) et son sinus vaut \(1\). Ajouter un tour a conservé les deux coordonnées.

Le point de départ

Sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), le point associé à la mesure \(x\) en radians est \(M(x)=(\cos x;\sin x)\). Le cosinus se lit sur l’axe horizontal et le sinus sur l’axe vertical. Un tour de \(2\pi\) conserve les deux coordonnées. Ces trois faits suffisent pour reconstruire les principales valeurs exactes et leurs signes.

Notation — Le carré porte sur la valeur

\(\cos^2x\) signifie \((\cos x)^2\) et \(\sin^2x\) signifie \((\sin x)^2\). Dans \(\sin^2x\), on calcule le sinus puis on élève le résultat au carré. Dans \(\sin(x^2)\), on élève d’abord l’entrée au carré puis on applique le sinus. L’ordre des opérations est différent.

Propriété — Identité fondamentale

Pour tout réel \(x\), \[\boxed{\cos^2x+\sin^2x=1}.\] En particulier, \(\displaystyle \sin^2x=1-\cos^2x,\)\(\displaystyle \cos^2x=1-\sin^2x.\)

Démonstration.

Le point \(M(x)\) appartient au cercle unité, donc \(OM=1\). Dans un repère orthonormé, la formule de distance donne \[OM^2=(\cos x-0)^2+(\sin x-0)^2.\] Le membre de gauche vaut \(1^2=1\) : on obtient l’identité annoncée. Soustraire \(\cos^2x\) aux deux membres donne la première réécriture ; soustraire \(\sin^2x\) donne la seconde.

Corollaire — Bornes et valeurs possibles

Pour tout réel \(x\), \(\displaystyle -1\leq\cos x\leq1,\)\(\displaystyle -1\leq\sin x\leq1.\) Réciproquement, chaque nombre de \([-1;1]\) est pris comme valeur par le sinus et par le cosinus. L’ensemble des valeurs de chacune des fonctions est donc exactement \([-1;1]\).

Démonstration.

Les carrés sont positifs ou nuls. Comme leur somme vaut \(1\), chacun est compris entre \(0\) et \(1\). On en déduit \(|\cos x|\leq1\) et \(|\sin x|\leq1\), soit les encadrements.

Pour un réel \(c\) compris entre \(-1\) et \(1\), la droite verticale d’abscisse \(c\) rencontre le cercle unité. Un point d’intersection possède donc un cosinus égal à \(c\). La droite horizontale d’ordonnée \(c\) donne de même un point dont le sinus vaut \(c\). Tout point du cercle est atteint par l’enroulement, ce qui justifie la réciproque.

Exemple 3.1 — Écarter une demande impossible

L’équation \(\cos x=3/2\) n’a aucune solution réelle puisque \(3/2>1\). De même, \(\sin x=-\sqrt2\) est impossible car \(\sqrt2>1\).

Le couple \((3/5;4/5)\) peut être celui d’un point du cercle : ses carrés ont pour somme \(9/25+16/25=1\). En revanche, \((3/5;3/5)\) n’appartient pas au cercle, car \(9/25+9/25=18/25\neq1\). Vérifier seulement que chaque coordonnée est entre \(-1\) et \(1\) ne suffit pas.

Exemple 3.2 — Simplifier une expression en reconnaissant la somme de carrés

Pour tout réel \(x\), \[\begin{align*} 3\cos^2x+3\sin^2x-2 &=3(\cos^2x+\sin^2x)-2\\ &=3\times1-2=1. \end{align*}\] Le facteur \(3\) est commun aux deux premiers termes. On a factorisé avant d’utiliser l’identité ; on n’a pas remplacé séparément chaque carré par \(1\). Un contrôle en \(x=0\) donne \(3\times1+3\times0-2=1\), conformément au résultat. Ce contrôle particulier ne remplace pas la preuve algébrique.

Propriété — Valeurs exactes dans le premier quadrant

Ces valeurs sont exactes. Une approximation décimale doit être annoncée par \(\approx\), par exemple \(\sqrt3/2\approx0{,}866\).

Démonstration.

Les extrémités. Le point \(M(0)\) est \((1;0)\) et le point \(M(\pi/2)\) est \((0;1)\). Les première et dernière colonnes se lisent donc sur les axes.

L’angle \(\pi/4\). Un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse \(1\) possède deux côtés de même longueur \(a>0\). Pythagore donne \(\displaystyle a^2+a^2=1,\)\(\displaystyle 2a^2=1,\)\(\displaystyle a^2=\frac12.\) On retient la racine positive puisque \(a\) est une longueur. Ainsi \[a=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2} =\frac{1\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}.\] Les deux rapports côté/hypoténuse sont donc égaux à \(\sqrt2/2\).

Démonstration.

Les angles \(\pi/3\) et \(\pi/6\). Prenons un triangle équilatéral de côté \(2\). Sa hauteur partage la base en deux segments de longueur \(1\) et forme deux triangles rectangles. Si sa hauteur vaut \(b>0\), alors \(\displaystyle b^2+1^2=2^2,\)\(\displaystyle b^2=4-1=3,\)\(\displaystyle b=\sqrt3.\) À la base, l’angle mesure \(\pi/3\). Le côté adjacent vaut \(1\), le côté opposé \(\sqrt3\) et l’hypoténuse \(2\), donc \(\displaystyle \cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12,\)\(\displaystyle \sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}{2}.\) L’autre angle aigu mesure \(\pi/6\). Les côtés adjacent et opposé échangent leurs rôles, ce qui donne \(\cos(\pi/6)=\sqrt3/2\) et \(\sin(\pi/6)=1/2\).

À toi 3.1 — Retrouver une valeur et vérifier une autre

1. Retrouver \(\cos(\pi/4)\) avec un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse \(1\), en justifiant le signe de la racine.

2. Vérifier l’identité fondamentale avec les valeurs pour \(\pi/6\).

3. Une copie écrit \(\sqrt2/2=0{,}71\). Quel symbole faut-il employer ?

Correction expliquée et contrôle.

1. Les deux côtés valent \(a>0\). De \(2a^2=1\), on tire \(a^2=1/2\), puis \(a=\sqrt2/2\). Le cosinus vaut \(a/1=\sqrt2/2\). Le signe positif vient de la longueur, ou du premier quadrant.

2. On calcule chaque carré : \[\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+ \left(\frac12\right)^2 =\frac34+\frac14=1.\]

3. Il faut écrire \(\sqrt2/2\approx0{,}71\). Le nombre décimal est une valeur arrondie ; son carré vaut \(0{,}5041\), et non exactement \(1/2\).

Propriété — Signes des deux coordonnées

Sur un tour, les signes sont les suivants, en dehors des axes :

Démonstration.

L’abscisse d’un point est positive à droite de l’axe vertical et négative à gauche. Son ordonnée est positive au-dessus de l’axe horizontal et négative en dessous. Chaque ligne traduit ces deux lectures dans le quadrant correspondant. Les points des axes sont exclus du tableau parce qu’une de leurs coordonnées est nulle.

Propriété — Angle opposé, pour tout réel \(x\)

\(\displaystyle \boxed{\cos(-x)=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{\sin(-x)=-\sin x}.\)

Démonstration.

La réflexion dans l’axe horizontal transforme le point \((\cos x;\sin x)\) en \((\cos x;-\sin x)\). Elle transforme aussi le parcours \(x\) en \(-x\). L’abscisse est donc conservée et l’ordonnée change de signe.

Exemple 3.3 — Un angle négatif

\(\displaystyle \cos\left(-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12,\)\(\displaystyle \sin\left(-\frac\pi3\right)=-\sin\left(\frac\pi3\right) =-\frac{\sqrt3}{2}.\) Le point est en bas à droite : le signe du cosinus et celui du sinus ne sont donc pas les mêmes.

Propriété — Réflexion verticale et demi-tour

Pour tout réel \(x\), \[\begin{align*} \cos(\pi-x)&=-\cos x,& \sin(\pi-x)&=\sin x,\\ \cos(\pi+x)&=-\cos x,& \sin(\pi+x)&=-\sin x. \end{align*}\]

Démonstration.

La réflexion dans l’axe vertical transforme \((u;v)\) en \((-u;v)\) et la mesure \(x\) en \(\pi-x\), à un tour près. Cela donne la première ligne. Le demi-tour de centre \(O\) transforme \((u;v)\) en \((-u;-v)\) et ajoute \(\pi\) à la mesure. Cela donne la seconde. Les transformations restent valables quel que soit le quadrant initial.

Exemple 3.4 — Passer du premier quadrant aux suivants

On écrit \(5\pi/6=\pi-\pi/6\). La réflexion verticale donne \(\displaystyle \cos(5\pi/6)=-\frac{\sqrt3}{2},\)\(\displaystyle \sin(5\pi/6)=\frac12.\) Pour \(7\pi/6=\pi+\pi/6\), le demi-tour change les deux signes : \(\displaystyle \cos(7\pi/6)=-\frac{\sqrt3}{2},\)\(\displaystyle \sin(7\pi/6)=-\frac12.\) Dans les deux cas, les carrés ont pour somme \(3/4+1/4=1\) ; les signes sont conformes aux quadrants II et III.

Propriété — Complément et quart de tour

Pour tout réel \(x\), \[\begin{align*} \cos(\pi/2-x)&=\sin x,&\sin(\pi/2-x)&=\cos x,\\ \cos(\pi/2+x)&=-\sin x,&\sin(\pi/2+x)&=\cos x. \end{align*}\]

Démonstration.

La réflexion dans la droite d’équation \(v=u\) échange les coordonnées : \((u;v)\) devient \((v;u)\). Elle transforme le point de mesure \(x\) en celui de mesure \(\pi/2-x\), d’où la première ligne.

Le quart de tour positif transforme \((u;v)\) en \((-v;u)\). Il ajoute \(\pi/2\) à la mesure, ce qui donne la seconde ligne. Le signe moins du cosinus vient de l’ancienne ordonnée devenue l’opposé de la nouvelle abscisse ; ce n’est pas un signe à choisir au hasard.

Exemple 3.5 — Échanger sinus et cosinus sans perdre le signe

Comme \(\pi/2-\pi/6=\pi/3\), la première ligne retrouve \(\cos(\pi/3)=\sin(\pi/6)=1/2\).

Comme \(\pi/2+\pi/6=2\pi/3\), la seconde donne \(\displaystyle \cos(2\pi/3)=-\sin(\pi/6)=-\frac12,\)\(\displaystyle \sin(2\pi/3)=\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2}.\) L’angle \(2\pi/3\) se trouve dans le deuxième quadrant, ce qui contrôle le signe négatif du cosinus et le signe positif du sinus.

Méthode — Réduire, reconnaître, choisir les signes

1. Retirer ou ajouter des tours de \(2\pi\) si la mesure est grande.

2. Repérer le quadrant ou le point d’un axe.

3. Écrire la mesure à l’aide d’un angle remarquable et d’une transformation connue : opposé, \(\pi-x\), \(\pi+x\) ou \(\pi/2\pm x\).

4. Appliquer l’identité correspondante, puis la valeur remarquable.

5. Contrôler le signe et, si les deux valeurs sont calculées, la somme de leurs carrés.

Exemple 3.6 — Combiner réduction et symétrie

Calculons les deux valeurs pour \(-17\pi/4\). Deux tours valent \(4\pi=16\pi/4\), donc \[-\frac{17\pi}{4}+4\pi=-\frac\pi4.\] Les deux mesures donnent le même point. Par la réflexion horizontale, \[\cos(-17\pi/4)=\cos(-\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2},\] \[\sin(-17\pi/4)=\sin(-\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2}.\] Le carré de chaque valeur vaut \(1/2\), et le point est en bas à droite. Les deux contrôles sont cohérents avec le résultat.

À toi 3.2 — Mettre la méthode à l’épreuve

1. Guidé : écrire \(3\pi/4=\pi-\ldots\), puis calculer son cosinus et son sinus.

2. Sans consulter : calculer \(\cos(11\pi/6)\) et \(\sin(11\pi/6)\).

3. Calculer \(\sin(23\pi/6)\) en faisant apparaître un tour complet.

Indice pour la deuxième question : retirer \(2\pi\) donne une mesure négative remarquable.

Correction expliquée et contrôle.

1. \(3\pi/4=\pi-\pi/4\). La réflexion verticale conserve le sinus et oppose le cosinus : \(\displaystyle \cos(3\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2},\)\(\displaystyle \sin(3\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}.\)

2. \(11\pi/6-2\pi=(11\pi-12\pi)/6=-\pi/6\). Ainsi \[\cos(11\pi/6)=\cos(-\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2},\] \[\sin(11\pi/6)=\sin(-\pi/6)=-\frac12.\] Le quatrième quadrant confirme ces signes.

3. \(23\pi/6-2\pi=11\pi/6\), donc la question précédente donne \(\sin(23\pi/6)=-1/2\). On pouvait aussi retirer directement deux tours : \(23\pi/6-24\pi/6=-\pi/6\).

Méthode — L’identité donne le carré, le quadrant donne le signe

Si une coordonnée est connue, utiliser \(\cos^2x+\sin^2x=1\) pour calculer le carré de l’autre. Prendre ensuite en compte l’intervalle contenant \(x\) : un carré positif a deux racines opposées, et le quadrant permet de choisir. Sans information de signe, il peut rester deux possibilités.

Exemple 3.7 — Une racine carrée ne suffit pas

On sait \(\cos x=3/5\) et \(-\pi/2<x<0\). Le point est dans le quatrième quadrant : son sinus est négatif. L’identité donne \[\begin{align*} \sin^2x &=1-\cos^2x\\ &=1-\left(\frac35\right)^2\\ &=\frac{25}{25}-\frac9{25} =\frac{16}{25}. \end{align*}\] Les deux nombres dont le carré vaut \(16/25\) sont \(4/5\) et \(-4/5\). Le signe requis retient \[\boxed{\sin x=-\frac45}.\] Contrôle : \((3/5)^2+(-4/5)^2=9/25+16/25=1\) et le sinus est bien négatif. La valeur positive vérifierait l’identité mais pas l’intervalle.

À toi 3.3 — Choisir le signe et expliquer ce qui manquerait

On sait \(\sin x=-12/13\) et \(\pi<x<3\pi/2\). Calculer \(\cos x\). Que pourrait-on conclure si l’intervalle contenant \(x\) n’était pas donné ?

Correction expliquée et contrôle.

Le troisième quadrant impose \(\cos x<0\). On calcule \[\cos^2x=1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2 =\frac{169}{169}-\frac{144}{169} =\frac{25}{169}.\] On retient donc \(\cos x=-5/13\). Le contrôle des carrés donne \(25/169+144/169=1\). Sans l’intervalle, les deux possibilités \(5/13\) et \(-5/13\) resteraient compatibles avec le sinus négatif : les points seraient dans les quadrants IV et III. Une seule coordonnée ne détermine pas toujours un seul point du cercle.

Contre-exemples — Le sinus et le cosinus ne distribuent pas une somme

La prétendue identité \(\sin(a+b)=\sin a+\sin b\) est fausse. Pour \(a=b=\pi/2\), le membre de gauche vaut \(\sin\pi=0\), tandis que le membre de droite vaut \(1+1=2\).

La prétendue identité \(\cos(a+b)=\cos a+\cos b\) est également fausse. Pour \(a=b=0\), le membre de gauche vaut \(1\) et celui de droite vaut \(2\). Un seul couple autorisé qui contredit une affirmation universelle suffit à la réfuter. Les véritables formules d’addition seront démontrées ensuite.

À toi 3.4 — Nouvel essai avant de revenir à l’erreur

On sait \(\cos x=-4/5\) et \(\pi<x<3\pi/2\). Déterminer \(\sin x\). Puis reprendre l’exemple où \(\cos x=3/5\) et \(-\pi/2<x<0\) en nommant précisément l’information qui élimine la racine positive.

Correction expliquée et contrôle.

Le troisième quadrant impose un sinus négatif. On a \(\displaystyle \sin^2x=1-\frac{16}{25}=\frac9{25},\)\(\displaystyle \sin x=-\frac35.\) Le signe moins vient du quadrant, pas de l’identité seule. Dans l’exemple initial, \(-\pi/2<x<0\) place aussi le point sous l’axe horizontal : il faut donc \(\sin x<0\), ce qui élimine \(4/5\) et retient \(-4/5\). On contrôle ensuite les carrés et le signe séparément.

Correction expliquée et contrôle.

La hauteur d’un triangle équilatéral de côté \(2\) donne un triangle rectangle d’hypoténuse \(2\) et de côté adjacent \(1\) pour l’angle \(\pi/3\) : son cosinus vaut donc \(1/2\).

Retirer \(2\pi=12\pi/6\) de \(13\pi/6\) donne \(\pi/6\), donc \(\cos(13\pi/6)=\sqrt3/2\). Pour le sinus, l’imparité géométrique puis la réflexion verticale donnent \[\sin(-3\pi/4)=-\sin(3\pi/4) =-\sin(\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2}.\] Enfin, \(\cos^2x=1-25/169=144/169\). Le deuxième quadrant impose le signe négatif, donc \(\cos x=-12/13\). Les carrés ont bien pour somme \(144/169+25/169=1\).

Le fil de cette unité

Nous disposons du cercle unité et de ses symétries. Elles permettent de justifier la parité, la périodicité et les signes du sinus et du cosinus, puis de construire leurs courbes. Les dérivées démontreront ensuite les variations : une allure suggérée par un dessin ne remplace pas cette preuve.

Définition — Fonction paire ou impaire

Le domaine \(D\) est supposé symétrique par rapport à \(0\) : si \(x\in D\), alors \(-x\in D\).

• \(f\) est paire lorsque, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=f(x)\).

• \(f\) est impaire lorsque, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=-f(x)\).

Une fonction peut aussi n’être ni paire ni impaire. La fonction nulle est à la fois paire et impaire.

Propriété — Parité du cosinus et du sinus

Sur \(\mathbb{R}\), le cosinus est pair et le sinus est impair : \(\displaystyle \boxed{\cos(-x)=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{\sin(-x)=-\sin x}\quad(x\in\mathbb{R}).\)

Démonstration.

Le domaine \(\mathbb{R}\) est symétrique. La réflexion du cercle dans l’axe horizontal transforme \(M(x)=(\cos x;\sin x)\) en \(M(-x)=(\cos x;-\sin x)\). Elle conserve donc le cosinus et oppose le sinus pour tout réel \(x\). Ce sont exactement les deux égalités de la définition.

Proposition — Traduction graphique de la parité

La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine \(O\). Réciproquement, ces symétries de courbe, sur un domaine symétrique, caractérisent respectivement les fonctions paires et impaires.

Démonstration.

Sur la courbe de \(f\), le point d’abscisse \(x\) est \((x;f(x))\). Son reflet dans l’axe vertical est \((-x;f(x))\). Ce reflet appartient à la courbe exactement lorsque \(f(-x)=f(x)\). Son symétrique de centre \(O\) est \((-x;-f(x))\) ; il appartient à la courbe exactement lorsque \(f(-x)=-f(x)\). Cela établit les deux sens de chaque caractérisation.

Exemple 4.1 — Une expression entière doit être étudiée

Soit \(f(x)=x\sin x\) sur \(\mathbb{R}\). Les deux facteurs changent de signe : \[f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x).\] La fonction est donc paire, bien que le sinus soit impair.

Soit maintenant \(g(x)=x+\cos x\). Pour \(x=\pi\), \(\displaystyle g(\pi)=\pi-1,\)\(\displaystyle g(-\pi)=-\pi-1.\) Ces valeurs ne sont pas égales : \(g\) n’est pas paire. De plus, \(g(0)=1\). Une fonction impaire définie en \(0\) doit vérifier \(g(0)=-g(0)\), donc \(g(0)=0\) ; \(g\) n’est donc pas impaire non plus.

À toi 4.1 — Une égalité générale ou un contre-exemple ?

1. Guidé : pour \(f(x)=\cos x+2\), compléter \(f(-x)=\ldots+2=\ldots\) et conclure sur la parité.

2. Sans consulter : étudier la parité de \(g(x)=x\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Expliquer pourquoi une seule paire de valeurs différentes peut réfuter la parité, alors qu’une seule paire égale ne la prouve pas.

Correction expliquée et contrôle.

1. Pour tout réel \(x\), \(f(-x)=\cos(-x)+2=\cos x+2=f(x)\). Le domaine est symétrique et l’égalité est générale : \(f\) est paire.

2. Pour tout réel \(x\), \[g(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-g(x).\] La fonction est impaire. Le facteur \(x\) change de signe, tandis que le cosinus conserve sa valeur.

3. La définition exige une égalité pour tous les réels du domaine. Un contre-exemple suffit à montrer que cette exigence échoue. Une paire favorable vérifie seulement un cas et laisse tous les autres à examiner.

Définition — Période d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}\)

Un réel \(T>0\) est une période de \(f\) lorsque \(\displaystyle f(x+T)=f(x)\)\(\displaystyle \text{pour tout réel }x.\) Si une plus petite période strictement positive existe, elle est appelée période fondamentale. Une fonction périodique peut avoir plusieurs périodes : il faut distinguer « une période » de « la plus petite ».

Théorème — Période fondamentale des deux fonctions

Le sinus et le cosinus ont pour période fondamentale \(2\pi\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et tout \(k\in\mathbb{Z}\), \(\displaystyle \cos(x+2k\pi)=\cos x,\)\(\displaystyle \sin(x+2k\pi)=\sin x.\)

Démonstration.

Ajouter ou retirer un nombre entier de tours conserve le point du cercle et donc ses deux coordonnées. En particulier, \(2\pi\) est une période des deux fonctions.

Montrons qu’aucune période positive plus petite ne convient au cosinus. Si \(T>0\) est une période, on peut appliquer sa définition en \(x=0\) : \(\cos T=\cos0=1\). L’unique point du cercle d’abscisse \(1\) est \((1;0)\). Il est atteint après un nombre entier de tours ; donc \(T=2k\pi\). Comme \(T>0\), l’entier \(k\) est au moins \(1\), d’où \(T\geq2\pi\).

Pour le sinus, appliquer la définition en \(x=\pi/2\) donne \(\sin(\pi/2+T)=1\). L’unique point d’ordonnée \(1\) est \((0;1)\). Pour y revenir, il faut encore un nombre entier de tours : \(T=2k\pi\geq2\pi\). La période \(2\pi\) est donc minimale dans les deux cas.

Exemple 4.2 — Pourquoi \(\pi\) ne suffit pas, alors que \(4\pi\) convient

Le cosinus vérifie \(\cos0=1\) et \(\cos\pi=-1\). L’égalité exigée échoue en \(0\) : \(\pi\) n’est pas une période du cosinus.

Pour le sinus, \(\sin0=\sin\pi=0\) pourrait tromper. Mais \(\sin(\pi/2)=1\) et \(\sin(3\pi/2)=-1\) : la candidate \(\pi\) échoue en \(\pi/2\). Un tour et un demi-tour ne sont pas interchangeables.

En revanche, \(4\pi\) représente deux tours, donc c’est une période des deux fonctions. Elle n’est pas fondamentale puisque \(2\pi<4\pi\) convient déjà.

Cas limite — Une fonction constante n’a pas de période fondamentale

Si \(f(x)=c\) pour tout réel \(x\), alors \(f(x+T)=c=f(x)\) pour chaque \(T>0\). Tous les nombres strictement positifs sont donc des périodes. Il n’y en a pas de plus petite : si l’on propose \(T\), le nombre \(T/2\) convient aussi et est plus petit.

Exemple 4.3 — Le carré peut raccourcir la période

Soit \(h(x)=\sin^2x\). La formule \(\sin(x+\pi)=-\sin x\) donne \[h(x+\pi)=(-\sin x)^2=\sin^2x=h(x).\] Ainsi \(\pi\) est une période. Pour prouver qu’elle est fondamentale, supposons que \(T>0\) soit une période. Alors \(h(T)=h(0)=0\), donc \(\sin T=0\). Les points du cercle d’ordonnée nulle sont atteints pour \(T=k\pi\), avec \(k\in\mathbb{Z}\). La plus petite possibilité positive est \(\pi\), et elle convient : la période fondamentale est \(\pi\).

En revanche, \(F(x)=x+\cos x\) n’est pas \(2\pi\)-périodique, car \[F(x+2\pi)=x+2\pi+\cos x=F(x)+2\pi\neq F(x).\] La présence d’un cosinus dans une expression ne suffit pas à lui transmettre une période.

À toi 4.2 — Prouver une période et sa minimalité

Soit \(f(x)=\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\pi\) est une période, en développant \(2(x+\pi)\).

2. Si \(T>0\) est une période, que donne la définition en \(x=0\) ? En déduire que \(\pi\) est la période fondamentale.

3. Pourquoi \(2\pi\) reste-t-il malgré tout une période ?

Correction expliquée et contrôle.

1. Pour tout \(x\), \[f(x+\pi)=\cos(2x+2\pi)=\cos(2x)=f(x).\] L’argument du cosinus a augmenté d’un tour.

2. \(f(T)=f(0)\) impose \(\cos(2T)=1\). Il existe donc un entier \(k\) tel que \(2T=2k\pi\), d’où \(T=k\pi\). Si \(T>0\), alors \(k\geq1\) et \(T\geq\pi\). Comme \(\pi\) convient déjà, c’est la plus petite période.

3. Ajouter \(2\pi\) à l’entrée ajoute \(4\pi\) à l’argument. Deux tours conservent encore le cosinus : \(f(x+2\pi)=f(x)\).

Propriété — Zéros et signes du sinus

Pour \(k\in\mathbb{Z}\), le sinus s’annule exactement aux points \(x=k\pi\). Il est strictement positif sur chaque intervalle \(]2k\pi;\pi+2k\pi[\) et strictement négatif sur chaque intervalle \(]-\pi+2k\pi;2k\pi[\).

Démonstration.

Le sinus est l’ordonnée sur le cercle. Elle est positive dans le demi-plan supérieur, négative dans le demi-plan inférieur et nulle sur l’axe horizontal. Les intersections avec cet axe correspondent à \(0\) et \(\pi\), puis à leurs translations par des tours de \(2\pi\). Cela donne les zéros \(k\pi\) et les deux familles d’intervalles.

Propriété — Zéros et signes du cosinus

Le cosinus s’annule exactement pour \(x=\pi/2+k\pi\), avec \(k\in\mathbb{Z}\). Il est strictement positif sur \(]-\pi/2+2k\pi;\pi/2+2k\pi[\) et strictement négatif sur \(]\pi/2+2k\pi;3\pi/2+2k\pi[\).

Démonstration.

Le cosinus est l’abscisse sur le cercle. Elle est positive à droite, négative à gauche et nulle sur l’axe vertical. Les deux points de coordonnée horizontale nulle sont atteints à \(\pi/2\) et \(3\pi/2\), puis après des tours complets. Leurs mesures s’écrivent ensemble \(\pi/2+k\pi\). Les deux demi-cercles donnent les intervalles annoncés.

Exemple 4.4 — Garder ou exclure les bornes

Sur \([-\pi;\pi]\), la condition \(\cos x<0\) donne \[x\in[-\pi;-\pi/2[\ \cup\ ]\pi/2;\pi].\] Les points \(\pm\pi/2\) sont exclus parce que leur cosinus vaut \(0\). Les points \(\pm\pi\) sont inclus parce que leur cosinus vaut \(-1\).

Sur le même intervalle, \(\sin x\leq0\) donne \[\boxed{x\in[-\pi;0]\cup\{\pi\}}.\] Le sinus est négatif entre \(-\pi\) et \(0\), nul à ces deux bornes, positif entre \(0\) et \(\pi\), puis nul en \(\pi\). Ce dernier point est une solution isolée qu’il faut conserver.

À toi 4.3 — Lire un signe, puis changer d’intervalle

1. Donner le signe de \(\sin(17\pi/6)\) après réduction d’un tour.

2. Sur \([0;2\pi]\), résoudre seulement par lecture du signe \(\cos x\geq0\).

3. Sur \([-\pi;\pi]\), donner les solutions de \(\sin x=0\) et expliquer pourquoi il y en a trois, alors que le cercle n’a que deux points d’ordonnée nulle.

Correction expliquée et contrôle.

1. \(17\pi/6-2\pi=5\pi/6\), qui est entre \(0\) et \(\pi\). Le sinus est positif ; plus précisément, \(\sin(5\pi/6)=1/2\).

2. Le demi-cercle de droite correspond au début et à la fin du tour. Les zéros sont admis par l’inégalité large. Ainsi \[x\in[0;\pi/2]\cup[3\pi/2;2\pi].\]

3. Les trois nombres sont \(-\pi\), \(0\) et \(\pi\). Les parcours de mesures \(-\pi\) et \(\pi\) ne doivent pas être confondus : \(-\pi\) et \(\pi\) sont deux réels distincts du même intervalle, même s’ils arrivent au même point du cercle.

Définition — Courbes représentatives

La courbe du cosinus est l’ensemble des points \((x;\cos x)\), pour \(x\in\mathbb{R}\). Celle du sinus est l’ensemble des points \((x;\sin x)\). Dans ces deux graphiques, l’abscisse est la mesure \(x\) en radians.

Exemple 4.5 — Trois points différents pour la même entrée

Pour \(x=\pi/3\), le cercle porte le point \[M=\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right).\] La courbe du cosinus porte \(C=(\pi/3;1/2)\) et la courbe du sinus porte \(S=(\pi/3;\sqrt3/2)\). Dans les deux derniers couples, le premier nombre est \(\pi/3\), car c’est l’entrée de la fonction.

Propriété — Retrouver une courbe sur tout \(\mathbb{R}\)

Pour le sinus et le cosinus, connaître les valeurs sur \([0;\pi]\) permet de retrouver celles sur \([-\pi;0]\) par parité, puis toutes les valeurs réelles par translations de \(2k\pi\).

Démonstration.

Si \(x\in[-\pi;0]\), alors \(-x\in[0;\pi]\). La parité permet donc de calculer \(f(x)\) à partir de \(f(-x)\). On connaît ainsi les valeurs sur \([-\pi;\pi]\). Tout réel se ramène ensuite à cet intervalle en ajoutant ou retirant des tours, sans changer la valeur de la fonction.

Propriété — Le sinus est un cosinus décalé

Pour tout réel \(x\), \[\boxed{\sin x=\cos(x-\pi/2)}.\] La courbe du sinus se déduit de celle du cosinus par une translation horizontale de \(\pi/2\) vers la droite.

Démonstration.

L’angle associé donne \(\cos(\pi/2-x)=\sin x\). Le cosinus étant pair, \(\cos(x-\pi/2)=\cos(-(\pi/2-x))=\cos(\pi/2-x)\). Pour interpréter le déplacement, un point \((t;\cos t)\) devient \((t+\pi/2;\cos t)\). Si l’on nomme \(x=t+\pi/2\) la nouvelle abscisse, alors \(t=x-\pi/2\) : son ordonnée vaut \(\sin x\).

Exemple 4.6 — Contrôler le sens d’un décalage

Le sommet \((0;1)\) de la courbe du cosinus devient \((\pi/2;1)\), qui appartient bien à la courbe du sinus. Un déplacement vers la gauche placerait ce sommet en \((-\pi/2;1)\), alors que \(\sin(-\pi/2)=-1\) : ce contrôle repère immédiatement le mauvais sens.

Corollaire — Réfléchir un intervalle de variation

Soient \(a<b\) et une fonction définie sur les intervalles utiles.

• Si \(f\) est paire, une croissance sur \([a;b]\) devient une décroissance sur \([-b;-a]\), et une décroissance devient une croissance.

• Si \(f\) est impaire, une croissance reste une croissance sur \([-b;-a]\), et une décroissance reste une décroissance.

Les mêmes règles valent pour des variations strictes.

Démonstration.

Supposons d’abord \(f\) croissante sur \([a;b]\). Prenons \(-b\leq u<v\leq-a\). Alors \(a\leq-v<-u\leq b\), donc \(f(-v)\leq f(-u)\).

Si \(f\) est paire, cela donne \(f(v)\leq f(u)\) : elle est décroissante sur l’intervalle réfléchi. Si elle est impaire, on obtient \(-f(v)\leq-f(u)\), soit \(f(u)\leq f(v)\) : elle reste croissante. Une décroissance initiale inverse toutes les inégalités et donne les deux autres conclusions. En partant d’inégalités strictes, on obtient les versions strictes.

Proposition — Oscillations à l’infini

Le sinus et le cosinus sont bornés, mais aucun des deux n’a de limite en \(+\infty\) ni en \(-\infty\).

Démonstration.

À des abscisses arbitrairement grandes, le cosinus prend encore les deux valeurs distinctes \(1\) et \(-1\) : \(\displaystyle \cos(2n\pi)=1,\)\(\displaystyle \cos(\pi+2n\pi)=-1 \quad(n\in\mathbb{N}).\) Une limite finie obligerait les valeurs prises le long de ces deux suites d’abscisses tendant vers \(+\infty\) à tendre vers le même nombre, ce qui est impossible. Une limite infinie est exclue par l’encadrement entre \(-1\) et \(1\).

Pour le sinus, les abscisses \(\pi/2+2n\pi\) et \(3\pi/2+2n\pi\) donnent respectivement \(1\) et \(-1\) et conduisent à la même contradiction. En prenant les opposés des abscisses, elles tendent vers \(-\infty\). La parité du cosinus et l’imparité du sinus conservent deux valeurs distinctes : l’absence de limite vaut donc aussi en \(-\infty\).

À toi 4.4 — Un nouveau test, puis un retour à la définition

1. Tester si \(\pi/2\) est une période du cosinus.

2. Montrer que \(6\pi\) est une période du sinus.

3. Expliquer pourquoi le premier test peut se limiter à un point, alors que le deuxième doit traiter un réel quelconque.

Correction expliquée et contrôle.

1. En \(x=0\), on a \(\cos0=1\) mais \(\cos(\pi/2)=0\). La définition échoue : \(\pi/2\) n’est pas une période.

2. Pour tout réel \(x\), ajouter \(6\pi=3\times2\pi\) ajoute trois tours et conserve l’ordonnée. Ainsi \(\sin(x+6\pi)=\sin x\).

3. Le premier raisonnement réfute une affirmation universelle : un témoin suffit. Le second l’établit : il faut justifier l’égalité pour toutes les entrées. Revenir à la copie initiale consiste à remplacer sa conclusion par le contre-exemple en \(\pi/2\).

Correction expliquée et contrôle.

Le domaine est \(\mathbb{R}\) et \[(-x)^2\sin(-x)=x^2(-\sin x)=-x^2\sin x.\] La fonction \(x\mapsto x^2\sin x\) est impaire. Le carré conserve son signe lorsque l’on remplace \(x\) par \(-x\), mais le sinus change de signe.

Deux tours donnent \(\cos(x+4\pi)=\cos x\) pour tout réel \(x\). Mais \(2\pi\) est une période strictement plus petite, et c’est la période fondamentale démontrée plus haut.

Le sinus est positif entre \(0\) et \(\pi\), et nul en \(-\pi\), \(0\) et \(\pi\). Ainsi l’ensemble demandé est \(\{-\pi\}\cup[0;\pi]\). Le point isolé \(-\pi\) ne doit pas être perdu.

Enfin, \(\sin x=\cos(x-\pi/2)\) : la courbe du cosinus se déplace de \(\pi/2\) vers la droite. Le sommet \((0;1)\) devient \((\pi/2;1)\), ce qui contrôle le sens de la translation.

Cap — Construire sans tourner en rond

Nous allons établir les formules d’addition, puis les limites qui permettent de démontrer les dérivées du sinus et du cosinus. L’ordre compte : les dérivées ne seront jamais utilisées pour prouver les limites dont elles dépendent.

Tous les angles de cette unité sont exprimés en radians. Aucun résultat sur une intégrale ou sur une fonction réciproque n’est nécessaire.

Outil antérieur rappelé — Le produit scalaire

Pour deux vecteurs \(u=(x,y)\) et \(v=(x',y')\) dans un repère orthonormé, \[u\cdot v=xx'+yy'.\] Géométriquement, si leurs longueurs sont \(r\) et \(r'\) et si l’angle entre eux mesure \(\theta\), alors \[u\cdot v=rr'\cos\theta.\] Ces deux expressions d’un même produit scalaire sont le résultat de géométrie déjà étudié que nous utilisons ici. Pour deux rayons du cercle unité, \(r=r'=1\). Le cosinus d’un angle orienté ou de son opposé est le même ; ajouter un tour complet ne le change pas non plus.

Propriété — Quatre identités démontrées sur \(\mathbb{R}\)

Pour tous réels \(a,b\), \[\begin{align*} \cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\ \cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\\ \sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\\ \sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b. \end{align*}\] Les deux termes du sinus mélangent un sinus et un cosinus. Ceux du cosinus regroupent deux cosinus, puis deux sinus.

Démonstration.

Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Posons \(\displaystyle u=\overrightarrow{OM_a}=(\cos a,\sin a),\)\(\displaystyle v=\overrightarrow{OM_b}=(\cos b,\sin b).\) Par les coordonnées, \[u\cdot v=\cos a\cos b+\sin a\sin b.\] L’angle orienté de \(v\) vers \(u\) mesure \(a-b\), à un nombre entier de tours près. La formule géométrique du produit scalaire donne donc \[u\cdot v=\cos(a-b).\] Ainsi, pour tous réels \(a,b\), \[\boxed{\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.}\] Remplaçons maintenant \(b\) par \(-b\). Grâce aux symétries du cercle, \[\cos(a+b)=\cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b) =\cos a\cos b-\sin a\sin b.\] Pour le sinus, utilisons le complément à \(\frac{\pi}{2}\) et la formule déjà démontrée pour le cosinus d’une différence : \[\begin{align*} \sin(a+b) &=\cos\left(\frac{\pi}{2}-(a+b)\right)\\ &=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right)\\ &=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos b +\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin b\\ &=\sin a\cos b+\cos a\sin b. \end{align*}\] Enfin, remplacer \(b\) par \(-b\) dans cette dernière égalité donne \[\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\] Chaque étape s’appuie sur le cercle ou sur une formule établie à l’étape précédente : il n’y a pas de raisonnement circulaire.

Exemple 5.1 — Obtenir une valeur exacte sans la lire dans une table

Comme \(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\), \[\begin{align*} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) &=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\times\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{align*}\] La différence est positive, comme le sinus d’un angle du premier quadrant. Ce contrôle de signe ne remplace pas le calcul, mais permet de repérer une erreur grossière.

Exemple 5.2 — Développer un angle composé sans inventer une distributivité

Pour tout réel \(x\), la formule d’addition donne \[\begin{align*} \cos\left(x+\frac\pi3\right) &=\cos x\cos\frac\pi3-\sin x\sin\frac\pi3\\ &=\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x. \end{align*}\] Cette égalité est une identité : elle vaut pour tous les réels \(x\). Elle est très différente de \(\cos x+\cos\frac\pi3\). À \(x=0\), les deux côtés de l’identité valent \(\frac12\), tandis que la fausse somme vaudrait \(\frac32\), hors de l’intervalle des valeurs possibles d’un cosinus.

Une autre application permet de calculer \[\cos\frac{\pi}{12} =\cos\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right) =\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\] Le signe \(+\) vient de la formule du cosinus d’une différence. Avec la valeur de \(\sin\frac\pi{12}\) obtenue précédemment, on contrôle : \[\begin{align*} \cos^2\frac\pi{12}+\sin^2\frac\pi{12} &=\frac{(\sqrt6+\sqrt2)^2+(\sqrt6-\sqrt2)^2}{16}\\ &=\frac{(8+4\sqrt3)+(8-4\sqrt3)}{16}=1. \end{align*}\]

À toi 5.1 — Reconstruire deux formules avant de remplacer

Sans lire les identités, reconstruire \(\sin(x-\frac\pi6)\) et \(\cos(x+\frac\pi2)\), puis vérifier chaque réponse à \(x=0\). Indice : dans la première, prendre \(a=x\), \(b=\frac\pi6\) ; dans la seconde, utiliser les valeurs \(\cos\frac\pi2=0\) et \(\sin\frac\pi2=1\).

Correction expliquée et contrôle.

La formule du sinus d’une différence donne \[\sin\left(x-\frac\pi6\right) =\sin x\frac{\sqrt3}{2}-\cos x\frac12 =\frac{\sqrt3}{2}\sin x-\frac12\cos x.\] À \(x=0\), on obtient \(-\frac12=\sin(-\frac\pi6)\). Pour la seconde expression, \[\cos\left(x+\frac\pi2\right)=\cos x\times0-\sin x\times1=-\sin x.\] À \(x=0\), les deux membres valent \(0\). Ces vérifications ponctuelles repèrent des erreurs possibles ; la validité pour tout \(x\) vient des identités démontrées.

Corollaire — Duplication et carrés

Pour tout réel \(x\), \[\sin(2x)=2\sin x\cos x,\] \[\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x =1-2\sin^2x=2\cos^2x-1.\] En particulier, \(\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2},\)\(\displaystyle \cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.\) Ces résultats découlent des identités d’addition et de \(\cos^2x+\sin^2x=1\).

Démonstration.

Dans les formules d’addition, choisissons \(a=b=x\). On obtient \(\displaystyle \boxed{\sin(2x)=2\sin x\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x}.\) L’identité \(\cos^2x+\sin^2x=1\) permet deux autres écritures : \[\cos(2x)=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1.\] En remplaçant \(x\) par \(\frac h2\) dans la première de ces deux écritures, \[\boxed{1-\cos h=2\sin^2\left(\frac h2\right).}\] Pour obtenir les formules des carrés, on isole chaque carré : \(2\sin^2x=1-\cos(2x)\) et \(2\cos^2x=1+\cos(2x)\), puis on divise par \(2\ne0\). L’identité \(1-\cos h=2\sin^2(h/2)\) sera utile pour contrôler \(\cos h\) près de \(0\) sans connaître sa dérivée.

À toi 5.2 — Essai guidé — Choisir la bonne duplication

Compléter, puis justifier le remplacement effectué : \(\displaystyle 1-\cos(6x)=2\sin^2(\ldots),\)\(\displaystyle \sin(8x)=2\sin(\ldots)\cos(\ldots).\) Pourquoi n’a-t-on pas \(\sin(2x)=2\sin x\) pour tout réel \(x\) ? Donner un contre-exemple exact.

Correction expliquée et contrôle.

Dans \(1-\cos(2u)=2\sin^2u\), on prend \(u=3x\), d’où \(1-\cos(6x)=2\sin^2(3x)\). Dans la duplication du sinus, on prend \(u=4x\), d’où \(\sin(8x)=2\sin(4x)\cos(4x)\). Le facteur \(\cos x\) ne peut pas être supprimé. Pour \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\sin(2x)=\sin\pi=0\), tandis que \(2\sin x=2\).

Exemple 5.3 — Transformer une différence de carrés trigonométriques

On cherche une écriture de \(\cos^2(3x)-\sin^2(3x)\) comportant une seule fonction. Dans \(\cos(2u)=\cos^2u-\sin^2u\), on choisit \(u=3x\) : \[\boxed{\cos^2(3x)-\sin^2(3x)=\cos(6x).}\] Le double porte sur l’argument entier \(3x\). On ne peut pas remplacer \(\cos^2(3x)\) seul par \(\cos(6x)\) : il faut garder \(\cos^2(3x)=\frac{1+\cos(6x)}2\).

Lemme — Encadrer un petit angle positif

Si \(0<h<\frac\pi2\) et si \(h\) est mesuré en radians, alors \[\sin h\leq h\leq\frac{\sin h}{\cos h}.\] Le quotient est défini puisque \(\cos h>0\). Ce lemme préparera la limite de \(\frac{\sin h}{h}\).

Démonstration.

Le triangle \(OAM\) a pour base \(OA=1\) et pour hauteur \(\sin h\). Son aire vaut donc \(\frac12\sin h\).

Le secteur circulaire d’angle \(h\) a pour aire \(\frac h2\). En effet, le cercle unité a pour aire \(\pi\) et un tour mesure \(2\pi\) radians ; l’aire d’un secteur est proportionnelle à son angle. Ainsi, \[\text{aire du secteur}=\frac{h}{2\pi}\times\pi=\frac h2.\] Il s’agit du résultat géométrique sur l’aire des secteurs, et non d’un calcul par intégration. C’est ici que l’expression de \(h\) en radians est essentielle.

Le point \(T\) appartient à la demi-droite \([OM)\) et a pour abscisse \(1\). Puisque \(\cos h>0\), il s’écrit \[T=\frac1{\cos h}(\cos h,\sin h) =\left(1,\frac{\sin h}{\cos h}\right).\] Le triangle \(OAT\) a donc pour aire \(\frac12\frac{\sin h}{\cos h}\). L’inclusion des trois surfaces donne, après multiplication par \(2\), \(\displaystyle \boxed{\sin h\leq h\leq\frac{\sin h}{\cos h}}\)\(\displaystyle \left(0<h<\frac{\pi}{2}\right).\)

Outils d’analyse rappelés — Encadrer une limite

Une fonction \(f\) est continue en \(0\) lorsque \(\lim_{h\to0}f(h)=f(0)\). Le théorème des gendarmes affirme que, si \(p(h)\leq f(h)\leq q(h)\) près de \(0\) et si \(p\) et \(q\) ont la même limite \(\ell\), alors \(f(h)\) tend aussi vers \(\ell\). On peut utiliser les règles usuelles de limite d’une somme et d’un produit. Ces résultats d’analyse sont des outils antérieurs ; aucune dérivée trigonométrique n’est supposée connue.

Lemme — Deux contrôles près de zéro

Pour \(|h|<\frac\pi2\), \(\displaystyle |\sin h|\leq|h|,\)\(\displaystyle 0\leq1-\cos h\leq\frac{h^2}{2}.\) Ainsi \(\sin h\to0\) et \(\cos h\to1\) lorsque \(h\to0\) : le sinus et le cosinus sont continus en \(0\).

Démonstration.

Pour \(0<h<\frac{\pi}{2}\), l’encadrement géométrique donne \(0\leq\sin h\leq h\). Par imparité du sinus, on en déduit, pour \(|h|<\frac{\pi}{2}\), \[|\sin h|\leq |h|.\] Comme \(|h|\to0\), on obtient \(\sin h\to0=\sin0\) : le sinus est continu en \(0\).

Grâce à la duplication déjà démontrée, pour \(|h|<\frac{\pi}{2}\), \[0\leq1-\cos h =2\sin^2\left(\frac h2\right) \leq2\left(\frac{|h|}{2}\right)^2 =\frac{h^2}{2}.\] Ainsi \(1-\cos h\to0\), donc \(\cos h\to1=\cos0\) : le cosinus est continu en \(0\). Cette continuité a été obtenue avant les dérivées.

Lemme — Limites nécessaires à la dérivation

Lorsque les angles sont exprimés en radians, \(\displaystyle \boxed{\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1},\)\(\displaystyle \boxed{\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0}.\) Les limites sont bilatérales. Les quotients sont considérés pour \(h\ne0\).

Démonstration.

Pour \(0<h<\frac{\pi}{2}\), la première inégalité géométrique donne \(\frac{\sin h}{h}\leq1\). La seconde donne \(h\cos h\leq\sin h\), puis \(\cos h\leq\frac{\sin h}{h}\). Donc \[\cos h\leq\frac{\sin h}{h}\leq1.\] Lorsque \(h\to0^+\), les bornes tendent vers \(1\) : la limite à droite vaut \(1\). Pour \(h<0\), posons \(t=-h>0\). L’imparité donne \[\frac{\sin h}{h}=\frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{\sin t}{t}.\] La limite à gauche vaut donc aussi \(1\). Nous avons établi la limite bilatérale \[\boxed{\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.}\] Enfin, pour \(0<|h|<\frac{\pi}{2}\), le contrôle précédent du cosinus donne \[\left|\frac{\cos h-1}{h}\right| =\frac{1-\cos h}{|h|} \leq\frac{h^2}{2|h|}=\frac{|h|}{2}.\] Le membre de droite tend vers \(0\). Ainsi, des deux côtés de \(0\), \[\boxed{\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.}\] Dans ces quotients, \(h\) est non nul pendant le calcul. Une limite n’est pas une substitution qui obligerait à diviser par \(0\).

Exemple 5.4 — Reconnaître le petit angle, puis rétablir le bon quotient

Pour \(x\neq0\), \[\frac{\sin(3x)}{x} =3\frac{\sin(3x)}{3x}.\] Lorsque \(x\to0\), \(3x\to0\) ; le quotient à droite tend vers \(1\), donc \[\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}=3.\] De même, \[\frac{\cos(5x)-1}{x} =5\frac{\cos(5x)-1}{5x}\longrightarrow0.\] Le facteur extérieur vient du changement de dénominateur ; il ne doit pas être oublié, même si, dans le second exemple, le résultat final reste \(0\).

Définition rappelée — Dérivée en un réel \(a\)

Une fonction \(f\) définie au voisinage de \(a\) est dérivable en \(a\) si le quotient \(\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)\(\displaystyle (h\neq0)\) possède une limite réelle lorsque \(h\to0\). Cette limite est notée \(f'(a)\). Dans le calcul suivant, \(a\) reste fixé ; c’est seulement \(h\) qui tend vers \(0\).

Théorème — Les deux dérivées, démontrées ici

Pour une variable exprimée en radians, les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et \(\displaystyle \boxed{(\sin x)'=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{(\cos x)'=-\sin x}.\) La valeur \(1\) de la limite \(\frac{\sin h}{h}\) est liée à l’unité radian. Les formules ci-dessus ne sont pas des formules de dérivation d’un angle numériquement exprimé en degrés.

Démonstration.

Pour tout réel \(a\) et pour \(h\neq0\), la formule d’addition donne \[\begin{align*} \frac{\sin(a+h)-\sin a}{h} &=\frac{\sin a\cos h+\cos a\sin h-\sin a}{h}\\ &=\frac{\sin a(\cos h-1)+\cos a\sin h}{h}\\ &=\sin a\frac{\cos h-1}{h} +\cos a\frac{\sin h}{h}. \end{align*}\] Les deux limites établies précédemment donnent \[\lim_{h\to0}\frac{\sin(a+h)-\sin a}{h} =\sin a\times0+\cos a\times1=\cos a.\] Le sinus est donc dérivable en tout réel \(a\) et \(\sin'(a)=\cos a\).

Pour le cosinus, on procède de la même façon, en conservant le signe moins : \[\begin{align*} \frac{\cos(a+h)-\cos a}{h} &=\frac{\cos a\cos h-\sin a\sin h-\cos a}{h}\\ &=\frac{\cos a(\cos h-1)-\sin a\sin h}{h}\\ &=\cos a\frac{\cos h-1}{h} -\sin a\frac{\sin h}{h} \longrightarrow-\sin a. \end{align*}\] Le cosinus est donc dérivable en tout réel \(a\) et \(\cos'(a)=-\sin a\).

Corollaire — Continuité sur tout \(\mathbb{R}\)

Les fonctions sinus et cosinus sont continues en tout réel, puisqu’elles y sont dérivables. La continuité en \(0\) utilisée dans les preuves précédentes avait été établie séparément par les encadrements : elle ne dépendait pas de ce corollaire.

Exemple 5.5 — Une limite où le carré change tout

Pour \(x\ne0\), la duplication donne \[\begin{align*} \frac{1-\cos x}{x^2} &=\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\\ &=\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2. \end{align*}\] Lorsque \(x\to0\), l’argument \(x/2\) tend vers \(0\), donc \[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12.}\] On ne peut pas déduire cette limite de la seule limite \(\frac{1-\cos x}{x}\to0\) en divisant encore par un nombre qui tend vers \(0\). C’est la transformation exacte qui rend le calcul possible.

À toi 5.3 — Pourquoi faut-il des radians ?

On définit \(F(t)=\sin(\pi t/180)\) : le nombre \(t\) représente une mesure en degrés. À partir du quotient fondamental, calculer \(\lim_{t\to0}F(t)/t\). Est-ce la valeur \(1\) ?

Correction expliquée et contrôle.

Pour \(t\ne0\), poser \(h=\frac{\pi t}{180}\). Alors \(h\to0\) et \[\frac{F(t)}t =\frac{\pi}{180}\, \frac{\sin(\pi t/180)}{\pi t/180} \longrightarrow\frac{\pi}{180}.\] La limite vaut \(\frac{\pi}{180}\), pas \(1\). Changer l’unité de l’entrée change le facteur d’échelle. Les formules usuelles de dérivation du sinus et du cosinus supposent donc une entrée exprimée en radians.

À toi 5.4 — Guidé — Reconstruire un taux d’accroissement

Pour \(a\) fixé et \(h\ne0\), partir de \(\sin(a+h)=\sin a\cos h+\cos a\sin h\). Soustraire \(\sin a\), regrouper les deux termes contenant \(\sin a\), puis diviser par \(h\). Compléter les deux quotients dont les limites ont déjà été établies. Pourquoi \(a\) n’a-t-il pas à tendre vers \(0\) ?

À toi 5.5 — Essai autonome — Trois limites, trois justifications

Calculer les limites suivantes en faisant apparaître un quotient fondamental ou un encadrement. Indiquer dans chaque cas pourquoi l’expression est définie pour \(x\) non nul suffisamment proche de \(0\). \(\displaystyle \text{a) }\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{2x},\)\(\displaystyle \text{b) }\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\sin(2x)},\)\(\displaystyle \text{c) }\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}.\)

Correction expliquée et contrôle.

a) Le dénominateur \(2x\) est non nul si \(x\neq0\). On écrit \[\frac{\sin(7x)}{2x} =\frac72\frac{\sin(7x)}{7x}\longrightarrow\frac72.\] Le changement de variable est \(h=7x\), qui tend vers \(0\) avec \(x\).

b) Pour \(0<|x|<\frac{\pi}{4}\), on a \(0<|2x|<\frac{\pi}{2}\) et \(\sin(2x)\neq0\). Alors \[\frac{\sin(3x)}{\sin(2x)} =\frac32\, \frac{\dfrac{\sin(3x)}{3x}}{\dfrac{\sin(2x)}{2x}}.\] Le quotient supérieur et le quotient inférieur tendent tous deux vers \(1\). La limite du dénominateur étant non nulle, la limite cherchée vaut \(\frac32\). On n’a pas remplacé séparément les deux sinus par \(0\).

c) Pour \(x\neq0\), le quotient est l’opposé de \(\frac{\cos x-1}{x}\). Sa limite vaut donc \(0\). On pouvait aussi écrire \[\left|\frac{1-\cos x}{x}\right|\leq\frac{|x|}{2}\] pour \(x\) suffisamment proche de \(0\), puis appliquer les gendarmes.

À toi 5.6 — Justifier — Où intervient chaque hypothèse ?

Un élève écrit : « Puisque \(\sin h\leq h\leq\frac{\sin h}{\cos h}\), on a toujours \(\cos h\leq\frac{\sin h}{h}\leq1\). » Préciser le domaine où son calcul est justifié, expliquer les deux opérations sur les inégalités, puis établir la limite à gauche de \(0\) sans diviser une inégalité par un nombre négatif.

Correction expliquée et contrôle.

Le raisonnement géométrique initial suppose \(0<h<\frac{\pi}{2}\). Diviser \(\sin h\leq h\) par \(h>0\) donne \(\frac{\sin h}{h}\leq1\). Multiplier \(h\leq\frac{\sin h}{\cos h}\) par \(\cos h>0\), puis diviser par \(h>0\), donne \(\cos h\leq\frac{\sin h}{h}\). Les sens sont conservés précisément parce que ces facteurs sont positifs. Pour \(h<0\), on pose \(t=-h\) et on utilise \(\frac{\sin h}{h}=\frac{\sin t}{t}\). Quand \(h\to0^-\), \(t\to0^+\), donc la limite à gauche vaut \(1\).

À toi 5.7 — Réparation — Ne pas confondre limite et valeur

Une copie affirme : « \(\sin0=0\), donc \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{x}=0\). »

1. Identifier le problème dans cette justification.

2. Refaire d’abord le cas simple \(\frac{\sin x}{x}\).

3. Nouvel essai : calculer \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(-2x)}{5x}\).

4. Revenir à la copie et donner une correction complète.

Correction expliquée et contrôle.

La règle de limite d’un quotient ne permet pas de conclure lorsque le dénominateur tend vers \(0\). Ici, le numérateur tend aussi vers \(0\) : cette seule information ne détermine pas la limite.

Le rappel utile est \(\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1\), démontré par les aires et les gendarmes ; le cas simple a donc pour réponse \(1\), pas \(0\). Pour le nouvel essai, si \(x\neq0\), \[\frac{\sin(-2x)}{5x} =-\frac25\frac{\sin(-2x)}{-2x}\longrightarrow-\frac25.\] Enfin, le retour à la copie donne \[\frac{\sin(4x)}{x}=4\frac{\sin(4x)}{4x}\longrightarrow4.\] Dans les deux applications, l’angle intérieur tend vers \(0\) et le quotient fondamental a exactement le même angle au numérateur et au dénominateur.

Correction expliquée et contrôle.

Pour \(x\neq0\), \(\displaystyle \frac{\sin(5x)}{3x}=\frac53\frac{\sin(5x)}{5x}\longrightarrow\frac53,\)\(\displaystyle \frac{\cos(2x)-1}{x}=2\frac{\cos(2x)-1}{2x}\longrightarrow0.\) Dans chaque quotient fondamental, l’angle intérieur tend vers \(0\). Pour retrouver la dérivée, on fixe \(a\) et on écrit, pour \(h\neq0\), \[\begin{align*} \frac{\cos(a+h)-\cos a}{h} &=\frac{\cos a\cos h-\sin a\sin h-\cos a}{h}\\ &=\cos a\frac{\cos h-1}{h}-\sin a\frac{\sin h}{h}. \end{align*}\] Le premier terme tend vers \(0\) et le second vers \(-\sin a\). Le taux d’accroissement possède donc une limite réelle : le cosinus est dérivable en \(a\) et sa dérivée vaut \(-\sin a\). Ni la continuité initiale ni les limites fondamentales n’ont été justifiées en utilisant cette dérivée.

Cap — Deux signes à suivre, une structure à reconnaître

Une expression trigonométrique peut être une composée, un carré, un produit ou un quotient. On commence par reconnaître cette structure. On calcule ensuite la dérivée, en écrivant les facteurs intermédiaires et les conditions de définition. Les angles sont toujours exprimés en radians.

Outils antérieurs rappelés — Somme, produit, quotient, chaîne

Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), et soient \(u,v\) dérivables sur \(I\). Pour un réel constant \(k\), \(\displaystyle (u+v)'=u'+v',\)\(\displaystyle (ku)'=ku',\)\(\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.\) Si, en plus, \(v(x)\neq0\) pour tout \(x\in I\), alors \[\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad\text{sur }I.\] Si \(u\) est dérivable sur \(I\), si \(u(I)\) est contenu dans un intervalle \(J\) et si \(F\) est dérivable sur \(J\), alors \[(F\circ u)'(x)=F'(u(x))\,u'(x)\quad(x\in I).\] Cette dernière règle est la règle de la chaîne. Elle se lit : dériver la fonction extérieure, conserver son argument, puis multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.

Corollaire — Sinus et cosinus d’une fonction

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\), alors, sur \(I\), \(\displaystyle \boxed{(\sin u)'=u'\cos u},\)\(\displaystyle \boxed{(\cos u)'=-u'\sin u}.\) Pour une fonction affine \(u(x)=ax+b\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle \boxed{(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)},\)\(\displaystyle \boxed{(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)}.\) Ces deux dernières fonctions sont définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).

Démonstration.

Pour \(F(t)=\sin t\), le théorème de la chaîne donne \(F'(u(x))u'(x)=\cos(u(x))u'(x)\). Pour \(F(t)=\cos t\), il donne \(F'(u(x))u'(x)=-\sin(u(x))u'(x)\). Les deux fonctions extérieures sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), donc toute valeur réelle prise par \(u\) est autorisée. Enfin, si \(u(x)=ax+b\), on a \(u'(x)=a\). Le cas \(a=0\) est inclus : la composée est constante et sa dérivée est nulle.

Proposition — Puissances entières des sinus et cosinus

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(n\) est un entier tel que \(n\geq2\), alors, sur \(I\), \[\bigl((\sin u)^n\bigr)' =n\,u'(\sin u)^{n-1}\cos u,\] \[\bigl((\cos u)^n\bigr)' =-n\,u'(\cos u)^{n-1}\sin u.\] Pour \(n=1\), on retrouve directement les deux formules du corollaire précédent.

Démonstration.

La fonction extérieure \(t\mapsto t^n\) a pour dérivée \(nt^{n-1}\). Appliquée à \(v=\sin u\), la chaîne donne \(n(\sin u)^{n-1}(\sin u)'\) ; on remplace \((\sin u)'\) par \(u'\cos u\). Pour \(v=\cos u\), on remplace \((\cos u)'\) par \(-u'\sin u\). Les facteurs sont tous conservés, quel que soit le signe de \(\sin u\) ou de \(\cos u\).

Exemple 6.1 — Un cosinus avec un argument décroissant

Soit \(f(x)=\cos(-50x+70)\). La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\). La fonction intérieure est \(u(x)=-50x+70\), donc \(u'(x)=-50\). Pour la fonction extérieure \(F(t)=\cos t\), on a \(F'(t)=-\sin t\). La chaîne donne alors \[\begin{align*} f'(x)&=\bigl[-\sin(-50x+70)\bigr]\times(-50)\\ &=\boxed{50\sin(-50x+70)}. \end{align*}\] Le \(70\) reste à l’intérieur de l’argument ; sa dérivée est nulle dans le calcul de \(u'\). Les deux signes moins se compensent. Le nombre \(70\) représente ici une mesure en radians, et non \(70\) degrés.

Exemple 6.2 — Un argument non affine

Soit \(g(x)=\sin(3x^2-1)\), définie sur \(\mathbb{R}\). Comme \(u(x)=3x^2-1\) est un polynôme, il est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(u'(x)=6x\). Donc \[g'(x)=\cos(3x^2-1)\times6x =\boxed{6x\cos(3x^2-1)}.\] Le facteur \(6x\) ne remplace pas l’argument \(3x^2-1\) : il le multiplie à l’extérieur du cosinus.

À toi 6.1 — Essai guidé — Faire apparaître les deux étages

Compléter les étapes sans simplifier trop tôt.

1. \(p(x)=\sin(4x-3)\) : \(u(x)=\ldots\), \(u'(x)=\ldots\), donc \(p'(x)=\cos(\ldots)\times\ldots\).

2. \(q(x)=\cos(-2x+1)\) : \(u(x)=\ldots\), \(u'(x)=\ldots\), donc \(q'(x)=[-\sin(\ldots)]\times\ldots\).

3. \(r(x)=\cos(x^2+2)\) : préciser le domaine de dérivabilité, puis écrire et simplifier \(r'(x)\).

Correction expliquée et contrôle.

Toutes les fonctions intérieures sont des polynômes, donc dérivables sur \(\mathbb{R}\), et la fonction extérieure est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1. \(u(x)=4x-3\), \(u'(x)=4\) et \(p'(x)=\cos(4x-3)\times4=4\cos(4x-3)\).

2. \(u(x)=-2x+1\), \(u'(x)=-2\) et \(q'(x)=[-\sin(-2x+1)]\times(-2)=2\sin(-2x+1)\).

3. \(u(x)=x^2+2\), \(u'(x)=2x\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(r'(x)=[-\sin(x^2+2)]\times2x=-2x\sin(x^2+2)\).

Les arguments sont inchangés dans les sinus et les cosinus obtenus.

Exemple 6.3 — Composer deux fonctions trigonométriques

Soit \(F(x)=\cos(\sin(2x))\). La construction suit trois étapes : \[x\longmapsto 2x\longmapsto\sin(2x)\longmapsto\cos(\sin(2x)).\] Toutes ces fonctions sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Posons \(u(x)=\sin(2x)\). On a \(u'(x)=2\cos(2x)\). Alors \[\begin{align*} F'(x)&=-\sin(u(x))\,u'(x)\\ &=-\sin(\sin(2x))\,2\cos(2x)\\ &=\boxed{-2\cos(2x)\sin(\sin(2x))}. \end{align*}\] Il y a bien deux occurrences du sinus : le sinus intérieur vient de la fonction \(u\), le sinus extérieur vient de la dérivée du cosinus. Le contrôle \(F'(0)=0\) est cohérent : \(F\) est paire, car \(\sin(-2x)=-\sin(2x)\) et le cosinus extérieur efface ce signe.

Exemple 6.4 — Une composée avec une valeur interdite

Pour \(G(x)=\sin(1/x)\), la condition est \(x\ne0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), \(u(x)=1/x\) est dérivable et \(u'(x)=-1/x^2\). Donc \[\boxed{G'(x)=-\frac1{x^2}\cos\left(\frac1x\right)\quad(x\ne0).}\] La formule ne définit pas une dérivée en \(0\), puisque \(G\) n’y est pas définie. Le sinus ne supprime pas la division par zéro présente dans son argument.

Exemple 6.5 — Deux expressions, deux fonctions extérieures

Soient \(f(x)=\sin^2x\) et \(g(x)=\sin(x^2)\), définies sur \(\mathbb{R}\).

Pour \(f\), la fonction intérieure est \(u(x)=\sin x\), et l’extérieure est \(F(t)=t^2\). Donc \(u'(x)=\cos x\) et \(F'(t)=2t\), d’où \[f'(x)=2\sin x\times\cos x =\boxed{2\sin x\cos x}.\] On peut aussi écrire \(f'(x)=\sin(2x)\) grâce à la duplication.

Pour \(g\), l’intérieure est \(v(x)=x^2\) et l’extérieure est le sinus. Donc \(v'(x)=2x\) et \[g'(x)=\cos(x^2)\times2x =\boxed{2x\cos(x^2)}.\] Les deux démarches respectent la même règle de la chaîne, mais les étages ne sont pas dans le même ordre.

Exemple 6.6 — Trois étages et un signe à conserver

Pour \(H(x)=\cos^2(3x-1)\), l’argument affine, le cosinus et le carré forment trois étages. Tous sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). On peut poser \(v(x)=\cos(3x-1)\), puis \(H=v^2\) : \[v'(x)=-3\sin(3x-1),\] \[H'(x)=2v(x)v'(x) =\boxed{-6\cos(3x-1)\sin(3x-1)}.\] Le \(2\) vient du carré, le \(-\) du cosinus et le \(3\) de l’argument affine.

À toi 6.2 — Essai autonome — Lire les parenthèses

Dériver sur \(\mathbb{R}\), en indiquant la fonction extérieure de chaque expression : \(\displaystyle A(x)=\sin^2(2x),\)\(\displaystyle B(x)=\sin(2x^2),\)\(\displaystyle C(x)=\cos^2x,\)\(\displaystyle D(x)=\cos(x^2).\)

Correction expliquée et contrôle.

Pour \(A\), l’extérieure est le carré. D’abord \((\sin(2x))'=2\cos(2x)\), puis \[A'(x)=2\sin(2x)\times2\cos(2x) =4\sin(2x)\cos(2x).\] Pour \(B\), l’extérieure est le sinus, et \((2x^2)'=4x\), donc \(B'(x)=4x\cos(2x^2)\). Pour \(C\), l’extérieure est le carré et \((\cos x)'=-\sin x\), donc \(C'(x)=-2\cos x\sin x\). Pour \(D\), l’extérieure est le cosinus et \((x^2)'=2x\), donc \(D'(x)=-2x\sin(x^2)\). Les arguments et les facteurs extérieurs ne sont pas interchangeables.

Exemple 6.7 — Contrôler une dérivée par une autre écriture exacte

On a vu que \((\sin^2x)'=2\sin x\cos x\). Or l’identité de duplication donne \[\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2.\] En dérivant cette écriture, on obtient \[\left(\frac{1-\cos(2x)}2\right)' =\frac{0-[-2\sin(2x)]}{2}=\sin(2x).\] C’est bien le même résultat, car \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\). Ce contrôle est plus fort qu’une seule valeur numérique : les deux expressions sont égales pour tout \(x\). Il faut cependant avoir une identité démontrée au départ.

Exemple 6.8 — Pourquoi la dérivée de \(x\sin x\) n’est pas \(\cos x\)

La fonction \(f(x)=x\sin x\) est le produit des fonctions \(u(x)=x\) et \(v(x)=\sin x\), toutes deux dérivables sur \(\mathbb{R}\). Avec \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=\cos x\), la règle du produit donne \[f'(x)=1\times\sin x+x\times\cos x =\boxed{\sin x+x\cos x}.\] La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées. Le premier terme correspond à la variation du facteur \(x\) ; le second à celle du facteur \(\sin x\).

À toi 6.3 — Nouvel essai — Produit et composée

Dériver \(P(x)=x\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\). Faire apparaître les deux termes de la règle du produit, puis le facteur issu de la chaîne.

Correction expliquée et contrôle.

On pose \(u(x)=x\), donc \(u'(x)=1\), et \(v(x)=\cos(2x)\), donc \(v'(x)=-2\sin(2x)\). Toutes ces fonctions sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, \[P'(x)=1\times\cos(2x)+x\times[-2\sin(2x)] =\boxed{\cos(2x)-2x\sin(2x)}.\] Le signe moins vient du cosinus ; le \(2\) vient de son argument.

Exemple 6.9 — Un dénominateur qui ne s’annule jamais

Soit \[Q(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}.\] Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\cos x\leq1\), donc \(1\leq2+\cos x\leq3\). Le dénominateur ne s’annule pas. Le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \(Q\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Posons \(u(x)=\sin x\) et \(v(x)=2+\cos x\). Alors \(u'(x)=\cos x\) et \(v'(x)=-\sin x\). Il faut conserver les parenthèses autour de ce dernier terme : \[\begin{align*} Q'(x) &=\frac{\cos x(2+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}\\ &=\frac{2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}\\ &=\boxed{\frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}}. \end{align*}\] Dans la simplification, on a utilisé \(\cos^2x+\sin^2x=1\), et non une nouvelle règle de dérivation.

Vigilance — Définition et dérivabilité sont deux questions

Une expression contenant \(\frac{u(x)}{v(x)}\) n’est définie que lorsque \(v(x)\neq0\). Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, elle est dérivable sur chaque intervalle ouvert où cette condition est vérifiée. On ne donne pas une valeur de dérivée à un point où la fonction elle-même n’est pas définie.

À toi 6.4 — Quotient à trous — Ne perdre ni le signe ni le carré

Soit \[R(x)=\frac{\sin x}{\cos x}.\]

1. Compléter le domaine : \(x\neq\ldots\), pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).

2. Pour \(u(x)=\sin x\) et \(v(x)=\cos x\), compléter \(u'(x)=\ldots\), \(v'(x)=\ldots\).

3. Sur chaque intervalle ouvert du domaine, compléter \[R'(x)=\frac{(\ldots)\cos x-\sin x(\ldots)}{\ldots} =\frac{\cos^2x+\ldots}{\cos^2x}=\ldots.\]

Cet exercice est un entraînement à la règle du quotient ; il n’introduit pas une nouvelle fonction à étudier.

Correction expliquée et contrôle.

Le domaine est \[\mathcal D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\,;\ k\in\mathbb{Z}\right\}.\] Sur chaque intervalle ouvert contenu dans \(\mathcal D\), le numérateur et le dénominateur sont dérivables et le dénominateur est non nul. Avec \(u'=\cos x\) et \(v'=-\sin x\), on obtient \[\begin{align*} R'(x)&=\frac{(\cos x)\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\boxed{\frac1{\cos^2x}}. \end{align*}\] Le deuxième terme du numérateur est positif parce que l’on soustrait un produit contenant déjà un signe moins. La formule n’autorise aucune valeur aux points exclus du domaine.

À toi 6.5 — Quotient autonome — Du domaine à la simplification

Soit \[S(x)=\frac{\cos x+5}{2\sin x}.\] Déterminer son domaine, justifier sa dérivabilité sur chaque intervalle ouvert de ce domaine, puis calculer sa dérivée. Simplifier le numérateur avec \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Correction expliquée et contrôle.

Il faut \(2\sin x\neq0\), soit \(x\neq k\pi\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\). Ainsi \(\mathcal D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi\,;\ k\in\mathbb{Z}\}\). Sur chacun des intervalles \(]k\pi,(k+1)\pi[\), le quotient de deux fonctions dérivables à dénominateur non nul est dérivable. On pose \(u=\cos x+5\), \(u'=-\sin x\), \(v=2\sin x\), \(v'=2\cos x\). Alors \[\begin{align*} S'(x) &=\frac{(-\sin x)(2\sin x)-(\cos x+5)(2\cos x)}{(2\sin x)^2}\\ &=\frac{-2\sin^2x-2\cos^2x-10\cos x}{4\sin^2x}\\ &=\frac{-2-10\cos x}{4\sin^2x} =\boxed{-\frac{1+5\cos x}{2\sin^2x}}. \end{align*}\] La simplification n’enlève pas les points exclus : les calculs sont valables uniquement pour \(x\in\mathcal D\).

À toi 6.6 — Réparer — Le dénominateur disparaît-il en dérivant ?

Une copie donne, pour \(J(x)=\frac1{2+\sin x}\), \[\text{« }J'(x)=-\cos x\text{ ».}\]

1. Montrer d’abord que \(J\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2. Retrouver la dérivée de \(1/x\) par la règle du quotient, pour \(x\ne0\).

3. Corriger \(J'\) en écrivant les quatre éléments \(u,u',v,v'\).

4. Nouvel essai : dériver \(K(x)=\frac1{3+\cos(2x)}\).

Correction expliquée et contrôle.

1. Puisque \(-1\leq\sin x\leq1\), on a \(1\leq2+\sin x\leq3\) : le dénominateur est toujours strictement positif.

2. Pour \(u=1\), \(u'=0\), \(v=x\) et \(v'=1\), la règle donne \[\left(\frac1x\right)'=\frac{0\times x-1\times1}{x^2} =-\frac1{x^2}.\] Le carré du dénominateur est indispensable.

3. Ici \(u=1\), \(u'=0\), \(v=2+\sin x\), \(v'=\cos x\). Ainsi \[J'(x)=\frac{0(2+\sin x)-1\cos x}{(2+\sin x)^2} =\boxed{-\frac{\cos x}{(2+\sin x)^2}}.\]

4. Comme \(3+\cos(2x)\geq2>0\), \(K\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). La dérivée du dénominateur est \(-2\sin(2x)\). D’où \[K'(x)=\frac{0-[1\times(-2\sin(2x))]}{(3+\cos(2x))^2} =\boxed{\frac{2\sin(2x)}{(3+\cos(2x))^2}}.\] Le signe \(+\) devant le quotient provient du produit des deux signes moins. La dérivée elle-même a le signe de \(\sin(2x)\) et n’est donc pas toujours positive.

À toi 6.7 — Justification — Quelles règles, dans quel ordre ?

On considère \(F(x)=x\sin(3x-2)\) et \(G(x)=\frac{\cos x}{2+\cos x}\). Avant tout calcul, préciser leur domaine et les règles nécessaires. Calculer ensuite leurs dérivées et justifier chaque facteur non constant.

Correction expliquée et contrôle.

\(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\). C’est un produit : on utilisera la règle du produit, puis la chaîne pour dériver son deuxième facteur. Les deux facteurs étant dérivables sur \(\mathbb{R}\), \[F'(x)=1\times\sin(3x-2) +x\times3\cos(3x-2) =\sin(3x-2)+3x\cos(3x-2).\] Le \(3\) est la dérivée de \(3x-2\) ; le \(x\) restant vient du terme \(uv'\).

\(G\) est définie sur \(\mathbb{R}\), car \(2+\cos x\geq1\). Le quotient est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). Avec \(u=\cos x\) et \(v=2+\cos x\), on a \(u'=v'=-\sin x\) : \[\begin{align*} G'(x)&=\frac{(-\sin x)(2+\cos x)-\cos x(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}\\ &=\frac{-2\sin x-\sin x\cos x+\cos x\sin x}{(2+\cos x)^2}\\ &=-\frac{2\sin x}{(2+\cos x)^2}. \end{align*}\] Les deux termes mélangés s’annulent seulement après avoir écrit correctement le numérateur du quotient.

À toi 6.8 — Réparation — Du diagnostic au retour à la copie

Une copie propose : \[\text{« Si }f(x)=\cos(-3x+4),\quad f'(x)=-\sin(-3x+4).\text{ »}\]

1. Quel facteur a été oublié ? Rappeler la règle pertinente.

2. Cas simple : dériver \(g(x)=\cos(2x)\) en gardant les deux étages.

3. Nouvel essai : dériver \(h(x)=\cos(-5x+1)\).

4. Revenir à la copie initiale et expliquer le signe final.

Correction expliquée et contrôle.

Le facteur oublié est la dérivée de l’argument \(u(x)=-3x+4\). La règle pertinente est \((\cos u)'=-u'\sin u\) : la dérivée extérieure seule ne suffit pas. Dans le cas simple, \(u(x)=2x\) et \(u'=2\), donc \[g'(x)=[-\sin(2x)]\times2=-2\sin(2x).\] Pour le nouvel essai, \(u(x)=-5x+1\) et \(u'=-5\), donc \[h'(x)=[-\sin(-5x+1)]\times(-5)=5\sin(-5x+1).\] Enfin, dans la copie initiale, \[f'(x)=[-\sin(-3x+4)]\times(-3)=3\sin(-3x+4).\] Le signe positif vient du produit des deux signes moins. Toutes les fonctions intérieures sont affines et le cosinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\) : les trois résultats sont valables pour tout réel \(x\).

À toi 6.9 — Réparation complémentaire — Le produit des dérivées ?

Un élève écrit \((x\sin x)'=1\times\cos x=\cos x\). Rappeler la règle, vérifier d’abord \((x\times x)'\), puis dériver \(K(x)=x\sin(2x)\) avant de revenir à l’erreur initiale.

Correction expliquée et contrôle.

La règle est \((uv)'=u'v+uv'\), et non \((uv)'=u'v'\). Pour le cas simple \(x\times x\), elle donne \(1\times x+x\times1=2x\), ce qui retrouve la dérivée de \(x^2\). Le produit des dérivées donnerait \(1\), donc une réponse fausse. Pour le nouvel essai, \(u=x\), \(u'=1\), \(v=\sin(2x)\) et \(v'=2\cos(2x)\) : \[K'(x)=\sin(2x)+2x\cos(2x).\] Au retour à l’erreur initiale, \(v'=\cos x\) et la réponse corrigée est \(\sin x+x\cos x\). Les trois produits sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).

Proposition — Dériver une symétrie

Si \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), alors :

• si \(f\) est paire, sa dérivée est impaire ;

• si \(f\) est impaire, sa dérivée est paire.

Ce résultat donne un contrôle de cohérence, mais ne suffit pas à déterminer une dérivée.

Démonstration.

Si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\), on dérive les deux membres. La chaîne à gauche donne \(-f'(-x)=f'(x)\), donc \(f'(-x)=-f'(x)\). Si \(f(-x)=-f(x)\), on obtient \(-f'(-x)=-f'(x)\), donc \(f'(-x)=f'(x)\).

Correction expliquée et contrôle.

Première fonction. L’intérieure \(u(x)=-4x+3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(u'=-4\). La chaîne donne, sur \(\mathbb{R}\), \[a'(x)=\cos(-4x+3)\times(-4)=-4\cos(-4x+3).\] Il n’y a pas de signe moins supplémentaire venant du sinus.

Deuxième fonction. Il s’agit du carré de \(v(x)=\sin(3x)\), et non d’un sinus dont l’argument serait un carré. On a \(v'(x)=3\cos(3x)\) sur \(\mathbb{R}\), puis \[b'(x)=2\sin(3x)\times3\cos(3x) =6\sin(3x)\cos(3x).\]

Troisième fonction. C’est un produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) ; la dérivée du deuxième facteur est \(-5\sin(5x)\). Donc \[c'(x)=1\times\cos(5x)+x\times[-5\sin(5x)] =\cos(5x)-5x\sin(5x).\]

Quatrième fonction. Comme \(3+\cos x\geq2>0\) pour tout réel \(x\), \(d\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). La règle du quotient donne \[\begin{align*} d'(x)&=\frac{\cos x(3+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(3+\cos x)^2}\\ &=\frac{3\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(3+\cos x)^2} =\frac{3\cos x+1}{(3+\cos x)^2}. \end{align*}\]

Enfin, pour \(e(x)=\sin(3x^2)\), la fonction extérieure est le sinus et l’intérieure \(3x^2\) a pour dérivée \(6x\). On obtient \[e'(x)=6x\cos(3x^2),\] ce qui diffère de \(b'\). Les parenthèses précisent l’ordre des opérations ; elles déterminent donc aussi l’ordre des règles de dérivation.

Objectif — Passer de la dérivée à une représentation justifiée

Dans cette unité, on construit les courbes du sinus et du cosinus à partir de leurs dérivées. On apprend à distinguer une valeur, une variation et une pente, puis à reconnaître les maxima et les minima. Les angles sont exprimés en radians.

Théorème rappelé — Signe de la dérivée et monotonie

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et dérivable à l’intérieur de \(I\). Si \(f'(x)\geq0\) à l’intérieur, \(f\) est croissante sur \(I\) ; si \(f'(x)\leq0\), elle est décroissante. Une dérivée strictement positive ou strictement négative à l’intérieur donne une variation stricte.

C’est un résultat du cours de dérivation, utilisé ici avec ses hypothèses. Une dérivée nulle en une borne ne retire pas cette borne du domaine.

Définition — Maximum, minimum et extremum

Sur un ensemble \(I\), \(f\) admet un maximum en \(a\in I\) lorsque \[\text{pour tout }x\in I,\quad f(x)\leq f(a).\] Le nombre \(f(a)\) est la valeur maximale ; \(a\) est un point où elle est atteinte. Pour un minimum, on remplace \(\leq\) par \(\geq\).

Un extremum est un maximum ou un minimum. Un extremum local ne compare les valeurs que dans un voisinage du point ; un extremum global sur \(I\) les compare sur tout \(I\).

Propriété — Variations du cosinus

La fonction cosinus est strictement croissante sur \([-\pi;0]\) et strictement décroissante sur \([0;\pi]\). Sur cet intervalle, son maximum vaut \(1\), atteint en \(0\), et son minimum vaut \(-1\), atteint en \(-\pi\) et en \(\pi\).

Démonstration.

Les signes calculés et le théorème de monotonie donnent les deux variations strictes. Les trois valeurs exactes du tableau permettent ensuite de comparer toutes les images : les bornes \(-1\) et \(1\) sont effectivement atteintes.

Propriété — Variations du sinus

Le sinus est strictement décroissant sur \([-\pi;-\frac\pi2]\), strictement croissant sur \([-\frac\pi2;\frac\pi2]\), puis strictement décroissant sur \([\frac\pi2;\pi]\). Son minimum vaut \(-1\), atteint en \(-\frac\pi2\) ; son maximum vaut \(1\), atteint en \(\frac\pi2\).

Démonstration.

Sur chacun des trois intervalles ouverts, le signe strict de \(g'=\cos\) donne le sens de variation. La continuité permet d’inclure les bornes. Les valeurs exactes calculées fournissent les minima et maxima annoncés.

Exemple 7.1 — Comparer sans calculer de valeur approchée

Comparons \(\cos\frac\pi5\) et \(\cos\frac\pi3\). On a \(0<\frac\pi5<\frac\pi3<\pi\) et le cosinus est strictement décroissant sur \([0;\pi]\). L’ordre des images est donc inversé : \[\cos\frac\pi5>\cos\frac\pi3=\frac12.\] Pour le sinus, on ne peut pas utiliser cet argument sur tout \([0;\pi]\), car il change de sens en \(\frac\pi2\). Par exemple \(\sin\frac\pi6=\sin\frac{5\pi}6=\frac12\) malgré des arguments différents.

Corollaire — Extrema sur \(\mathbb{R}\)

Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) : \(\displaystyle \cos(2k\pi)=1,\)\(\displaystyle \cos(\pi+2k\pi)=-1,\) \(\displaystyle \sin\left(\frac\pi2+2k\pi\right)=1,\)\(\displaystyle \sin\left(-\frac\pi2+2k\pi\right)=-1.\) Ce sont tous les points où les extrema globaux sont atteints.

Démonstration.

Sur le cercle unité, l’abscisse \(1\) correspond uniquement à \((1;0)\), l’abscisse \(-1\) à \((-1;0)\). L’ordonnée \(1\) correspond à \((0;1)\), l’ordonnée \(-1\) à \((0;-1)\). Les angles indiqués et leurs tours entiers décrivent exactement ces points. Les encadrements par \(-1\) et \(1\) prouvent le caractère global.

À toi 7.1 — Guidé — Un tableau sur une autre période

Construire le tableau de variations de \(f(x)=\cos x\) sur \([\pi;3\pi]\). Donner la dérivée, les intervalles de signe, les trois valeurs de séparation et le maximum sur cet intervalle.

Correction expliquée et contrôle.

La dérivée est \(-\sin x\). Sur \(]\pi;2\pi[\), \(\sin x<0\), donc \(f'>0\) ; sur \(]2\pi;3\pi[\), \(\sin x>0\), donc \(f'<0\). Les images sont \(-1\), \(1\), \(-1\).

Le maximum vaut \(1\) et est atteint en \(2\pi\). Le contrôle par translation est cohérent : soustraire \(2\pi\) aux trois abscisses ramène au tableau sur \([-\pi;\pi]\).

Propriété rappelée — Équation de la tangente

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(a\) a pour équation \[\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a).}\] Elle passe par \((a;f(a))\) et son coefficient directeur est \(f'(a)\). Ce résultat antérieur concerne une droite tangente à une courbe ; il ne faut pas le confondre avec la fonction trigonométrique nommée tangente.

Exemple 7.2 — La tangente au sinus en zéro

On pose \(f(x)=\sin x\). Le point de contact est \((0;\sin0)=(0;0)\). La pente est \(f'(0)=\cos0=1\). La formule donne \(\displaystyle y=0+1(x-0),\)\(\displaystyle \boxed{y=x}.\) La droite passe bien par l’origine et monte d’une unité quand son abscisse augmente d’une unité. L’égalité \(\sin x=x\) n’est pourtant pas vraie pour tout \(x\) : pour \(x=\frac\pi2\), les deux valeurs sont \(1\) et \(\frac\pi2\).

Exemple 7.3 — Une tangente au cosinus en \(\frac\pi3\)

Pour \(g(x)=\cos x\), on calcule séparément \(\displaystyle g\left(\frac\pi3\right)=\frac12,\)\(\displaystyle g'\left(\frac\pi3\right)=-\sin\frac\pi3=-\frac{\sqrt3}{2}.\) D’où \[\boxed{y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac\pi3\right)}.\] Cette forme montre immédiatement le point de contact. Pour vérifier, on remplace \(x\) par \(\frac\pi3\) : le terme entre parenthèses s’annule et l’on trouve \(\frac12\). La pente négative correspond à la décroissance du cosinus dans cette zone.

Exemple 7.4 — Dérivée nulle : une condition ne suffit pas

La fonction \(q(x)=\sin^3x\) est dérivable et \(\displaystyle q'(x)=3\sin^2x\cos x,\)\(\displaystyle q'(0)=0.\) Cependant, pour \(x<0\) suffisamment proche de \(0\), \(\sin x<0\) donc \(q(x)<0\) ; pour \(x>0\) proche de \(0\), \(q(x)>0\). Il existe des valeurs plus petites et plus grandes que \(q(0)=0\) dans tout voisinage de \(0\) : ce point n’est ni un maximum local ni un minimum local.

Une dérivée nulle donne une tangente horizontale. Pour conclure à un extremum, il faut étudier les variations ou comparer les valeurs.

Proposition — Absence de limite à l’infini

Ni le sinus ni le cosinus n’admettent de limite, finie ou infinie, en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).

Démonstration.

Supposons que \(\cos x\) tende vers un réel \(\ell\) lorsque \(x\to+\infty\). En choisissant des arguments \(2n\pi\) de plus en plus grands, les images restent égales à \(1\) : il faudrait \(\ell=1\). Avec les arguments \(\pi+2n\pi\), les images restent égales à \(-1\) : il faudrait aussi \(\ell=-1\). Cela est impossible. Le fait utilisé est qu’une limite de fonction, si elle existe, doit être retrouvée le long de toute suite d’arguments tendant vers le point étudié.

Pour le sinus, les arguments \(\frac\pi2+2n\pi\) donnent toujours \(1\) et les arguments \(-\frac\pi2+2n\pi\) donnent toujours \(-1\). La même contradiction s’applique. Pour \(-\infty\), on remplace \(2n\pi\) par \(-2n\pi\) dans ces choix. Enfin, les encadrements \(-1\leq\sin x,\cos x\leq1\) excluent toute limite infinie.

À toi 7.2 — Autonome — Quatre informations différentes

1. Sur \(]\frac\pi2;\pi[\), donner le signe du sinus et celui de sa dérivée.

2. Déterminer la tangente au sinus en \(\frac\pi2\).

3. Donner le maximum et le minimum du cosinus sur \([0;\frac\pi3]\).

4. Donner le maximum et le minimum du cosinus sur \(]0;\frac\pi3]\), ou expliquer pourquoi ils n’existent pas.

Indices, après une tentative : utiliser le signe de \(\cos\) pour la première question ; vérifier si une borne est incluse dans les deux dernières.

Correction expliquée et contrôle.

1. Le sinus est positif, car le point est dans le demi-plan supérieur. Sa dérivée \(\cos x\) est négative, car le point est à gauche de l’axe vertical. Une fonction peut donc être positive et décroissante.

2. Au point \(a=\frac\pi2\), on a \(\sin a=1\) et \(\cos a=0\). La tangente est \(y=1+0(x-a)\), donc \(\boxed{y=1}\).

3. Le cosinus est strictement décroissant sur cet intervalle. Son maximum vaut \(\cos0=1\), atteint en \(0\) ; son minimum vaut \(\cos\frac\pi3=\frac12\), atteint en \(\frac\pi3\).

4. Le minimum est toujours \(\frac12\) et reste atteint en \(\frac\pi3\). Le maximum n’existe plus : la valeur \(1\) n’est pas atteinte, et pour tout \(x>0\) de l’intervalle, \(x/2\) y appartient aussi et \(\cos(x/2)>\cos x\). On peut toujours trouver une valeur plus grande. Le nombre \(1\) reste un majorant.

À toi 7.3 — Justifier — Corriger une phrase sur les variations

Une copie affirme : « Le cosinus est positif sur \(]0;\frac\pi2[\), donc il est croissant. » Localiser l’erreur, traiter le cas plus simple \(h(x)=2-x\) sur \([0;1]\), puis revenir au cosinus. Nouvel essai, avant de lire la correction : sur \(]-\pi;-\frac\pi2[\), donner séparément le signe du sinus et son sens de variation.

Correction expliquée et contrôle.

Le signe de la fonction situe sa courbe par rapport à l’axe horizontal ; le signe de sa dérivée détermine son sens de variation. Pour \(h\), on a \(1\leq h(x)\leq2\) sur \([0;1]\), mais \(h'(x)=-1<0\) : elle est positive et décroissante.

Pour le cosinus, la dérivée est \(-\sin x<0\) sur \(]0;\frac\pi2[\). Il est donc également positif et décroissant. Nouvel essai corrigé : sur \(]-\pi;-\frac\pi2[\), le sinus est négatif et sa dérivée \(\cos x\) négative ; il est négatif et décroissant. Il faut donner les deux informations séparément.

Correction expliquée et contrôle.

Le sinus a pour dérivée \(\cos x\), positive sur \(]0;\frac\pi2[\) puis négative sur \(]\frac\pi2;\pi[\). Ses valeurs sont \(0,1,0\) aux abscisses \(0,\frac\pi2,\pi\) : il monte de \(0\) à \(1\), puis descend à \(0\).

En \(\pi\), son image vaut \(0\) et sa pente \(\cos\pi=-1\), donc la tangente est \(\boxed{y=-(x-\pi)}\). Elle passe par \((\pi;0)\). Enfin, \(0<\frac\pi8<\frac\pi6<\frac\pi2\) et le sinus est strictement croissant sur \([0;\frac\pi2]\), donc \(\sin\frac\pi8<\sin\frac\pi6=\frac12\).

Définition — Ensemble des solutions dans un domaine

Résoudre une équation sur un ensemble \(I\), c’est déterminer tous les réels \(x\) de \(I\) qui rendent l’égalité vraie. On note généralement \(S\) cet ensemble. Une valeur peut vérifier l’égalité sans être une solution de la question si elle n’appartient pas à \(I\).

Caractérisation — Égalité de deux cosinus

Pour tous réels \(x\) et \(\alpha\), \[\cos x=\cos\alpha \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\\ \text{ou }x=-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \end{cases}\] Les deux familles sont réunies. Les entiers utilisés dans l’une et l’autre sont indépendants. On pourrait employer \(k\) dans la première et \(m\) dans la seconde.

Démonstration.

Les points du cercle d’abscisse \(\cos\alpha\) sont le point d’angle \(\alpha\) et son symétrique horizontal, d’angle \(-\alpha\). Ils peuvent être confondus. Si \(\cos x=\cos\alpha\), le point associé à \(x\) est nécessairement l’un de ces deux points. Il existe donc un entier \(k\) tel que \(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) : c’est le sens direct.

Réciproquement, si \(x=\alpha+2k\pi\), la périodicité donne \(\cos x=\cos\alpha\). Si \(x=-\alpha+2k\pi\), elle donne \(\cos x=\cos(-\alpha)\), puis la parité donne \(\cos x=\cos\alpha\). Toutes les valeurs annoncées conviennent et aucun autre point du cercle n’a l’abscisse imposée.

Propriété — Choisir un angle de référence

Si \(c\in[-1;1]\), il existe un unique \(\alpha\in[0;\pi]\) tel que \(\cos\alpha=c\). Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont alors \(\alpha+2k\pi\) ou \(-\alpha+2k\pi\). Si \(c\notin[-1;1]\), l’équation \(\cos x=c\) n’a aucune solution.

Démonstration.

La continuité du cosinus sur \([0;\pi]\), avec \(\cos0=1\) et \(\cos\pi=-1\), garantit qu’il atteint chaque valeur intermédiaire : c’est le théorème des valeurs intermédiaires, résultat antérieur. Sa stricte décroissance garantit qu’une valeur n’est atteinte qu’une fois sur cet intervalle. Enfin, \(-1\leq\cos x\leq1\) exclut les autres niveaux.

Exemple 8.1 — Commencer sur un intervalle de référence

Résoudre \(\cos x=\frac12\) sur \([-\pi;\pi]\).

Le niveau \(\frac12\) est admissible et \(\cos(\frac\pi3)=\frac12\). Sur \(\mathbb{R}\), \[x=\frac\pi3+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\frac\pi3+2k\pi.\] Pour la première famille, on impose le domaine : \[\begin{aligned} -\pi\leq\frac\pi3+2k\pi\leq\pi &\Longleftrightarrow-\frac{4\pi}3\leq2k\pi\leq\frac{2\pi}3\\ &\Longleftrightarrow-\frac23\leq k\leq\frac13. \end{aligned}\] On a soustrait \(\frac\pi3\) aux trois membres, puis divisé par \(2\pi>0\), sans changer les sens. Le seul entier de cet intervalle est \(k=0\), donc \(x=\frac\pi3\).

Pour la seconde famille, on ajoute \(\frac\pi3\) aux trois membres : \[-\pi\leq-\frac\pi3+2k\pi\leq\pi \Longleftrightarrow-\frac{2\pi}3\leq2k\pi\leq\frac{4\pi}3 \Longleftrightarrow-\frac13\leq k\leq\frac23.\] Là encore, seul \(k=0\) convient. Finalement, \[\boxed{S=\left\{-\frac\pi3;\frac\pi3\right\}.}\] Les deux nombres sont dans le domaine. Leurs cosinus valent \(\frac12\) par valeur remarquable et parité. Sur \([0;2\pi]\), les mêmes familles donneraient \(\{\frac\pi3;\frac{5\pi}3\}\) : la formule générale reste la même, le domaine change la sélection.

Corollaire — Cosinus égal à \(1\), à \(-1\) ou à \(0\)

Pour tout réel \(x\), les équivalences suivantes sont valables. Dans chaque ligne, le membre de droite signifie qu’il existe un entier \(k\in\mathbb{Z}\) réalisant l’égalité : \[\begin{array}{rcl} \cos x=1&\Longleftrightarrow&x=2k\pi,\\[2mm] \cos x=-1&\Longleftrightarrow&x=\pi+2k\pi,\\[2mm] \cos x=0&\Longleftrightarrow&x=\dfrac\pi2+k\pi. \end{array}\] Ces formes simplifiées découlent de la caractérisation précédente.

Démonstration.

Au niveau \(1\), les familles correspondant à \(\alpha=0\) sont identiques. Au niveau \(-1\), les familles \(\pi+2k\pi\) et \(-\pi+2k\pi\) sont identiques après un changement d’entier : \(-\pi+2k\pi=\pi+2(k-1)\pi\).

Au niveau \(0\), on part de \(\alpha=\frac\pi2\). Les familles \(\frac\pi2+2k\pi\) et \(-\frac\pi2+2k\pi\) alternent tous les demi-tours. La forme \(\frac\pi2+j\pi\) les réunit : si \(j\) est pair on obtient la première ; si \(j\) est impair on obtient la seconde après réindexation. On peut ensuite renommer \(j\) en \(k\).

Exemple 8.2 — Deux réels distincts peuvent représenter le même point

Résoudre \(\cos x=-1\) sur \([-\pi;\pi]\), puis sur \([-\pi;\pi[\).

La forme générale est \(x=\pi+2k\pi\). Pour le premier intervalle, \[-\pi\leq\pi+2k\pi\leq\pi \Longleftrightarrow-2\pi\leq2k\pi\leq0 \Longleftrightarrow-1\leq k\leq0.\] Les entiers \(-1\) et \(0\) donnent \(-\pi\) et \(\pi\). Ainsi \(S=\{-\pi;\pi\}\).

Sur le second intervalle, l’inégalité de droite devient stricte : \(-1\leq k<0\). Il reste seulement \(k=-1\), donc \(S=\{-\pi\}\). Les deux angles de la première réponse aboutissent au même point, mais \(-\pi\) et \(\pi\) sont deux nombres distincts : on ne les fusionne pas.

Exemple 8.3 — Filtrer sur plusieurs périodes

Résoudre \(\cos x=\frac12\) sur \([-2\pi;3\pi]\). Les deux familles restent \(x=\pm\frac\pi3+2k\pi\).

Première famille. \[\begin{aligned} -2\pi\leq\frac\pi3+2k\pi\leq3\pi &\Longleftrightarrow-\frac{7\pi}3\leq2k\pi\leq\frac{8\pi}3\\ &\Longleftrightarrow-\frac76\leq k\leq\frac43. \end{aligned}\] Les entiers sont \(-1,0,1\). Les valeurs correspondantes sont \(\displaystyle -\frac{5\pi}3,\)\(\displaystyle \frac\pi3,\)\(\displaystyle \frac{7\pi}3.\) Seconde famille. \[\begin{aligned} -2\pi\leq-\frac\pi3+2k\pi\leq3\pi &\Longleftrightarrow-\frac{5\pi}3\leq2k\pi\leq\frac{10\pi}3\\ &\Longleftrightarrow-\frac56\leq k\leq\frac53. \end{aligned}\] Ici, seuls \(k=0,1\) restent. Ils donnent \(-\frac\pi3\) et \(\frac{5\pi}3\). On réunit et on ordonne : \[\boxed{S=\left\{-\frac{5\pi}3;-\frac\pi3;\frac\pi3;\frac{5\pi}3;\frac{7\pi}3\right\}.}\] Les deux branches n’utilisent pas la même liste d’entiers. Chaque valeur est dans le domaine et possède le bon cosinus. Les extrémités \(-2\pi\) et \(3\pi\) ne conviennent pas : leurs cosinus sont \(1\) et \(-1\).

Exemple 8.4 — Une réponse exacte sans angle remarquable

Résoudre \(\cos x=0{,}3\) sur \([-\pi;\pi]\).

On définit \(\alpha\) comme l’unique réel de \([0;\pi]\) tel que \(\cos\alpha=0{,}3\). Comme \(0<0{,}3<1\), il appartient à \(]0;\frac\pi2[\). Les solutions exactes sont donc \[\boxed{S=\{-\alpha;\alpha\}.}\] En mode RAD, la touche de cosinus inverse donne \(\alpha\approx1{,}2661\). Les solutions approchées sont \(-1{,}2661\) et \(1{,}2661\). Le symbole \(\approx\) est indispensable : un arrondi n’est généralement pas une solution exacte.

Le contrôle consiste à recalculer le cosinus de l’angle affiché, dans le même mode, et à vérifier une valeur proche de \(0{,}3\). La touche inverse donne un angle principal, pas toute la famille. Une calculatrice réglée en degrés afficherait environ \(72{,}54\) : utiliser directement ce nombre comme des radians serait une erreur d’unité.

À toi 8.1 — Un essai guidé, puis deux recherches personnelles

1. Résoudre \(\cos x=-\frac12\) sur \([-\pi;\pi]\). Commencer par compléter : \(\alpha=\ldots\) dans \([0;\pi]\), puis \(x=\ldots\) ou \(x=\ldots\).

2. Sans consulter la correction, résoudre \(\cos x=0\) sur \(]\pi;3\pi]\).

3. Expliquer pourquoi \(\cos x=1{,}2\) n’a pas de solution, même si l’on autorise un très grand intervalle de recherche.

Aides si nécessaire : pour 1, le point d’abscisse \(-\frac12\) est à gauche du cercle ; pour 2, utiliser la forme \(\frac\pi2+k\pi\) ; pour 3, revenir à l’encadrement du cosinus.

À toi 8.2 — Nouvel essai de réparation — Conserver deux familles distinctes

Résoudre \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\) sur \([0;2\pi]\). Écrire les deux familles dans \(\mathbb{R}\), déterminer les entiers admissibles dans chacune, puis donner et contrôler l’ensemble des solutions. Chercher avant de lire la correction : garder seulement l’angle principal ne suffit pas.

Correction expliquée et contrôle.

L’angle de référence est \(\alpha=\frac{3\pi}4\), car \(\cos(\pi-\frac\pi4)=-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{2}\). La caractérisation donne les deux familles \(\displaystyle x=\frac{3\pi}4+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\)\(\displaystyle \text{ou}\)\(\displaystyle x=-\frac{3\pi}4+2m\pi\quad(m\in\mathbb{Z}).\) Les lettres différentes rappellent que les deux entiers sont indépendants.

Première famille. On impose le domaine demandé : \[\begin{aligned} 0\leq\frac{3\pi}4+2k\pi\leq2\pi &\Longleftrightarrow-\frac{3\pi}4\leq2k\pi\leq\frac{5\pi}4\\ &\Longleftrightarrow-\frac38\leq k\leq\frac58. \end{aligned}\] On a soustrait \(\frac{3\pi}4\), puis divisé par \(2\pi>0\). Le seul entier admissible est \(k=0\), donc \(x=\frac{3\pi}4\).

Seconde famille. On ajoute maintenant \(\frac{3\pi}4\) aux trois membres, puis on divise par \(2\pi>0\) : \[\begin{aligned} 0\leq-\frac{3\pi}4+2m\pi\leq2\pi &\Longleftrightarrow\frac{3\pi}4\leq2m\pi\leq\frac{11\pi}4\\ &\Longleftrightarrow\frac38\leq m\leq\frac{11}8. \end{aligned}\] Le seul entier admissible est \(m=1\). Il donne \(x=-\frac{3\pi}4+2\pi=\frac{5\pi}4\). On réunit les deux valeurs : \[\boxed{S=\left\{\frac{3\pi}4;\frac{5\pi}4\right\}.}\] Contrôle. Les deux angles appartiennent à \([0;2\pi]\). On a \(\frac{3\pi}4=\pi-\frac\pi4\) et \(\frac{5\pi}4=\pi+\frac\pi4\) : les deux cosinus valent \(-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{2}\). La caractérisation et les deux filtres prouvent qu’il n’en manque aucun. Garder uniquement l’angle principal \(\frac{3\pi}4\) aurait supprimé la solution \(\frac{5\pi}4\).

Caractérisation — Égalité de deux sinus

Pour tous réels \(x\) et \(\alpha\), \[\sin x=\sin\alpha \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\\ \text{ou }x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \end{cases}\] Les entiers des deux familles sont indépendants. La réunion signifie que l’une ou l’autre des formes convient.

Démonstration.

La droite horizontale d’ordonnée \(\sin\alpha\) coupe le cercle au point d’angle \(\alpha\) et à son symétrique par rapport à l’axe vertical, d’angle \(\pi-\alpha\). Si \(\sin x=\sin\alpha\), le point d’angle \(x\) est l’un de ces points ; il en diffère donc par un nombre entier de tours. On obtient les deux formes annoncées.

Réciproquement, la périodicité donne \(\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha\). Pour l’autre famille, elle donne \(\sin(\pi-\alpha+2k\pi)=\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), par symétrie. Les deux sens sont établis. Aux hauteurs \(1\) et \(-1\), les deux points se confondent ; il ne faut pas compter deux fois la même famille.

Propriété — Angle de référence du sinus

Pour chaque \(c\in[-1;1]\), il existe un unique \(\alpha\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\) tel que \(\sin\alpha=c\). Si \(c>0\), cet angle est positif ; si \(c<0\), il est négatif. Si \(c\notin[-1;1]\), l’équation \(\sin x=c\) est impossible.

Démonstration.

Le sinus est continu sur l’intervalle considéré et prend les valeurs \(-1\) et \(1\) à ses extrémités. Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence. La stricte croissance assure l’unicité. Comme \(\sin0=0\), la croissance donne aussi le signe de l’angle de référence. L’encadrement \(-1\leq\sin x\leq1\) exclut les niveaux extérieurs.

Exemple 9.1 — Une équation simple sur une période

Résoudre \(\sin x=\frac12\) sur \([0;2\pi]\).

L’angle de référence est \(\alpha=\frac\pi6\). Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont \[x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}6+2k\pi.\] Dans la première famille, \[0\leq\frac\pi6+2k\pi\leq2\pi \Longleftrightarrow-\frac\pi6\leq2k\pi\leq\frac{11\pi}6 \Longleftrightarrow-\frac1{12}\leq k\leq\frac{11}{12}.\] Seul \(k=0\) est entier. Dans la seconde, on soustrait \(\frac{5\pi}6\), puis on divise par \(2\pi>0\) : \[-\frac5{12}\leq k\leq\frac7{12},\] ce qui ne garde également que \(k=0\). Ainsi \[\boxed{S=\left\{\frac\pi6;\frac{5\pi}6\right\}.}\] Les deux nombres sont dans l’intervalle et donnent la hauteur \(\frac12\). Les extrémités \(0\) et \(2\pi\) ont un sinus nul : elles ne sont pas solutions.

Exemple 9.2 — Un niveau négatif : remettre les angles dans le domaine

Résoudre \(\sin x=-\frac12\) sur \([-\pi;\pi]\).

On choisit \(\alpha=-\frac\pi6\). La seconde famille commence à \[\pi-\alpha=\pi+\frac\pi6=\frac{7\pi}6.\] Cette première écriture dépasse \(\pi\), mais la famille correspondante peut encore contenir une solution dans le domaine.

Pour \(x=-\frac\pi6+2k\pi\), le filtre est \[-\frac5{12}\leq k\leq\frac7{12},\] donc \(k=0\) et \(x=-\frac\pi6\).

Pour \(x=\frac{7\pi}6+2k\pi\), on écrit \[-\pi\leq\frac{7\pi}6+2k\pi\leq\pi \Longleftrightarrow-\frac{13\pi}6\leq2k\pi\leq-\frac\pi6 \Longleftrightarrow-\frac{13}{12}\leq k\leq-\frac1{12}.\] Seul \(k=-1\) convient, donnant \(x=\frac{7\pi}6-2\pi=-\frac{5\pi}6\). Finalement, \[\boxed{S=\left\{-\frac{5\pi}6;-\frac\pi6\right\}.}\] Les deux angles sont dans la moitié inférieure du cercle. Leur sinus est bien négatif, et leurs valeurs exactes sont \(-\frac12\).

Corollaire — Les niveaux \(0\), \(1\) et \(-1\)

Pour tout réel \(x\), les équivalences suivantes sont valables. Dans chaque ligne, le membre de droite signifie qu’il existe un entier \(k\in\mathbb{Z}\) réalisant l’égalité : \[\begin{array}{rcl} \sin x=0&\Longleftrightarrow&x=k\pi,\\[2mm] \sin x=1&\Longleftrightarrow&x=\dfrac\pi2+2k\pi,\\[2mm] \sin x=-1&\Longleftrightarrow&x=-\dfrac\pi2+2k\pi. \end{array}\]

Démonstration.

La hauteur \(0\) correspond aux deux points de l’axe horizontal, atteints tous les demi-tours : les familles \(2k\pi\) et \(\pi+2k\pi\) se réunissent en \(k\pi\). La hauteur \(1\) correspond au seul point supérieur, atteint à \(\frac\pi2\) puis après chaque tour. La hauteur \(-1\) correspond au seul point inférieur, atteint à \(-\frac\pi2\) puis après chaque tour. Cela simplifie exactement les familles de la caractérisation.

Exemple 9.3 — Un coefficient intérieur positif

Résoudre \(\sin(2x)=\frac{\sqrt2}2\) sur \([0;\pi]\).

Posons \(t=2x\). Comme \(2>0\), le domaine devient \(t\in[0;2\pi]\). Sur cet intervalle, l’équation \(\sin t=\frac{\sqrt2}2\) donne \(t=\frac\pi4\) ou \(t=\frac{3\pi}4\).

Il reste à diviser chaque égalité par \(2\) : \(\displaystyle 2x=\frac\pi4\Longleftrightarrow x=\frac\pi8,\)\(\displaystyle 2x=\frac{3\pi}4\Longleftrightarrow x=\frac{3\pi}8.\) Donc \(S=\{\frac\pi8;\frac{3\pi}8\}\). Les deux valeurs appartiennent au domaine initial ; leurs doubles sont précisément les deux angles de sinus \(\frac{\sqrt2}2\). Répondre \(\{\frac\pi4;\frac{3\pi}4\}\) aurait oublié le retour à l’inconnue.

Exemple 9.4 — Un coefficient intérieur négatif : deux voies complètes

Résoudre \(\sin(-2x+\frac\pi3)=\frac12\) sur \([0;\pi]\).

Voie 1 : filtrer l’angle d’abord. Posons \(t=-2x+\frac\pi3\). Aux bornes, on obtient \(t=\frac\pi3\) pour \(x=0\) et \(t=-\frac{5\pi}3\) pour \(x=\pi\). La fonction affine décroît, donc \[t\in J=\left[-\frac{5\pi}3;\frac\pi3\right].\] Les angles de sinus \(\frac12\) sont \(t=\frac\pi6+2k\pi\) ou \(t=\frac{5\pi}6+2k\pi\).

Pour la première famille, \[-\frac{5\pi}3\leq\frac\pi6+2k\pi\leq\frac\pi3 \Longleftrightarrow-\frac{11\pi}6\leq2k\pi\leq\frac\pi6 \Longleftrightarrow-\frac{11}{12}\leq k\leq\frac1{12}.\] Seul \(k=0\) convient, donc \(t=\frac\pi6\).

Pour la seconde, \[-\frac{5\pi}3\leq\frac{5\pi}6+2k\pi\leq\frac\pi3 \Longleftrightarrow-\frac{5\pi}2\leq2k\pi\leq-\frac\pi2 \Longleftrightarrow-\frac54\leq k\leq-\frac14.\] Seul \(k=-1\) convient, donc \(t=-\frac{7\pi}6\).

Pour revenir à \(x\), soustraire \(\frac\pi3\) à l’égalité \(-2x+\frac\pi3=t\), puis diviser par \(-2\ne0\) : \[x=\frac{\frac\pi3-t}{2}.\] Ainsi \[\begin{aligned} t=\frac\pi6&\Rightarrow x=\frac{\frac{2\pi}6-\frac\pi6}{2}=\frac\pi{12},\\[2mm] t=-\frac{7\pi}6&\Rightarrow x=\frac{\frac{2\pi}6+\frac{7\pi}6}{2}=\frac{3\pi}4. \end{aligned}\]

Voie 2 : isoler \(x\), puis filtrer. Les deux familles d’angles donnent respectivement \[-2x=-\frac\pi6+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi{12}-k\pi,\] \[-2x=\frac\pi2+2k\pi\Rightarrow x=-\frac\pi4-k\pi.\] Dans la première, le domaine donne \[0\leq\frac\pi{12}-k\pi\leq\pi \Longleftrightarrow-\frac\pi{12}\leq-k\pi\leq\frac{11\pi}{12}.\] Diviser par \(-\pi<0\) inverse les deux sens : \(\frac1{12}\geq k\geq-\frac{11}{12}\), soit \(-\frac{11}{12}\leq k\leq\frac1{12}\). On garde \(k=0\).

Dans la seconde, \(0\leq-\frac\pi4-k\pi\leq\pi\) donne \(\frac\pi4\leq-k\pi\leq\frac{5\pi}4\), puis \(-\frac54\leq k\leq-\frac14\). On garde \(k=-1\). Les deux voies conduisent à \[\boxed{S=\left\{\frac\pi{12};\frac{3\pi}4\right\}.}\] Pour contrôler, les arguments initiaux sont \(\frac\pi6\) et \(-\frac{7\pi}6=\frac{5\pi}6-2\pi\), dont le sinus vaut \(\frac12\). La première voie rend le domaine angulaire visible ; la seconde évite de changer d’intervalle, mais demande de manipuler soigneusement les signes.

Cas particulier — Le coefficient intérieur est nul

Si \(a=0\), \(\sin(ax+b)=c\) devient \(\sin b=c\) : l’égalité ne dépend plus de \(x\). Si elle est vraie, tous les nombres du domaine demandé conviennent ; si elle est fausse, aucun ne convient. On ne divise jamais par \(a\) avant d’avoir écarté ce cas.

À toi 9.1 — Changer de domaine, changer d’argument, justifier

1. Résoudre \(\sin x=-\frac12\) sur \([0;2\pi[\). Commencer par les deux familles dans \(\mathbb{R}\).

2. Sans consulter, résoudre \(\cos(2x-\frac\pi3)=1\) sur \([0;2\pi[\).

3. Un élève trouve \(x=\frac\pi6+\frac{k\pi}{2}\) pour \(\sin(2x-\frac\pi3)=0\). Sa formule est-elle correcte ? Justifier et donner les solutions dans \([0;\pi]\).

Aides : pour 1, déplacer les deux angles négatifs d’un tour ; pour 2, \(\cos t=1\) signifie \(t=2k\pi\) ; pour 3, le sinus est nul tous les demi-tours.

À toi 9.2 — Nouvel essai de réparation — Des entiers différents selon la branche

Résoudre \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\). Construire les deux familles avec des lettres d’entiers différentes, filtrer chacune sur l’intervalle et contrôler les solutions obtenues. Expliquer enfin pourquoi il serait faux d’exiger le même entier dans les deux branches.

Correction expliquée et contrôle.

On choisit \(\alpha=-\frac\pi4\), car \(\sin(-\frac\pi4)=-\frac{\sqrt2}{2}\). L’angle de la seconde famille est \(\pi-\alpha=\pi+\frac\pi4=\frac{5\pi}4\). Toutes les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont donc \(\displaystyle x=-\frac\pi4+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\)\(\displaystyle \text{ou}\)\(\displaystyle x=\frac{5\pi}4+2m\pi\quad(m\in\mathbb{Z}).\)

Première famille. Ajouter \(\frac\pi4\) aux trois membres, puis diviser par \(2\pi>0\), donne \[\begin{aligned} -\pi\leq-\frac\pi4+2k\pi\leq\pi &\Longleftrightarrow-\frac{3\pi}4\leq2k\pi\leq\frac{5\pi}4\\ &\Longleftrightarrow-\frac38\leq k\leq\frac58. \end{aligned}\] Seul \(k=0\) convient. La première solution est \(-\frac\pi4\).

Seconde famille. Soustraire \(\frac{5\pi}4\), puis diviser par \(2\pi>0\), donne \[\begin{aligned} -\pi\leq\frac{5\pi}4+2m\pi\leq\pi &\Longleftrightarrow-\frac{9\pi}4\leq2m\pi\leq-\frac\pi4\\ &\Longleftrightarrow-\frac98\leq m\leq-\frac18. \end{aligned}\] Seul \(m=-1\) convient. Il donne \(x=\frac{5\pi}4-2\pi=-\frac{3\pi}4\). En réunissant les valeurs obtenues, on trouve \[\boxed{S=\left\{-\frac{3\pi}4;-\frac\pi4\right\}.}\] Contrôle. Les deux angles sont compris entre \(-\pi\) et \(\pi\). Par imparité, \(\sin(-\frac\pi4)=-\sin\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin(-\frac{3\pi}4)=-\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}{2}\).

La première branche garde l’entier \(0\) ; la seconde garde l’entier \(-1\). Exiger le même entier dans les deux aurait conduit à rejeter à tort les deux solutions. On doit réunir les valeurs de \(x\) issues des deux familles, et non chercher des entiers communs aux deux filtres.

Rappel — Équivalence et implication

Deux équations sont équivalentes sur un domaine si elles ont exactement les mêmes solutions sur ce domaine. On note \(\Longleftrightarrow\) une transformation réversible.

Une implication \(E\Longrightarrow F\) dit seulement que toute solution de \(E\) est solution de \(F\). On peut alors chercher les candidats donnés par \(F\), puis vérifier chacun dans l’équation initiale. Cette vérification élimine les candidats ajoutés ; elle ne répare pas une division qui aurait supprimé des solutions.

Exemple 10.1 — Une égalité de cosinus avec deux arguments

Résoudre \(\cos(2x)=\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

La caractérisation donne deux équations : \[2x=x+2k\pi\quad\text{ou}\quad2x=-x+2k\pi.\] Dans la première, soustraire \(x\) aux deux membres donne \(x=2k\pi\). Dans la seconde, ajouter \(x\) donne \(3x=2k\pi\), puis diviser par \(3\ne0\) donne \(x=\frac{2k\pi}3\).

Il faut réunir les deux familles. Or chaque \(2k\pi\) s’écrit \(\frac{2(3k)\pi}3\) : la première famille est incluse dans la seconde. Ainsi \[\boxed{S=\left\{\frac{2k\pi}3:k\in\mathbb{Z}\right\}.}\] L’inclusion justifie la simplification de l’ensemble. Elle ne vient pas seulement de la ressemblance des formules. Pour contrôler, si \(x=\frac{2k\pi}3\), alors \(2x=-x+2k\pi\) ; par périodicité et parité, \(\cos(2x)=\cos x\).

Exemple 10.2 — Un sinus et un cosinus : convertir la fonction

Résoudre \(\sin x=\cos(2x)\) sur \([0;2\pi]\).

L’identité \(\cos t=\sin(\frac\pi2-t)\) transforme le membre droit en \(\sin(\frac\pi2-2x)\). La caractérisation donne \[x=\frac\pi2-2x+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\left(\frac\pi2-2x\right)+2k\pi.\] Première branche. Ajouter \(2x\) donne \(3x=\frac\pi2+2k\pi\), puis \[x=\frac\pi6+\frac{2k\pi}3.\] Le domaine impose \[0\leq\frac\pi6+\frac{2k\pi}3\leq2\pi \Longleftrightarrow-\frac\pi6\leq\frac{2k\pi}3\leq\frac{11\pi}6 \Longleftrightarrow-\frac14\leq k\leq\frac{11}4.\] Les entiers sont \(0,1,2\), d’où \(\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{3\pi}2\).

Seconde branche. Développer le signe moins donne \(x=\frac\pi2+2x+2k\pi\). Soustraire \(2x\) donne \(-x=\frac\pi2+2k\pi\), donc \(x=-\frac\pi2-2k\pi\). Le filtre \(0\leq x\leq2\pi\) devient \(-\frac54\leq k\leq-\frac14\), donc \(k=-1\). On retrouve \(\frac{3\pi}2\).

Après suppression de ce doublon, \[\boxed{S=\left\{\frac\pi6;\frac{5\pi}6;\frac{3\pi}2\right\}.}\] En \(\frac{3\pi}2\), les deux membres valent \(-1\). En \(\frac\pi6\) et \(\frac{5\pi}6\), ils valent \(\frac12\). Tous les angles sont dans le domaine et les deux branches ont été entièrement traitées.

Exemple 10.3 — Ne pas fabriquer un entier qui n’existe pas

Résoudre \(\sin x=\cos x\) sur \([-\pi;\pi]\).

Écrire \(\cos x=\sin(\frac\pi2-x)\). Les deux branches sont \[x=\frac\pi2-x+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\left(\frac\pi2-x\right)+2k\pi.\] La première donne \(2x=\frac\pi2+2k\pi\), donc \(x=\frac\pi4+k\pi\). La seconde donne \(x=\frac\pi2+x+2k\pi\), soit \[0=\frac\pi2+2k\pi\Longleftrightarrow k=-\frac14.\] Mais \(k\) doit être entier : cette branche ne fournit aucune solution.

Dans la première, \(-\pi\leq\frac\pi4+k\pi\leq\pi\) donne \(-\frac54\leq k\leq\frac34\). On garde \(k=-1,0\), d’où \(S=\{-\frac{3\pi}4;\frac\pi4\}\). Pour ces deux angles, les coordonnées du point du cercle sont égales.

Exemple 10.4 — Factoriser au lieu de diviser

Résoudre \(\sin x\cos x=\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

On soustrait \(\sin x\) aux deux membres, puis on rend le facteur commun visible : \[\begin{aligned} \sin x\cos x-\sin x&=0,\\ \sin x\cos x-\sin x\times1&=0,\\ \sin x(\cos x-1)&=0. \end{aligned}\] Un produit de deux réels est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Donc \(\sin x=0\) ou \(\cos x-1=0\).

La première branche donne \(x=k\pi\). La seconde donne \(\cos x=1\), donc \(x=2k\pi\). Elle est incluse dans la première. Finalement, \[\boxed{S=\{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}.}\] Re-développer le produit redonne la différence initiale. Substituer \(x=\pi\) donne \(0\times(-1)=0\), donc une vraie solution. Une division initiale par \(\sin x\) aurait supprimé cette solution et tous les autres zéros du sinus.

Méthode — Une équation algébrique sur une valeur trigonométrique

Si l’on pose \(t=\sin x\) ou \(t=\cos x\), on doit conserver \(t\in[-1;1]\).

1. Résoudre l’équation algébrique en \(t\).

2. Écarter les racines qui n’appartiennent pas à \([-1;1]\).

3. Pour chaque valeur restante, résoudre l’équation trigonométrique en \(x\).

4. Réunir les solutions dans le domaine initial.

Les valeurs de \(t\) ne sont pas les angles cherchés.

Exemple 10.5 — Résoudre \(\cos(2x)=\sin x\) par une variable auxiliaire

Reprenons \(\cos(2x)=\sin x\) sur \([0;2\pi]\). L’identité \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\) permet de poser \(t=\sin x\) et d’obtenir \[1-2t^2=t\Longleftrightarrow2t^2+t-1=0.\] On reconnaît la factorisation, que l’on contrôle par développement : \[(2t-1)(t+1)=2t^2+2t-t-1=2t^2+t-1.\] Le produit nul donne \(t=\frac12\) ou \(t=-1\). Les deux valeurs appartiennent à \([-1;1]\).

Retour à \(x\). Sur \([0;2\pi]\), \(\sin x=\frac12\) donne \(\frac\pi6\) et \(\frac{5\pi}6\) ; \(\sin x=-1\) donne \(\frac{3\pi}2\). L’ensemble est donc le même que dans la méthode par égalité de deux sinus.

Cette voie est courte parce que la duplication transforme tout en une seule fonction trigonométrique. La première voie reste utile quand aucun polynôme simple n’apparaît. Dans les deux cas, la réponse finale porte sur \(x\).

Exemple 10.6 — Une racine algébrique peut ne produire aucun angle

Résoudre \(2\cos^2x-5\cos x+2=0\) sur \([-\pi;\pi]\).

Posons \(t=\cos x\in[-1;1]\). Le développement \[(2t-1)(t-2)=2t^2-4t-t+2=2t^2-5t+2\] donne les racines \(t=\frac12\) et \(t=2\). La valeur \(2\) est impossible pour un cosinus ; elle ne fournit donc aucune solution.

Il reste \(\cos x=\frac12\). Sur le domaine demandé, on obtient \[S=\left\{-\frac\pi3;\frac\pi3\right\}.\] Pour contrôler, substituer \(\cos x=\frac12\) dans le membre initial donne \[2\times\frac14-5\times\frac12+2=\frac12-\frac52+2=0.\] La restriction \(t\in[-1;1]\) intervient après la résolution algébrique et avant le retour à l’angle.

Rappel — Une simplification ne crée pas de nouvelles valeurs autorisées

Une fraction \(\frac{A(x)}{B(x)}\) est définie seulement si \(B(x)\ne0\). Sur ce domaine, multiplier une équation par \(B(x)\) est réversible. Simplifier un facteur commun est également permis lorsqu’il est non nul, mais les exclusions initiales restent valables.

Exemple 10.7 — Une même expression simplifiée, des solutions à filtrer

Résoudre \(\displaystyle \frac{\sin(2x)}{\sin x}=1\)\(\displaystyle \text{sur }[0;2\pi].\) Domaine. On doit imposer \(\sin x\ne0\). Dans l’intervalle, les valeurs \(0,\pi,2\pi\) sont interdites. Le domaine de l’équation est donc \(D=]0;\pi[\cup]\pi;2\pi[\).

Pour \(x\in D\), la duplication puis la simplification donnent \[\frac{\sin(2x)}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x.\] L’équation est donc équivalente, sur \(D\), à \(2\cos x=1\), soit \(\cos x=\frac12\). Les candidats de \([0;2\pi]\) sont \(\frac\pi3\) et \(\frac{5\pi}3\). Leurs sinus sont non nuls : tous deux appartiennent à \(D\). \[\boxed{S=\left\{\frac\pi3;\frac{5\pi}3\right\}.}\] Le contrôle par \(2\cos x\) vaut \(1\) sur le domaine autorisé.

Variation révélatrice. Si le second membre était \(2\), l’équation simplifiée serait \(\cos x=1\). Ses candidats \(0\) et \(2\pi\) sont tous deux interdits. L’équation initiale aurait donc \(S=\varnothing\). Écrire simplement \(0\) et \(2\pi\) aurait oublié le dénominateur initial.

Contre-exemple — Le carré oublie le signe

\(\sin x=\cos x\) implique \(\sin^2x=\cos^2x\), mais la réciproque est fausse. En \(x=\frac{3\pi}4\), les deux carrés valent \(\frac12\), alors que le sinus vaut \(\frac{\sqrt2}2\) et le cosinus \(-\frac{\sqrt2}2\).

Exemple 10.8 — Résoudre avec une étape non réversible

Résoudre \(\sin x+\cos x=1\) sur \([0;2\pi[\).

Toute solution vérifie, après élévation au carré, \[(\sin x+\cos x)^2=1 \Longrightarrow\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1.\] L’identité fondamentale donne \(1+2\sin x\cos x=1\), donc \(\sin x\cos x=0\). Les candidats sont les angles où l’un des facteurs s’annule : \[0,\quad\frac\pi2,\quad\pi,\quad\frac{3\pi}2.\] Il faut les vérifier dans l’égalité sans carré : \[\begin{array}{c|rrrr} x&0&\frac\pi2&\pi&\frac{3\pi}2\\ \hline \sin x+\cos x&1&1&-1&-1 \end{array}\] On conserve les deux premiers seulement : \[\boxed{S=\left\{0;\frac\pi2\right\}.}\] L’implication de départ garantit que toute solution initiale figurait dans la liste des candidats. Le contrôle final élimine les valeurs qui satisfaisaient le carré mais avaient le mauvais signe. Les deux étapes sont nécessaires à la résolution.

À toi 10.1 — Choisir une transformation et la justifier

Chercher d’abord sans regarder les aides.

1. Résoudre \(2\sin^2x-\sin x=0\) sur \([0;2\pi[\).

2. Résoudre \(\cos^2x=\sin^2x\) sur \([0;2\pi[\). Parmi les solutions, lesquelles vérifient aussi \(\cos x=\sin x\) ?

3. Résoudre \(\frac{\sin(2x)}{\sin x}=-2\) sur \([-\pi;\pi]\).

4. Expliquer pourquoi la réponse \(\{0;\frac12\}\) est insuffisante pour la question 1.

Aides : chercher un facteur commun en 1 ; utiliser \(\sin^2x+\cos^2x=1\) en 2 ; écrire d’abord les interdits en 3 ; distinguer valeur de la fonction et angle en 4.

Définition — Ensemble solution d’une inéquation

Résoudre \(f(x)\leq c\) sur \(I\), c’est déterminer l’ensemble \[S=\{x\in I:f(x)\leq c\}.\] Deux conditions sont simultanées : appartenir à \(I\) et vérifier l’inégalité. Si l’on a d’abord trouvé les solutions dans \(\mathbb{R}\), on les intersecte avec \(I\).

Théorème — Caractérisation des deux arcs du cosinus

Soit \(\alpha\in[0;\pi]\). Pour tout réel \(x\), \[\cos x\geq\cos\alpha \Longleftrightarrow x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[-\alpha+2k\pi;\alpha+2k\pi],\] \[\cos x\leq\cos\alpha \Longleftrightarrow x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[\alpha+2k\pi;2\pi-\alpha+2k\pi].\] Le symbole \(\bigcup\) signifie que l’on réunit les intervalles obtenus pour tous les entiers \(k\). Pour \(0<\alpha<\pi\), les versions strictes s’obtiennent en retirant les extrémités de chaque arc. Pour \(\alpha=0\) ou \(\alpha=\pi\), traiter les niveaux extrêmes directement.

Démonstration.

La verticale d’abscisse \(\cos\alpha\) rencontre le cercle aux angles \(\alpha\) et \(-\alpha\). L’arc qui passe par \((1;0)\) contient exactement les points dont l’abscisse est supérieure ou égale à \(\cos\alpha\). On peut le parcourir avec les angles de \([-\alpha;\alpha]\).

L’autre arc passe par \((-1;0)\) : il contient exactement les points dont l’abscisse est inférieure ou égale au seuil. Il se parcourt de \(\alpha\) à \(2\pi-\alpha\), le second angle représentant le même point que \(-\alpha\).

Chaque réel qui vérifie l’inégalité aboutit à un point de l’arc correspondant ; il possède donc l’une des mesures annoncées, à un tour entier près. Réciproquement, chaque angle de ces intervalles aboutit dans le bon demi-plan. Cela prouve les deux sens. Ajouter \(2k\pi\) donne tous les tours. Pour une inégalité stricte, les intersections avec la verticale sont exclues.

Exemple 11.1 — Une inégalité large sur \([-\pi;\pi]\)

Résoudre \(\cos x\leq\frac12\) sur \(I=[-\pi;\pi]\).

L’angle de référence est \(\alpha=\frac\pi3\). Il faut garder l’arc à gauche de la verticale d’abscisse \(\frac12\). Sur l’intervalle demandé, cet arc se traduit par \[\boxed{S=\left[-\pi;-\frac\pi3\right]\cup\left[\frac\pi3;\pi\right].}\] Les quatre bornes se justifient :

• \(\cos(\pm\frac\pi3)=\frac12\) : l’égalité est autorisée, donc ces bornes sont gardées ;

• \(\cos(\pm\pi)=-1<\frac12\) : ces bornes du domaine conviennent également ;

• \(0\) n’est pas dans les intervalles, ce qui est cohérent avec \(\cos0=1>\frac12\).

Autre justification par les variations. Sur \([0;\pi]\), cosinus décroît : après \(\frac\pi3\), ses valeurs sont au plus \(\frac12\), d’où \([\frac\pi3;\pi]\). Par parité, le morceau symétrique \([-\pi;-\frac\pi3]\) convient également. Cette voie est utile si l’on maîtrise les variations et que l’intervalle est symétrique.

Exemple 11.2 — Passer à une inégalité stricte sans ouvrir tous les crochets

Résoudre \(\cos x<\frac12\) sur le même intervalle \([-\pi;\pi]\).

On repart de l’ensemble de l’exemple précédent et on retire les angles qui donnent exactement \(\frac12\) : \(-\frac\pi3\) et \(\frac\pi3\). En revanche, \(-\pi\) et \(\pi\) donnent \(-1\), strictement inférieur à \(\frac12\). Ils restent autorisés. Ainsi \[\boxed{S=\left[-\pi;-\frac\pi3\right[\,\cup\,\left]\frac\pi3;\pi\right].}\] La règle « une inégalité stricte signifie tous les crochets ouverts » est donc fausse. Chaque crochet exprime l’appartenance de sa propre borne à l’ensemble solution.

Théorème — Caractérisation des deux arcs du sinus

Soit \(\beta\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\). Pour tout réel \(x\), \[\sin x\geq\sin\beta \Longleftrightarrow x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[\beta+2k\pi;\pi-\beta+2k\pi],\] \[\sin x\leq\sin\beta \Longleftrightarrow x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[-\pi-\beta+2k\pi;\beta+2k\pi].\] Pour \(-\frac\pi2<\beta<\frac\pi2\), les versions strictes excluent les extrémités de chaque arc. Aux deux niveaux extrêmes, on vérifie directement les points où le sinus vaut \(1\) ou \(-1\).

Démonstration.

La droite horizontale d’ordonnée \(\sin\beta\) rencontre le cercle aux angles \(\beta\) et \(\pi-\beta\). Comme \(\beta\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\), le premier point est dans le demi-plan droit et le second dans le demi-plan gauche.

L’arc supérieur, parcouru dans le sens direct de \(\beta\) à \(\pi-\beta\), passe par le point le plus haut du cercle. Ses points ont exactement les ordonnées supérieures ou égales à \(\sin\beta\). On obtient donc les mesures de \([\beta;\pi-\beta]\) et leurs translations de tours.

L’arc inférieur passe par le point le plus bas. Son extrémité gauche peut être représentée par \(-\pi-\beta\), car \[(-\pi-\beta)+2\pi=\pi-\beta.\] Le parcourir de \(-\pi-\beta\) à \(\beta\) donne les points dont l’ordonnée est inférieure ou égale au seuil.

Tout angle satisfaisant l’inégalité aboutit sur le bon arc et possède l’une de ces mesures modulo un tour. Réciproquement, un angle des intervalles annoncés aboutit dans le demi-plan voulu. Les deux sens sont établis. La restriction sur \(\beta\) garantit l’ordre et le choix des arcs ; on ne peut pas remplacer \(\beta\) par n’importe quel angle de même sinus dans ces écritures sans les réexaminer.

Exemple 11.3 — Un seuil négatif pour le sinus

Résoudre \(\sin x\geq-\frac12\) sur \(I=[-\pi;\pi]\).

On choisit \(\beta=-\frac\pi6\). Un arc solution est \[A_0=\left[-\frac\pi6;\frac{7\pi}6\right].\] Il dépasse la borne droite de \(I\), donc son intersection avec \(I\) est \([-\frac\pi6;\pi]\).

L’arc précédent est obtenu en retirant \(2\pi\) aux deux bornes : \[A_{-1}=\left[-\frac{13\pi}6;-\frac{5\pi}6\right].\] Il ne garde dans \(I\) que \([-\pi;-\frac{5\pi}6]\). L’arc suivant commence à \(\frac{11\pi}6>\pi\) ; les arcs plus anciens finissent avant \(-\pi\). Il n’y a donc pas d’autre morceau. \[\boxed{S=\left[-\pi;-\frac{5\pi}6\right]\cup\left[-\frac\pi6;\pi\right].}\] Au point \(-\frac\pi2\) situé dans le trou, le sinus vaut \(-1<-\frac12\) : l’exclusion est cohérente. Aux bornes \(-\pi\) et \(\pi\), le sinus vaut \(0\), donc elles sont conservées. Aux deux autres bornes, il vaut exactement \(-\frac12\), permis par l’inégalité large.

Exemple 11.4 — Une intersection peut se réduire à un point

Résoudre \(\sin x\leq0\) sur \([-\pi;\pi]\).

On choisit \(\beta=0\). Les arcs du demi-plan inférieur sont \(\displaystyle [-\pi+2k\pi;2k\pi],\)\(\displaystyle k\in\mathbb{Z}.\) Pour \(k=0\), on obtient \([-\pi;0]\), entièrement dans le domaine. Pour \(k=1\), l’arc \([\pi;2\pi]\) ne rencontre le domaine qu’en \(\pi\). Les autres arcs ne le rencontrent pas. Ainsi \[\boxed{S=[-\pi;0]\cup\{\pi\}.}\] Le point isolé est indispensable : \(\pi\) appartient au domaine et \(\sin\pi=0\leq0\).

Avec \(\sin x<0\), les zéros \(-\pi,0,\pi\) sont exclus et l’ensemble devient \(]-\pi;0[\). Avec le domaine \([-\pi;\pi[\) et l’inégalité large, seule la solution isolée \(\pi\) disparaît : il reste \([-\pi;0]\).

Exemple 11.5 — Quatre comparaisons avec le même nombre

Sur \([0;2\pi]\), comparons les inéquations de seuil \(1\) pour le sinus.

• \(\sin x\leq1\) : tous les points conviennent, donc \(S=[0;2\pi]\).

• \(\sin x>1\) : aucun point ne convient, donc \(S=\varnothing\).

• \(\sin x\geq1\) : seule l’égalité est possible ; le maximum est atteint en \(\frac\pi2\), donc \(S=\{\frac\pi2\}\).

• \(\sin x<1\) : on garde tout sauf ce maximum, donc \[S=\left[0;\frac\pi2\right[\,\cup\,\left]\frac\pi2;2\pi\right].\]

Les extrémités \(0\) et \(2\pi\) restent dans la dernière réponse puisque leur sinus vaut \(0<1\). Pour le seuil \(-1\), le même raisonnement porte sur le minimum, atteint ici en \(\frac{3\pi}2\).

À toi 11.1 — Des arcs, des bornes et une justification

1. Sur \([-\pi;\pi]\), résoudre \(\cos x>0\). Tracer d’abord le demi-plan utile.

2. Sur \([-\pi;\pi]\), résoudre \(\cos x<-\frac{\sqrt2}2\).

3. Sur \([0;2\pi]\), résoudre \(\sin x\leq\frac12\).

4. Sur \([-\pi;\pi[\), résoudre \(\sin x\leq0\) et expliquer la différence avec l’exemple précédent sur l’intervalle fermé.

Aides : pour 1, l’abscisse doit être strictement positive ; pour 2, prendre \(\alpha=\frac{3\pi}4\) ; pour 3, déterminer d’abord où le sinus est strictement supérieur à \(\frac12\) ; pour 4, relire le crochet droit.

Exemple 12.1 — Un argument positif et deux morceaux

Résoudre \(\sin(2x-\frac\pi2)\leq0\) pour \(x\in[0;\pi]\).

Posons \(t=2x-\frac\pi2\). Comme le coefficient \(2\) est positif, \(t\) parcourt \(J=[-\frac\pi2;\frac{3\pi}2]\). Les arcs du demi-plan inférieur sont \([-\pi+2k\pi;2k\pi]\).

Dans \(J\), l’arc \([-\pi;0]\) garde \([-\frac\pi2;0]\) ; l’arc \([\pi;2\pi]\) garde \([\pi;\frac{3\pi}2]\). Les autres ne rencontrent pas \(J\).

Pour le premier morceau, \[-\frac\pi2\leq2x-\frac\pi2\leq0 \Longleftrightarrow0\leq2x\leq\frac\pi2 \Longleftrightarrow0\leq x\leq\frac\pi4.\] Pour le second, \[\pi\leq2x-\frac\pi2\leq\frac{3\pi}2 \Longleftrightarrow\frac{3\pi}2\leq2x\leq2\pi \Longleftrightarrow\frac{3\pi}4\leq x\leq\pi.\] Ainsi \[\boxed{S=\left[0;\frac\pi4\right]\cup\left[\frac{3\pi}4;\pi\right].}\] Aux bornes \(x=0,\pi\), les sinus valent \(-1\). Aux deux bornes intérieures, ils valent \(0\), autorisé par \(\leq\). Au milieu \(x=\frac\pi2\), l’argument vaut \(\frac\pi2\), dont le sinus \(1\) ne convient pas : le trou est justifié.

Proposition — Sélectionner les arcs fermés qui rencontrent un intervalle

Soient \(J=[L;U]\) avec \(L\leq U\) et \(A_k=[r+2k\pi;s+2k\pi]\) avec \(r\leq s\). L’intersection est non vide si et seulement si \(\displaystyle r+2k\pi\leq U\)\(\displaystyle \text{et}\)\(\displaystyle s+2k\pi\geq L.\) Cela équivaut à \[\frac{L-s}{2\pi}\leq k\leq\frac{U-r}{2\pi}.\] On sélectionne les entiers de cet intervalle, puis on calcule chaque intersection. Si un arc ou le domaine est ouvert, un contact réduit à une borne doit être contrôlé séparément.

Démonstration.

Deux intervalles fermés se rencontrent exactement lorsque le début du premier n’est pas après la fin du second, et que sa fin n’est pas avant le début du second. Ce sont les deux inégalités annoncées. En soustrayant les constantes, puis en divisant par \(2\pi>0\), on obtient l’encadrement de \(k\). Une fois l’entier choisi, l’intersection va du plus grand des débuts au plus petit des fins ; si ces deux nombres sont égaux, elle se réduit à ce point.

Exemple 12.2 — Un coefficient négatif et une solution isolée

Résoudre \(\cos(-2x+\frac\pi3)\geq\frac12\) pour \(x\in[0;\pi]\).

L’angle \(t=-2x+\frac\pi3\) parcourt \(J=[-\frac{5\pi}3;\frac\pi3]\). Le niveau \(\frac12=\cos(\frac\pi3)\) donne les arcs \[A_k=\left[-\frac\pi3+2k\pi;\frac\pi3+2k\pi\right].\] Pour qu’ils rencontrent \(J\), la proposition impose \[\frac{-\frac{5\pi}3-\frac\pi3}{2\pi}\leq k \leq\frac{\frac\pi3+\frac\pi3}{2\pi}, \quad\text{soit}\quad-1\leq k\leq\frac13.\] Il suffit donc de traiter \(k=-1\) et \(k=0\).

Pour \(k=0\). L’arc \([-\frac\pi3;\frac\pi3]\) appartient à \(J\). Revenir à \(x\) donne \[\begin{aligned} -\frac\pi3\leq-2x+\frac\pi3\leq\frac\pi3 &\Longleftrightarrow-\frac{2\pi}3\leq-2x\leq0\\ &\Longleftrightarrow\frac\pi3\geq x\geq0. \end{aligned}\] La division par \(-2\) a inversé les deux sens. Après remise en ordre, \(x\in[0;\frac\pi3]\).

Pour \(k=-1\). L’arc est \([-\frac{7\pi}3;-\frac{5\pi}3]\). Il ne garde dans \(J\) que le point \(-\frac{5\pi}3\). L’équation correspondante est \[-2x+\frac\pi3=-\frac{5\pi}3\Longleftrightarrow-2x=-2\pi\Longleftrightarrow x=\pi.\] Ainsi \[\boxed{S=\left[0;\frac\pi3\right]\cup\{\pi\}.}\] Contrôles. En \(x=0\) et en \(x=\frac\pi3\), le cosinus vaut \(\frac12\). En \(x=\frac\pi6\), l’argument est \(0\) et le cosinus vaut \(1\), donc l’intérieur convient. En \(x=\frac\pi2\), il vaut \(-\frac12\) : cette valeur doit bien être exclue. En \(x=\pi\), il vaut \(\frac12\), ce qui confirme le point isolé.

Variation stricte. Avec \(>\) à la place de \(\geq\), les trois valeurs donnant l’égalité sont retirées. Il reste \(]0;\frac\pi3[\) ; le point isolé disparaît.

Méthode — Une inéquation sur une valeur auxiliaire

Poser \(t=\sin x\) ou \(t=\cos x\) peut transformer l’inéquation en une inéquation algébrique. Garder \(t\in[-1;1]\), factoriser, étudier les signes, puis traduire toutes les conditions obtenues en ensembles d’angles. Une double condition sur \(t\) devient une intersection ; deux possibilités deviennent une réunion.

Exemple 12.3 — Un produit et une double condition sur le sinus

Résoudre \(2\sin^2x-\sin x\leq0\) sur \([0;2\pi]\).

Posons \(t=\sin x\in[-1;1]\). La factorisation donne \[2t^2-t=t(2t-1).\] Les deux facteurs s’annulent en \(0\) et en \(\frac12\). Sur \([-1;0[\), ils sont tous deux négatifs ; entre \(0\) et \(\frac12\), le premier est positif et le second négatif ; après \(\frac12\), ils sont tous deux positifs.

Lecture de la figure. Les deux zéros du produit sont alignés sous les valeurs \(0\) et \(\frac12\). Entre eux, les facteurs ont des signes opposés et le produit est négatif. L’étude est limitée à \([-1;1]\), ensemble des valeurs possibles de \(t=\sin x\). Aucune valeur du tableau n’est interdite.

Ainsi le produit est inférieur ou égal à \(0\) exactement lorsque \[0\leq t\leq\frac12.\] Il faut maintenant résoudre les deux conditions à la fois : \(\displaystyle \sin x\geq0\)\(\displaystyle \text{et}\)\(\displaystyle \sin x\leq\frac12.\) Sur \([0;2\pi]\), la première donne \([0;\pi]\cup\{2\pi\}\). La seconde donne \([0;\frac\pi6]\cup[\frac{5\pi}6;2\pi]\). Leur intersection est \[\boxed{S=\left[0;\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{5\pi}6;\pi\right]\cup\{2\pi\}.}\] Le point \(2\pi\) reste parce que le sinus y vaut \(0\). En \(\frac\pi2\), l’expression initiale vaut \(2-1=1>0\) ; en \(\frac{3\pi}2\), elle vaut \(2+1=3>0\). Ces deux contrôles confirment les zones retirées.

Propriété — Signe d’un quotient

Si \(B\ne0\), le quotient \(A/B\) est positif lorsque \(A\) et \(B\) ont le même signe, négatif lorsqu’ils ont des signes contraires. Il est nul si et seulement si \(A=0\) et \(B\ne0\).

On ne multiplie donc pas une inéquation par un dénominateur de signe inconnu en conservant automatiquement son sens. On étudie les signes ou l’on sépare les cas.

Démonstration.

Si \(B>0\), diviser par \(B\) conserve le signe de \(A\). Si \(B<0\), écrire \(B=-|B|\) montre que le quotient est l’opposé de \(A/|B|\) : le signe est inversé. Un quotient de dénominateur non nul est nul exactement lorsque son numérateur est nul.

Exemple 12.4 — Un vrai tableau de signes avec valeurs interdites

Résoudre \(\displaystyle \frac{\cos x-1}{\sin x}\geq0\)\(\displaystyle \text{sur }[-\pi;\pi].\) Domaine. Le dénominateur s’annule en \(-\pi,0,\pi\). Ces trois nombres sont interdits. On travaille donc sur \(D=]-\pi;0[\cup]0;\pi[\).

Numérateur. Puisque \(\cos x\leq1\), on a \(\cos x-1\leq0\). L’égalité n’arrive qu’en \(0\) sur l’intervalle considéré ; ce point étant exclu, le numérateur est strictement négatif sur \(D\).

Dénominateur. Le sinus est négatif sur \(]-\pi;0[\) et positif sur \(]0;\pi[\). On obtient le tableau suivant.

Lecture de la figure. La dernière ligne comporte une double barre en chaque valeur interdite. En \(0\), le numérateur et le dénominateur sont tous deux nuls, mais le quotient n’est pas défini : on n’écrit pas \(0\) dans sa ligne. Les signes du quotient viennent de la combinaison des deux lignes précédentes.

Le quotient est positif exactement sur \(]-\pi;0[\) et ne s’annule jamais sur son domaine. Ainsi \[\boxed{S=]-\pi;0[.}\] Pour contrôler, en \(x=-\frac\pi2\) il vaut \(\frac{-1}{-1}=1\), tandis qu’en \(x=\frac\pi2\) il vaut \(\frac{-1}{1}=-1\). Aucun crochet ne peut réintroduire les valeurs interdites, même si l’inégalité est large.

Exemple 12.5 — Réunir deux conditions sur le cosinus

Résoudre \(\cos^2x\geq\frac14\) sur \([0;2\pi]\).

Pour un réel \(t\), \(t^2\geq\frac14\) équivaut à \((t-\frac12)(t+\frac12)\geq0\). Le produit est positif ou nul en dehors des deux racines : \[t\leq-\frac12\quad\text{ou}\quad t\geq\frac12.\] Avec \(t=\cos x\), la première condition donne \([\frac{2\pi}3;\frac{4\pi}3]\). La seconde donne \([0;\frac\pi3]\cup[\frac{5\pi}3;2\pi]\). On réunit : \[\boxed{S=\left[0;\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{2\pi}3;\frac{4\pi}3\right]\cup\left[\frac{5\pi}3;2\pi\right].}\] Le point \(\pi\) doit être gardé : son cosinus vaut \(-1\), dont le carré vaut \(1\geq\frac14\). La seule condition \(\cos x\geq\frac12\) aurait perdu toute la zone centrale. Le carré contrôle la distance à \(0\), pas seulement les valeurs positives.

À toi 12.1 — Trois recherches et un contrôle de logique

Chercher d’abord sans consulter les aides.

1. Résoudre \(\sin(-x)\geq0\) sur \([-\pi;\pi]\).

2. Résoudre \(\sin x\cos x\geq0\) sur \([0;2\pi]\).

3. Résoudre \(\frac{\cos x}{\sin x}>0\) sur \([-\pi;\pi]\).

4. Pour la première question, expliquer pourquoi l’ensemble n’est pas \([0;\pi]\).

Aides : en 1, \(\sin(-x)=-\sin x\) ; en 2, ranger les zéros des deux facteurs puis comparer leurs signes ; en 3, traiter les zéros du dénominateur avant les signes ; en 4, tester \(x=\frac\pi2\).

Correction expliquée et contrôle.

(a) Non. Pour \(f(x)=10-x\), la dérivée vaut \(-1\) partout, alors que \(f(0)=10>0\). Le signe de \(f'\) indique une variation ; le signe de \(f\) indique une position par rapport à l’axe des abscisses. (b) Comme \(-1\leq\cos x\leq1\), on a \(1\leq2+\cos x\leq3\) : le dénominateur ne s’annule pas. (c) On élève au carré la valeur \(\sin x\) : la fonction extérieure est \(v\mapsto v^2\). Si ces trois gestes posent problème, commencer par les rappels suivants avant les études.

Rappels — Les règles d’analyse effectivement utilisées

Sur un intervalle où les expressions sont définies et dérivables, \(\displaystyle (uv)'=u'v+uv',\)\(\displaystyle \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0),\)\(\displaystyle (u^2)'=2uu'.\) Si \(f'\geq0\) sur un intervalle, \(f\) y est croissante ; si \(f'\leq0\), elle y est décroissante. Si le signe est strict à l’intérieur, les variations sont strictes. Ces théorèmes de dérivation sont des résultats antérieurs utilisés ici.

Un maximum sur un ensemble \(I\) est une valeur \(f(a)\), avec \(a\in I\), telle que \(f(x)\leq f(a)\) pour tout \(x\in I\). Un majorant non atteint n’est pas un maximum. Une dérivée nulle donne un point à examiner ; elle n’assure pas, à elle seule, un extremum.

Exemple 13.1 — Un quotient : \(q(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)

On veut étudier \(q\) sur \([-\pi;\pi]\).

1. Domaine et réduction de l’étude. L’encadrement \(2+\cos x\geq1>0\) montre que \(q\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Il n’y a aucune valeur interdite. Par parité, \[q(-x)=\frac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)} =\frac{-\sin x}{2+\cos x}=-q(x).\] La fonction est impaire. Les deux composants reprennent leurs valeurs après \(2\pi\), donc \(q(x+2\pi)=q(x)\) : \(2\pi\) est une période. Pour l’intervalle demandé, on peut étudier \([0;\pi]\), puis utiliser la symétrie centrale.

2. Dérivée : conserver les deux signes moins. Posons \(u(x)=\sin x\) et \(v(x)=2+\cos x\). Alors \(u'(x)=\cos x\) et \(v'(x)=-\sin x\). Ainsi, \[\begin{align*} q'(x) &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{\cos x(2+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}\\ &=\frac{2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}\\ &=\frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}. \end{align*}\] Le second produit devient positif parce que \(-\sin x(-\sin x)=+\sin^2x\). L’identité fondamentale réduit ensuite la somme des deux carrés à \(1\).

3. Signe et valeurs. Le dénominateur est strictement positif, donc \(q'\) a le signe de \(2\cos x+1\). Sur \([0;\pi]\), cosinus décroît strictement de \(1\) à \(-1\). L’équation \(2\cos x+1=0\) équivaut à \(\cos x=-1/2\), donc à \(x=2\pi/3\) dans cet intervalle. Le signe est positif avant ce point et négatif après. \(\displaystyle q(0)=0,\)\(\displaystyle q(\pi)=0,\) \[q\left(\frac{2\pi}3\right) =\frac{\frac{\sqrt3}2}{2-\frac12} =\frac{\frac{\sqrt3}2}{\frac32} =\frac{\sqrt3}2\times\frac23 =\frac{\sqrt3}3.\] Diviser par \(3/2\ne0\) revient à multiplier par son inverse \(2/3\). L’imparité donne \(q(-2\pi/3)=-\sqrt3/3\).

Exemple 13.2 — Une somme : rendre le signe de la dérivée visible

Étudions \(f(x)=\sin x+\frac12\sin(2x)\) sur \([0;\pi]\). La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Comme sinus est impair, les deux termes sont impairs ; leur somme l’est aussi. Le nombre \(2\pi\) est une période commune, donc une période de la somme. Cela n’établit pas automatiquement une période fondamentale.

La dérivée de \(\sin(2x)\) est \(2\cos(2x)\). On obtient \[\begin{align*} f'(x)&=\cos x+\frac12\times2\cos(2x)\\ &=\cos x+\cos(2x)\\ &=\cos x+2\cos^2x-1. \end{align*}\] Pourquoi transformer ? Une somme de cosinus n’a pas un signe directement lisible. La duplication permet d’obtenir un polynôme en \(t=\cos x\). Or \[(2t-1)(t+1)=2t^2+2t-t-1=2t^2+t-1.\] Ainsi, \[f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1).\] Sur \([0;\pi[\), \(\cos x+1>0\), puis ce facteur s’annule en \(\pi\). Le facteur \(2\cos x-1\) s’annule en \(\pi/3\), est positif avant et négatif après.

Exemple 13.3 — Un argument non affine : \(r(x)=\cos(x^2)\)

Étudions \(r\) sur \([-\sqrt\pi;\sqrt\pi]\). La fonction est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), et elle est paire puisque \((-x)^2=x^2\).

La chaîne fait intervenir \(u(x)=x^2\) et \(u'(x)=2x\) : \[r'(x)=-\sin(x^2)\times2x=-2x\sin(x^2).\] Pour \(0<x<\sqrt\pi\), on a \(0<x^2<\pi\), donc \(\sin(x^2)>0\). Le facteur \(-2x\) est négatif, donc \(r'(x)<0\). Pour \(-\sqrt\pi<x<0\), l’argument \(x^2\) est encore dans \(]0;\pi[\) ; cette fois \(-2x>0\), donc \(r'(x)>0\). Enfin \(r'(0)=0\).

Les valeurs sont \(r(-\sqrt\pi)=\cos\pi=-1\), \(r(0)=1\) et \(r(\sqrt\pi)=-1\).

Exemple 13.4 — Un dénominateur qui s’annule : \(h(x)=1/\cos x\)

Le domaine global est \[D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.\] On étudie ici une seule branche : \(I=]-\pi/2;\pi/2[\). Sur cet intervalle, \(\cos x>0\). En dérivant l’inverse, \[h'(x)=-\frac{(\cos x)'}{\cos^2x} =-\frac{-\sin x}{\cos^2x} =\frac{\sin x}{\cos^2x}.\] Le dénominateur est strictement positif. Le sinus est négatif sur \(]-\pi/2;0[\) et positif sur \(]0;\pi/2[\). Ainsi \(h\) décroît puis croît. En \(0\), \(h(0)=1\).

Aux deux bornes, en restant à l’intérieur de \(I\), \(\cos x\) tend vers \(0\) par valeurs positives ; son inverse tend donc vers \(+\infty\). Les signes \(+\) sont indispensables : ils déterminent le sens de la limite infinie.

Contre-exemple — Une dérivée nulle sans extremum

Pour \(F(x)=\sin^3x\), on a \(F'(x)=3\sin^2x\cos x\) et \(F'(0)=0\). Pourtant, près de \(0\), \(F(x)<0\) à gauche et \(F(x)>0\) à droite. Il existe donc des valeurs plus petites et plus grandes que \(F(0)=0\) aussi près que l’on veut de \(0\) : aucun extremum local n’y est atteint. Une tangente horizontale n’impose pas un sommet.

Rappel — Théorème des valeurs intermédiaires et unicité

Si une fonction est continue sur \([a;b]\) et si ses valeurs aux bornes sont de signes opposés, elle s’annule au moins une fois entre \(a\) et \(b\). Si elle est, de plus, strictement monotone, ce zéro est unique. La continuité donne l’existence ; la stricte monotonie donne l’unicité. Ce théorème est un résultat antérieur d’analyse, utilisé dans cette application.

Algorithme — Encadrer par dichotomie

On conserve \([a;b]\) avec \(G(a)\geq0\geq G(b)\). Si \(m=(a+b)/2\) et \(G(m)>0\), la décroissance impose \(m<\alpha\), donc on remplace \(a\) par \(m\). Sinon, on remplace \(b\) par \(m\). Chaque étape divise la longueur par \(2\).

from math import cos
a, b = 0.0, 1.0
for _ in range(20):
    m = (a + b) / 2
    if cos(m) - m > 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

Dans le calcul mathématique exact, la longueur après vingt étapes est \(2^{-20}<10^{-6}\). Le programme utilise des flottants ; ses nombres affichés sont des approximations des bornes calculées. Il donne environ \(0{,}7390842438\) et \(0{,}7390851974\). On retient \(\alpha\approx0{,}739085\), en distinguant preuve d’unicité et approximation numérique.

À toi 13.1 — Prévoir les mises à jour

Au premier passage, \(m=0{,}5\) et \(G(m)\approx0{,}37758>0\), donc l’état devient \((a;b)=(0{,}5;1)\). Au deuxième, \(m=0{,}75\) et \(G(m)\approx-0{,}01831<0\), donc l’état devient \((0{,}5;0{,}75)\). Prévoir le troisième milieu et la borne modifiée. Pourquoi ne faut-il pas modifier les deux bornes ?

À toi 13.2 — Étudier un quotient proche sans recopier sa dérivée

Étudier \(g(x)=\cos x/(2+\cos x)\) sur \([0;\pi]\) : domaine, dérivée, signe, valeurs et variations. Expliquer pourquoi la positivité du dénominateur ne suffit pas à connaître les variations de \(g\). Indice après une tentative : les deux dérivées du numérateur et du dénominateur valent \(-\sin x\) ; les deux produits de la formule du quotient se soustraient.

À toi 13.3 — Choisir une écriture et justifier le maximum

Étudier \(z(x)=\sin x\cos x\) sur \([0;\pi/2]\). Donner deux calculs de la dérivée, puis une seconde preuve du maximum qui n’utilise pas la dérivée. Indices : produit ; duplication ; majorant atteint.