Terminale spécialité · Cours en classe

Concentration et loi des grands nombres

Faire les 2k\(\pi\)

Concentration et
loi des grands nombres

Cours en classe

Terminale générale · Spécialité mathématiques · 2026–2027

La question du chapitre. Comment une information sur la dispersion permet-elle de contrôler le risque d’un écart ? Pourquoi la moyenne de nombreuses observations indépendantes devient-elle plus fiable à précision fixée ?

Le parcours va d’une variable à une moyenne d’échantillon, puis d’une garantie chiffrée à la loi des grands nombres. Les définitions, les démonstrations et les exemples constituent le cours ; la section de calculs et simulations propose les activités numériques associées.

Prérequis. Lois finies, espérance, variance et écart type ; probabilités d’événements contraires et inclus ; sommes de variables aléatoires ; théorème d’encadrement des suites. Les rappels utiles sont intégrés. La loi binomiale et les bases de Python sont réactivées dans la section numérique.

1. Repères : variables, dispersion et événements

Objectif. Traduire un écart et distinguer une observation, une moyenne et une probabilité.

Une mesure peut varier d’une expérience à l’autre. Nous allons contrôler le risque d’un écart important, puis comprendre pourquoi une moyenne de nombreuses observations indépendantes est plus concentrée qu’une observation isolée.

Définition 1.1 — Variable aléatoire finie et indicateurs

Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre au résultat d’une expérience. Dans ce chapitre, elle prend un nombre fini de valeurs \(x_1,\ldots,x_r\). Sa loi donne les probabilités \(q_i=\mathbb{P}(X=x_i)\), avec \(q_i\geq0\) et \(q_1+\cdots+q_r=1\). Son espérance, sa variance et son écart type sont \[\mu=\operatorname{E}(X)=\sum_{i=1}^{r}x_iq_i,\qquad V=\operatorname{V}(X)=\sum_{i=1}^{r}(x_i-\mu)^2q_i,\qquad \sigma=\sqrt V.\] La notation \(\sum\) abrège une addition : \(\sum_{i=1}^{r}x_iq_i=x_1q_1+\cdots+x_rq_r\). L’espérance est un centre théorique pondéré ; la variance mesure la dispersion par des carrés d’écarts. Si \(X\) est en millimètres, \(\mu\) et \(\sigma\) sont en millimètres, et \(V\) en millimètres carrés.

Exemple de référence 1.2 — Calculer un centre et une dispersion

Une mesure \(X\) prend les valeurs \(8\), \(10\), \(12\) avec probabilités \(1/4\), \(1/2\), \(1/4\). Leur somme vaut \(1\). \[\mu=8\times\frac14+10\times\frac12+12\times\frac14=2+5+3=10,\] \[V=(8-10)^2\times\frac14+(10-10)^2\times\frac12+(12-10)^2\times\frac14 =1+0+1=2.\] Donc \(\sigma=\sqrt2\simeq1{,}414\). La symétrie de la loi contrôle le centre \(10\), mais ne dispense pas du calcul de la variance. Une espérance n’est pas toujours une valeur possible : une variable qui vaut \(0\) ou \(1\) avec probabilités \(1/2\) a pour espérance \(1/2\).

Caractérisation 1.3 — Distance au centre et frontières

La valeur absolue \(|u|\) vaut \(u\) si \(u\geq0\), et \(-u\) si \(u<0\). La distance de \(x\) à \(\mu\) est \(|x-\mu|\). Pour \(\delta>0\), \[\begin{array}{rcl} |x-\mu|<\delta&\iff&\mu-\delta<x<\mu+\delta,\\ |x-\mu|\leq\delta&\iff&\mu-\delta\leq x\leq\mu+\delta,\\ |x-\mu|\geq\delta&\iff&x\leq\mu-\delta\ \text{ou}\ x\geq\mu+\delta,\\ |x-\mu|>\delta&\iff&x<\mu-\delta\ \text{ou}\ x>\mu+\delta. \end{array}\]

Démonstration. Si \(x\geq\mu\), la distance vaut \(x-\mu\) ; si \(x<\mu\), elle vaut \(\mu-x\). Dans les deux cas, être à moins de \(\delta\) équivaut à appartenir à l’intervalle ouvert indiqué. Le même raisonnement avec égalité donne l’intervalle fermé. Les deux lignes extérieures sont les négations des deux lignes intérieures correspondantes.

Figure 1. La frontière appartient à l’un des deux événements
Lecture. Ici, le centre est \(18\) et la tolérance \(3\). L’intérieur strict exclut les deux extrémités ; son contraire les inclut. À l’extérieur, les deux régions sont reliées par « ou ». La demi-largeur de la bande est \(\delta\), sa largeur totale est \(2\delta\).

Propriété 1.4 — Complément et inclusion

Pour un événement \(A\), \(\mathbb{P}(\overline A)=1-\mathbb{P}(A)\). Ainsi, \[\mathbb{P}(A)\leq b\quad\Longrightarrow\quad\mathbb{P}(\overline A)\geq1-b.\] Si \(A\subset B\), alors \(\mathbb{P}(A)\leq\mathbb{P}(B)\).

Justification. \(A\) et son contraire forment une partition de toutes les issues. Soustraire une inégalité à \(1\) en inverse le sens. Pour l’inclusion, \(B\) est la réunion disjointe de \(A\) et des issues de \(B\) qui ne sont pas dans \(A\) ; leurs probabilités s’ajoutent et sont positives ou nulles.

Méthode 1.5 — Traduire avant de calculer

Nommer la variable, le centre et la tolérance dans la même unité ; écrire la distance avec le signe exact ; passer à l’intervalle ; ajuster ensuite les bornes si la variable est entière. Pour contrôler, tester une valeur à la frontière.

Exemple. Pour un entier \(K\), \[|K-7|<2\iff5<K<9\iff K\in\{6,7,8\}.\] Le contraire est \(K\leq5\) ou \(K\geq9\). Si sa probabilité est au plus \(0{,}3\), alors \(\mathbb{P}(6\leq K\leq8)\geq0{,}7\). Les valeurs \(5\) et \(9\), à distance exactement \(2\), sont exclues de l’intérieur strict.

À retenir. Une probabilité est sans unité. Une distance a l’unité de la variable. Les signes \(<\), \(\leq\), \(>\) et \(\geq\) font partie de l’événement : les changer peut changer sa probabilité.

2. L’inégalité de Bienaymé–Tchebychev

Objectif. Passer d’une variance connue à une garantie sur le risque d’un grand écart.

On travaille avec une variable finie \(X\), d’espérance \(\mu\), de variance \(V\geq0\) et d’écart type \(\sigma=\sqrt V\). La variance est la somme des contributions \((x_i-\mu)^2q_i\), toutes positives ou nulles. Une valeur éloignée et fréquente contribue donc fortement à cette dispersion.

Théorème 2.1 — Inégalité de Bienaymé–Tchebychev

Pour toute variable aléatoire finie \(X\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), et tout réel \(\delta>0\), \[\boxed{\mathbb{P}(|X-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{\delta^2}.}\] Ce résultat ne nécessite pas de connaître la loi complète. Aucune hypothèse d’indépendance entre plusieurs variables n’intervient ici.

Démonstration. Notons \(x_1,\ldots,x_r\) les valeurs de \(X\) et \(q_i\) leurs probabilités. Rangeons d’abord celles dont la distance à \(\mu\) est au moins \(\delta\) : \(x_1,\ldots,x_s\). Si aucune valeur ne convient, la probabilité cherchée vaut \(0\) et l’inégalité est immédiate.

Sinon, retirer des termes positifs ou nuls d’une somme ne l’augmente pas. De plus, pour \(i\leq s\), \(|x_i-\mu|\geq\delta\) donne \((x_i-\mu)^2\geq\delta^2\) ; multiplier par \(q_i\geq0\) conserve l’ordre. Ainsi, \[\begin{aligned} V&=(x_1-\mu)^2q_1+\cdots+(x_r-\mu)^2q_r\\ &\geq(x_1-\mu)^2q_1+\cdots+(x_s-\mu)^2q_s\\ &\geq\delta^2q_1+\cdots+\delta^2q_s =\delta^2(q_1+\cdots+q_s). \end{aligned}\] Les événements \(X=x_1,\ldots,X=x_s\) étant disjoints, leur somme de probabilités est exactement \(\mathbb{P}(|X-\mu|\geq\delta)\). On divise par \(\delta^2>0\), sans changer le sens de l’inégalité, ce qui donne le résultat.

Corollaire 2.2 — Garantie intérieure et seuil en écarts types

Avec les mêmes hypothèses et \(\delta>0\), \[\mathbb{P}(|X-\mu|<\delta)\geq1-\frac V{\delta^2}.\] Si, en outre, \(\sigma>0\), alors, pour \(k>0\), \[\mathbb{P}(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac1{k^2}.\]

Démonstration. La première formule utilise le complément exact de \(|X-\mu|\geq\delta\). Pour la seconde, appliquer le théorème avec \(\delta=k\sigma>0\) : \(V/(k\sigma)^2=\sigma^2/(k^2\sigma^2)=1/k^2\). La simplification exige \(\sigma>0\).

Exemple de référence 2.3 — Une variance suffit pour donner une garantie

Une quantité \(X\), en milligrammes, a pour espérance \(40\) et pour écart type \(3\). Pour un écart d’au moins \(6\) milligrammes, on identifie \(\mu=40\), \(V=3^2=9\) et \(\delta=6>0\). Alors \[\mathbb{P}(|X-40|\geq6)\leq\frac9{6^2}=\frac14, \qquad \mathbb{P}(34<X<46)\geq\frac34.\] Le seuil vaut deux écarts types : le risque est au plus \(25\,\%\). Ces données ne déterminent pas le risque exact et ne justifient pas une garantie universelle de \(95\,\%\).

Propriété 2.4 — Variance nulle et borne peu informative

\(V=0\) si et seulement si \(\mathbb{P}(X=\mu)=1\).

Démonstration. Une somme de termes \((x_i-\mu)^2q_i\geq0\) est nulle si et seulement si chacun est nul. Pour toute valeur de probabilité positive, cela équivaut à \(x_i=\mu\).

Dans ce cas, tout écart de seuil \(\delta>0\) a une probabilité nulle. En revanche, le seuil \(k\sigma=0\) ne convient pas au corollaire précédent.

Si \(V/\delta^2>1\), le théorème reste vrai mais sa borne est moins utile que \(\mathbb{P}(A)\leq1\). Une minoration intérieure négative est de même remplacée par \(0\). Par exemple, \(V=25\) et \(\delta=2\) donnent \(25/4=6{,}25\), qui n’est pas une probabilité.

Méthode 2.5 — Choisir et annoncer la nature du résultat

Loi complète connue : lister les valeurs qui satisfont l’événement, puis additionner leurs probabilités pour un calcul exact.
Espérance et variance connues : écrire \(\mu\), \(V\) et \(\delta>0\), puis appliquer Bienaymé–Tchebychev à l’événement d’écart. Passer au complément pour une garantie intérieure.
Événement non centré : chercher une inclusion dans un événement contrôlé, en conservant le bon sens de la probabilité.

Contrôler les frontières, les unités et la borne \([0;1]\). Conclure par « vaut », « est au plus » ou « est au moins ». Une fréquence de simulation est une observation ; elle ne démontre pas la borne.

Exemple de référence 2.6 — Comparer une probabilité exacte à son majorant

Une prime \(X\) vaut \(0\), \(4\), \(10\) euros avec probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\). \[\mu=0\times0{,}2+4\times0{,}5+10\times0{,}3=5,\] \[V=(-5)^2\times0{,}2+(-1)^2\times0{,}5+5^2\times0{,}3=13.\] L’événement \(|X-5|\geq5\) correspond à \(X=0\) ou \(X=10\) : sa probabilité exacte vaut \(0{,}2+0{,}3=0{,}5\). Le théorème donne \(13/25=0{,}52\) comme majorant. On vérifie bien \(0{,}5\leq0{,}52\), sans remplacer cette inégalité par une égalité.

Exemple de référence 2.7 — Adapter la méthode par une inclusion

Avec \(\mu=50\) et \(V=9\), pour minorer \(\mathbb{P}(44\leq X\leq55)\), on utilise la bande centrée \(45<X<55\), de rayon \(5\), contenue dans l’intervalle demandé : \[\mathbb{P}(44\leq X\leq55)\geq\mathbb{P}(|X-50|<5) \geq1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.\] Pour une queue d’un seul côté, \(X\geq58\) entraîne \(|X-50|\geq8\), donc \[\mathbb{P}(X\geq58)\leq\mathbb{P}(|X-50|\geq8)\leq\frac9{64}.\] Ces inclusions ne sont pas des égalités. On ne divise pas la borne bilatérale par deux : aucune symétrie de la loi n’est donnée.

À retenir. Le théorème transforme une variance en une garantie, souvent conservatrice. Le seuil doit être strictement positif ; les signes et le sens des inclusions restent indispensables.

3. Échantillons et concentration de la moyenne

Objectif. Expliquer le facteur \(1/n\) dans la variance de la moyenne, puis contrôler son écart à l’espérance.

Définition 3.1 — Échantillon, somme et moyenne

Un échantillon de taille \(n\) d’une variable \(X\) est une liste \(X_1,\ldots,X_n\) de variables indépendantes et de même loi que \(X\), avec \(n\geq1\). L’indépendance est une hypothèse du modèle de répétition.

On note \(\mu=\operatorname{E}(X)\), \(V=\operatorname{V}(X)\), \(\sigma=\sqrt V\) et \[S_n=X_1+\cdots+X_n,\qquad M_n=\frac{S_n}{n}.\] \(S_n\) est la somme et \(M_n\) la moyenne aléatoire. Après observation de \(x_1,\ldots,x_n\), la moyenne observée est le nombre \(m_n=(x_1+\cdots+x_n)/n\). Même loi ne signifie pas mêmes valeurs obtenues ; recopier une seule observation ne fournit pas des répétitions indépendantes.

Rappel 3.2 — Les règles sur les sommes

La linéarité de l’espérance, étudiée avec les sommes de variables, donne \[\operatorname{E}(Y+Z)=\operatorname{E}(Y)+\operatorname{E}(Z),\qquad \operatorname{E}(aY)=a\operatorname{E}(Y).\] Elle ne demande pas d’indépendance. Pour des variables indépendantes, on utilise aussi \[\operatorname{V}(Y+Z)=\operatorname{V}(Y)+\operatorname{V}(Z).\] L’additivité des variances sous indépendance est un résultat antérieur admis dans le programme ; elle s’étend aux sommes de variables mutuellement indépendantes. Sans indépendance, on ne l’applique pas automatiquement.

Propriété 3.3 — Multiplier une variable par une constante

Pour tout réel \(a\), \(\operatorname{V}(aY)=a^2\operatorname{V}(Y)\) et \(\sigma(aY)=|a|\sigma(Y)\).

Démonstration. Si \(Y\) prend les valeurs \(y_i\) avec probabilités \(q_i\) et si \(m=\operatorname{E}(Y)\), alors \(\operatorname{E}(aY)=am\). Chaque écart à l’espérance est \(ay_i-am=a(y_i-m)\) ; son carré vaut \(a^2(y_i-m)^2\). En additionnant les contributions pondérées, \[\operatorname{V}(aY)=a^2\sum_i(y_i-m)^2q_i=a^2\operatorname{V}(Y).\] La racine carrée donne \(\sqrt{a^2\operatorname{V}(Y)}=|a|\sqrt{\operatorname{V}(Y)}\). Si \(a=0\), la variable est constante et les deux égalités restent vraies.

Propriété 3.4 — Espérance et dispersion de la somme et de la moyenne

Pour un échantillon indépendant de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), avec \(n\geq1\), \[\operatorname{E}(S_n)=n\mu,\qquad\operatorname{V}(S_n)=nV,\] \[\boxed{\operatorname{E}(M_n)=\mu,\qquad\operatorname{V}(M_n)=\frac Vn, \qquad\sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.}\]

Démonstration. La linéarité donne \(\operatorname{E}(S_n)=\mu+\cdots+\mu=n\mu\). L’indépendance permet d’ajouter les variances : \(\operatorname{V}(S_n)=V+\cdots+V=nV\). Puis \[\operatorname{E}(M_n)=\frac1n(n\mu)=\mu, \qquad \operatorname{V}(M_n)=\left(\frac1n\right)^2(nV)=\frac{nV}{n^2}=\frac Vn.\] Les simplifications sont permises car \(n>0\). Enfin \(\sqrt{V/n}=\sigma/\sqrt n\).

La moyenne conserve le centre. Sa variance est divisée par \(n\), son écart type par \(\sqrt n\). Pour diviser cet écart type par deux, il faut multiplier la taille par quatre. Si \(V=0\), tous ces écarts types sont déjà nuls.

Figure 2. Une même loi individuelle, des moyennes plus concentrées
Lecture. Le modèle individuel prend \(0\), \(2\), \(4\) avec probabilités \(1/4\), \(1/2\), \(1/4\), donc \(\mu=2\) et \(V=2\). Pour \(n=1,4,25\), les moyennes restent centrées en \(2\) et leur dispersion diminue. Le trait pointillé marque le centre \(2\). Les échelles verticales diffèrent : comparer l’étalement horizontal, pas seulement la hauteur des barres.

Théorème 3.5 — Inégalité de concentration

Soient \(X_1,\ldots,X_n\) des variables finies indépendantes et de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour \(n\geq1\), \(M_n=(X_1+\cdots+X_n)/n\) et tout \(\delta>0\), \[\boxed{\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^2}.}\] Par complément, \(\mathbb{P}(\mu-\delta<M_n<\mu+\delta)\geq1-V/(n\delta^2)\).

Démonstration. Appliquer Bienaymé–Tchebychev à la variable \(M_n\), dont l’espérance est \(\mu\) et la variance \(V/n\) : \[\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac{\operatorname{V}(M_n)}{\delta^2} =\frac{V/n}{\delta^2}=\frac{V}{n\delta^2}.\] Le complément de l’événement extérieur large est l’intérieur strict.

Exemple de référence 3.6 — Contrôler une moyenne de mesures

Une erreur de mesure \(X\) vaut \(-2\), \(0\), \(2\) millimètres avec probabilités \(1/4\), \(1/2\), \(1/4\). Ainsi \(\mu=-2/4+0+2/4=0\) et \(V=4/4+0+4/4=2\).

Pour \(50\) mesures indépendantes de cette loi, \[\operatorname{V}(S_{50})=50\times2=100,\qquad \operatorname{V}(M_{50})=\frac2{50}=0{,}04,\qquad\sigma(M_{50})=0{,}2\ \text{mm}.\] Pour une tolérance de \(0{,}5\) millimètre, \[\mathbb{P}(|M_{50}|\geq0{,}5)\leq\frac2{50(0{,}5)^2} =\frac2{12{,}5}=0{,}16.\] Donc \(\mathbb{P}(-0{,}5<M_{50}<0{,}5)\geq0{,}84\). La variance individuelle \(2\) apparaît au numérateur de la formule de concentration ; si l’on utilise déjà \(\operatorname{V}(M_{50})=0{,}04\), on applique directement Bienaymé–Tchebychev et on ne divise pas une seconde fois par \(50\).

Méthode et contrôle. Identifier ce que l’on étudie : une observation, une somme ou une moyenne. Donner ses moments avant de choisir la formule. Vérifier le modèle indépendant, le carré de la tolérance et le mot « au plus » dans la conclusion.

4. Choisir une taille : précision et risque

Objectif. Déterminer un effectif suffisant et interpréter correctement la garantie obtenue.

Définition 4.1 — Tolérance et risque maximal

On moyenne \(n\geq1\) observations indépendantes de même loi finie, d’espérance \(\mu\) et de variance individuelle \(V\). On note \(M_n\) cette moyenne. Une tolérance \(\delta>0\) fixe la précision souhaitée ; un risque maximal \(\alpha\in]0;1[\) fixe la probabilité d’échec que l’on accepte de majorer. Ainsi, \[\mathbb{P}(|M_n-\mu|<\delta)\geq1-\alpha \iff \mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\alpha.\] La tolérance est la demi-largeur de la bande, et non sa largeur totale. Une réussite à au moins \(95\,\%\) correspond à \(\alpha=0{,}05\).

Critère suffisant 4.2 — Un effectif qui garantit le risque demandé

Sous les hypothèses précédentes, il suffit de choisir un entier \(n\geq1\) tel que \[\boxed{n\geq\frac{V}{\alpha\delta^2}}\] pour garantir \(\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\alpha\).

Démonstration. La concentration donne \(\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq V/(n\delta^2)\). On impose à ce majorant d’être au plus \(\alpha\) : \[\begin{aligned} \frac{V}{n\delta^2}\leq\alpha &\iff V\leq\alpha n\delta^2 &&(n\delta^2>0),\\ &\iff \frac{V}{\alpha\delta^2}\leq n &&(\alpha\delta^2>0). \end{aligned}\] Multiplier, puis diviser, par ces nombres positifs conserve le sens. On peut alors enchaîner probabilité \(\leq\) majorant \(\leq\alpha\).

On prend le premier entier supérieur ou égal au seuil, avec \(n\geq1\). Si le seuil est entier, on le garde. Si \(V=0\), toute taille positive convient : la moyenne de zéro observation n’est pas définie.

Exemple de référence 4.3 — Calculer et contrôler l’arrondi

On moyenne des mesures indépendantes de même loi, de variance \(V=5\). On veut une erreur strictement inférieure à \(0{,}6\) avec une probabilité au moins \(0{,}95\).

Paramètres. \(\delta=0{,}6\) et \(\alpha=1-0{,}95=0{,}05\). La concentration donne un risque au plus \(5/[n(0{,}6)^2]\). Pour le certifier au plus égal à \(0{,}05\), \[\frac5{0{,}36n}\leq0{,}05 \iff 5\leq0{,}018n \iff n\geq\frac5{0{,}018}=\frac{2500}{9}\simeq277{,}778.\] Les facteurs \(0{,}36n\) et \(0{,}018\) sont positifs. On choisit \(n=278\). Contrôle des deux entiers voisins : \[0{,}018\times277=4{,}986<5, \qquad 0{,}018\times278=5{,}004\geq5.\] Le risque est alors au plus \(5/100{,}08\simeq0{,}04996\). Conclusion : \(278\) est le plus petit effectif certifié par cette borne, pas nécessairement le plus petit effectif qui conviendrait dans la loi exacte.

Point de vigilance 4.4 — Un objectif strict peut changer l’entier

Pour certifier un risque strictement inférieur à \(\alpha\) par le même majorant, on impose \(V/(n\delta^2)<\alpha\), soit \(n>V/(\alpha\delta^2)\) par les mêmes opérations positives.

Avec \(V=2\), \(\delta=0{,}5\) et \(\alpha=0{,}10\), le seuil vaut \(2/(0{,}10\times0{,}25)=80\). Le majorant vaut \(0{,}10\) pour \(n=80\), et \(8/81<0{,}10\) pour \(n=81\). Le premier choix certifie un risque au plus \(10\,\%\) ; le second le certifie strictement inférieur à \(10\,\%\).

Pour une bande fermée \(|M_n-\mu|\leq\delta\), le risque contraire est \(|M_n-\mu|>\delta\). Il est inclus dans le risque large, donc la même condition reste suffisante. On conserve néanmoins les signes exacts dans la rédaction.

Contre-exemple 4.5 — Suffisant ne signifie pas nécessaire

Une observation vaut \(-1\) ou \(1\) avec probabilités \(1/2\) ; ainsi \(\mu=0\) et \(V=1\). Pour demander un risque au plus \(0{,}10\) au seuil \(1{,}5\), la concentration fournit \[n\geq\frac1{0{,}10(1{,}5)^2}=\frac{40}{9},\] donc \(n=5\) comme premier entier certifié. Pourtant toute moyenne reste dans \([-1;1]\) : sommer \(-1\leq X_i\leq1\) puis diviser par \(n>0\) donne \(-1\leq M_n\leq1\). L’événement \(|M_n|\geq1{,}5\) est impossible, même pour \(n=1\). La loi exacte peut donc permettre un effectif plus petit.

Propriété 4.6 — Agir sur la précision ou sur le risque

À \(n\) et \(\delta\) fixés, on calcule le majorant \(b=V/(n\delta^2)\) ; s’il dépasse \(1\), seule la borne triviale \(1\) reste utile.

Pour \(V>0\), à \(n\geq1\) et \(\alpha\in]0;1[\) fixés, une tolérance \[\delta\geq\sqrt{\frac{V}{n\alpha}}\] suffit. En effet, pour \(\delta>0\), \[\frac V{n\delta^2}\leq\alpha \iff\frac V{n\alpha}\leq\delta^2 \iff\sqrt{\frac V{n\alpha}}\leq\delta.\] La dernière équivalence utilise la croissance de la racine carrée sur les nombres positifs. Avec \(V=9\), \(n=400\), \(\alpha=0{,}04\), on obtient \(\delta\geq\sqrt{9/16}=0{,}75\) ; le majorant au seuil \(0{,}75\) vaut bien \(9/(400\times0{,}5625)=0{,}04\).

À \(V\) et \(\alpha\) fixés, diviser \(\delta\) par deux multiplie le seuil réel d’effectif par quatre, car \[\frac V{\alpha(\delta/2)^2}=4\frac V{\alpha\delta^2}.\] Diviser \(\alpha\) par deux double ce seuil. Les effectifs entiers nécessitent ensuite l’arrondi approprié.

Méthode à retenir. Traduire réussite en risque ; identifier la variance individuelle ; résoudre pour le majorant ; choisir l’entier ; contrôler les voisins ; conclure avec une condition suffisante. Une borne trop grande ne démontre pas l’échec de l’objectif.

5. La loi des grands nombres

Objectif. Passer de la concentration quantitative à une limite de probabilités et en préciser le sens.

On répète indépendamment une même expérience de loi finie, d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour \(n\geq1\), \(M_n=(X_1+\cdots+X_n)/n\) est la moyenne des \(n\) observations. La concentration donne, pour chaque \(\delta>0\), \[\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac V{n\delta^2}.\]

Théorème 5.1 — Loi des grands nombres

Sous les hypothèses de répétitions indépendantes d’une même loi finie, pour toute tolérance fixée \(\delta>0\), \[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)=0.}\]

Démonstration. On encadre une suite de nombres réels : \(r_n=\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\). Par concentration, \[0\leq r_n\leq\frac V{n\delta^2}=\frac V{\delta^2}\times\frac1n.\] La loi individuelle et \(\delta\) sont fixées : \(V/\delta^2\) est donc une constante. Comme \(1/n\) tend vers \(0\), le majorant tend vers \(0\). Le théorème d’encadrement des suites, étudié en analyse, donne \(r_n\to0\).

Corollaire 5.2 — Être dans une bande fixée devient très probable

Pour toute tolérance fixée \(\delta>0\), \[\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(\mu-\delta<M_n<\mu+\delta)=1.\]

Démonstration. La probabilité intérieure vaut \(1-r_n\) par complément ; elle tend donc vers \(1\). L’intervalle fermé bénéficie de la même limite, car sa probabilité est comprise entre celle de l’intervalle ouvert et \(1\).

Méthode 5.3 — Rédiger et interpréter l’encadrement

Identifier la moyenne et vérifier les hypothèses ; fixer \(\delta>0\) ; écrire les deux bornes \(0\) et \(V/(n\delta^2)\) ; expliquer pourquoi le majorant tend vers \(0\) ; conclure sur la probabilité d’écart.

Concrètement, pour tout risque choisi \(\alpha\in]0;1[\), prendre un entier \(n_0\geq1\) tel que \(n_0\geq V/(\alpha\delta^2)\) garantit, pour chaque \(n\geq n_0\), \[\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac V{n\delta^2} \leq\frac V{n_0\delta^2}\leq\alpha.\] Cette phrase porte sur le risque à chaque taille. Elle ne promet pas que toutes les réalisations futures seront dans la bande après un même rang.

Exemple de référence 5.4 — Du contrôle fini à la limite

Un délai \(X\) vaut \(4\) ou \(8\) avec probabilités \(1/2\). Alors \[\mu=4/2+8/2=6,\qquad V=(4-6)^2/2+(8-6)^2/2=4.\] Pour une moyenne de \(n\) appels indépendants et une tolérance fixée \(0{,}5\), \[0\leq\mathbb{P}(|M_n-6|\geq0{,}5)\leq\frac4{n(0{,}5)^2}=\frac{16}{n}\longrightarrow0.\]

\(n\)	\(100\)	\(400\)	\(1\,600\)
Majorant du risque	\(0{,}16\)	\(0{,}04\)	\(0{,}01\)
Garantie pour \(5{,}5<M_n<6{,}5\)	\(0{,}84\)	\(0{,}96\)	\(0{,}99\)

Ces nombres sont des bornes. Pour tout \(n\) fini, obtenir uniquement des \(4\) reste possible, avec probabilité \((1/2)^n>0\) ; la moyenne vaut alors \(4\) et sort de la bande. Le risque peut tendre vers zéro sans être nul à un rang fini.

Point de vigilance 5.5 — Ce qui se concentre, et ce qui n’est pas promis

Pas de rapprochement monotone. Pour des essais \(0/1\) équiprobables, la suite possible \(1,0,1,1\) donne les moyennes \(1,1/2,2/3,3/4\) : après avoir atteint le centre \(1/2\), elles s’en éloignent.

Pas de rattrapage. Sous indépendance, le prochain essai garde sa loi, quels que soient les résultats précédents. Une série de zéros ne rend pas un \(1\) plus probable.

Pas de concentration de chaque observation. Dans le même modèle, chaque observation reste à distance \(1/2\) du centre. Le théorème porte sur la moyenne.

Tolérance fixée. La preuve exige que \(\delta\) ne change pas avec \(n\). Une bande que l’on rétrécit au cours de l’étude demande un autre examen ; la limite annoncée ne s’y applique pas automatiquement.

Figure 3. Trois moyennes cumulées simulées
Lecture. Les essais suivent ici une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}35\) ; la bande représentée est \([0{,}25;0{,}45]\). Les courbes peuvent traverser le centre et s’en éloigner provisoirement. Elles illustrent le sens du résultat sans démontrer la limite.

Contre-exemple 5.6 — La même loi ne suffit pas

On tire une seule variable \(Z\) égale à \(-1\) ou \(1\) avec probabilités \(1/2\), puis on pose \(X_1=X_2=\cdots=Z\). Les variables ont toutes la même loi, mais ne sont pas indépendantes. La moyenne vaut \(M_n=nZ/n=Z\). Pour \(\delta=0{,}5\), \[\mathbb{P}(|M_n-0|\geq0{,}5)=1\] pour chaque \(n\). La variance de la moyenne vaut \(1\), et non \(1/n\). Le défaut vient donc de l’hypothèse d’indépendance nécessaire au calcul de cette variance.

À retenir. À précision fixée, les grands écarts de la moyenne deviennent peu probables. Il s’agit d’une limite de probabilités ; ni une simulation isolée, ni une apparente stabilisation ne remplace sa démonstration.

6. Application aux fréquences

Objectif. Reconnaître une fréquence comme moyenne de variables de Bernoulli.

Définition 6.1 — Coder un événement par une variable de Bernoulli

Pour un événement \(A\) de probabilité \(p\), on définit \(Y=1\) si \(A\) se réalise et \(Y=0\) sinon. La variable \(Y\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) : \(\mathbb{P}(Y=1)=p\), \(\mathbb{P}(Y=0)=1-p\).

Lors de \(n\geq1\) répétitions indépendantes de même probabilité \(p\), les codes \(Y_1,\ldots,Y_n\) sont indépendants de même loi. Le nombre de réalisations et leur fréquence sont \[S_n=Y_1+\cdots+Y_n,\qquad F_n=\frac{S_n}{n}.\] Le compte \(S_n\) est entier entre \(0\) et \(n\) ; la fréquence \(F_n\) est entre \(0\) et \(1\). On compte les essais qui vérifient la condition, et non la grandeur brute éventuellement mesurée lors de ces essais.

Propriété 6.2 — Espérance et variance d’une fréquence

Pour \(Y\) de Bernoulli de paramètre \(p\), \[\operatorname{E}(Y)=p,\qquad\operatorname{V}(Y)=p(1-p).\] Ainsi, pour la fréquence de \(n\) essais indépendants de même probabilité, \[\operatorname{E}(F_n)=p,\qquad\operatorname{V}(F_n)=\frac{p(1-p)}n.\]

Démonstration. \(\operatorname{E}(Y)=0(1-p)+1p=p\). Par définition de la variance, \[\operatorname{V}(Y)=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p =p(1-p)\bigl[p+(1-p)\bigr]=p(1-p).\] La factorisation ne divise ni par \(p\) ni par \(1-p\) : elle reste valable pour \(p=0\) et \(p=1\). Les formules de la moyenne d’un échantillon donnent ensuite les moments de \(F_n\).

Corollaire 6.3 — Concentration et grands nombres pour les fréquences

Sous ces hypothèses, pour tout \(\delta>0\), \[\mathbb{P}(|F_n-p|\geq\delta)\leq\frac{p(1-p)}{n\delta^2}, \qquad \mathbb{P}(|F_n-p|<\delta)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\delta^2}.\] Pour une tolérance fixée \(\delta>0\), la probabilité d’écart tend vers \(0\) lorsque \(n\to+\infty\).

Démonstration. Appliquer la concentration à la moyenne \(F_n\) des variables de Bernoulli, de variance individuelle \(p(1-p)\), puis le complément. À \(\delta\) fixé, le majorant est une constante divisée par \(n\) et tend vers \(0\) ; l’encadrement conclut.

Propriété 6.4 — Une borne valable pour toute probabilité de succès

Pour \(p\in[0;1]\), \(0\leq p(1-p)\leq1/4\). Donc, pour \(n\geq1\) et \(\delta>0\), \[\mathbb{P}(|F_n-p|\geq\delta)\leq\frac1{4n\delta^2}.\]

Démonstration. Les facteurs \(p\) et \(1-p\) sont positifs ou nuls. D’autre part, \[\left(p-\frac12\right)^2=p^2-p+\frac14, \qquad p(1-p)=\frac14-\left(p-\frac12\right)^2\leq\frac14.\] L’égalité se produit pour \(p=1/2\). Cette borne convient même si \(p\) est inconnu ; elle ne suppose pas que \(p=1/2\). Si \(p\) est connu, sa variance exacte peut donner une meilleure garantie.

Exemple de référence 6.5 — Choisir le bon code avant de calculer

Une séquence contient quatre symboles indépendants, chacun égal à \(0\) ou \(1\) avec probabilité \(1/2\). Elle est déclarée gagnante si elle contient exactement deux symboles \(1\). On produit \(1\,500\) séquences indépendantes.

Pour une séquence, \(K\) compte les symboles \(1\). La question de fréquence de séquences gagnantes utilise plutôt \(Y=1\) si \(K=2\), et \(Y=0\) sinon. Les deux positions des symboles \(1\) se choisissent de \(\binom42=6\) façons ; chaque séquence a une probabilité \(1/16\). Donc \[p=\frac6{16}=\frac38,\qquad \operatorname{V}(Y)=\frac38\times\frac58=\frac{15}{64}.\] Avec \(\delta=0{,}05=1/20\), la concentration de la fréquence donne \[\mathbb{P}\left(\left|F_{1500}-\frac38\right|\geq\frac1{20}\right) \leq\frac{15/64}{1500(1/20)^2} =\frac{15/64}{15/4} =\frac1{16}=0{,}0625.\] Ainsi \(\mathbb{P}(0{,}325<F_{1500}<0{,}425)\geq15/16\). La borne uniforme serait \(1/(4\times1500\times0{,}05^2)=1/15\), un peu moins fine.

La variance de \(K\), nombre de symboles \(1\), n’est pas celle du code \(Y\) : il faut moyenner la variable qui correspond réellement à la question.

Méthode à retenir. Nommer l’événement ; définir son code \(0/1\) ; calculer \(p\) si possible ; vérifier l’indépendance et la même probabilité ; écrire la fréquence ; appliquer la concentration avec \(p(1-p)\) ou \(1/4\). Un écart de fréquence \(0{,}05\) signifie cinq points de pourcentage, et non nécessairement une erreur relative de \(5\,\%\).

7. Calculs et simulations

Objectif. Calculer une probabilité binomiale, simuler des moyennes et une marche aléatoire, puis confronter les résultats numériques aux résultats théoriques.

Les trois démarches suivantes correspondent aux exemples d’algorithmes proposés au programme. Elles donnent trois usages distincts du calcul : obtenir une probabilité à partir d’une loi connue, comparer une dispersion observée à une dispersion théorique, suivre une trajectoire. Une simulation fournit des observations ; elle ne démontre pas la loi des grands nombres.

1. Une probabilité binomiale et son majorant

Rappel 7.1 — Le modèle et l’événement à calculer

On répète \(n\geq1\) épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité de succès \(p\in[0;1]\). Leur nombre de succès \(S_n\) suit la loi \(\mathcal{B}(n;p)\) et vérifie \[\operatorname{E}(S_n)=np,\qquad \operatorname{V}(S_n)=np(1-p).\] Pour \(0<p<1\) et \(k\in\{0,\ldots,n\}\), \[\mathbb{P}(S_n=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.\] Si \(p=0\) ou \(p=1\), \(S_n\) est constant. La démarche proposée consiste à calculer \(\mathbb{P}(|S_n-np|>\sqrt n)\), puis à comparer cette probabilité à une majoration de Bienaymé–Tchebychev. Il faut conserver le signe strict lors du choix des entiers à sommer.

Proposition 7.2 — Une garantie indépendante du nombre d’épreuves

Pour ce modèle, \[\mathbb{P}(|S_n-np|>\sqrt n)\leq p(1-p)\leq\frac14.\]

Démonstration. L’événement \(\{|S_n-np|>\sqrt n\}\) est inclus dans \(\{|S_n-np|\geq\sqrt n\}\). Puisque \(n\geq1\), le seuil \(\sqrt n\) est strictement positif et Bienaymé–Tchebychev donne \[\mathbb{P}(|S_n-np|>\sqrt n) \leq\frac{np(1-p)}{(\sqrt n)^2} =\frac{np(1-p)}{n}=p(1-p).\] Enfin, \(p(1-p)=p-p^2=\frac14-(p-\frac12)^2\leq\frac14\). Pour \(0<p<1\) fixé, cette borne ne tend pas vers \(0\). Cela ne contredit pas la loi des grands nombres : pour la fréquence \(S_n/n\), le seuil correspondant est \(1/\sqrt n\), qui varie avec \(n\), alors que le théorème porte sur un seuil positif fixé.

Exemple de référence 7.3 — Traduire les bornes avant d’utiliser la calculatrice

Pour \(S_{100}\sim\mathcal{B}(100;0{,}35)\), \(100p=35\) et \(\sqrt{100}=10\). Comme \(S_{100}\) est entier, \[|S_{100}-35|>10 \iff S_{100}<25\ \text{ou}\ S_{100}>45 \iff S_{100}\leq24\ \text{ou}\ S_{100}\geq46.\] Les deux événements sont disjoints. On additionne donc leurs probabilités : \[\begin{aligned} \mathbb{P}(|S_{100}-35|>10) &=\sum_{k=0}^{24}\binom{100}{k}(0{,}35)^k(0{,}65)^{100-k}\\ &\quad+\sum_{k=46}^{100}\binom{100}{k}(0{,}35)^k(0{,}65)^{100-k}\\ &\approx0{,}0271397706. \end{aligned}\] Si l’outil donne le cumul \(C(t)=\mathbb{P}(S_{100}\leq t)\), le même calcul s’écrit \(C(24)+1-C(45)\). Le complément doit retirer tous les entiers jusqu’à \(45\) inclus.

La variance vaut \(100\times0{,}35\times0{,}65=22{,}75\). Le majorant vaut donc \(22{,}75/10^2=0{,}2275\), nettement au-dessus de la probabilité calculée. C’est une garantie, pas une valeur approchée de la probabilité.

Contrôle de frontière. Les valeurs \(25\) et \(45\) donnent un écart égal à \(10\) : elles sont exclues. Avec \(\geq10\), elles seraient incluses et la probabilité vaudrait environ \(0{,}0457441846\).

Algorithme 7.4 — Sélectionner exactement les entiers, additionner numériquement

Les entrées \(n,a,b\) sont des entiers, avec \(n\geq1\), \(b\geq1\) et \(0\leq a\leq b\) ; on pose \(p=a/b\). Pour éviter qu’un arrondi sur \(\sqrt n\) change le test à la frontière, on utilise \[\left|k-\frac{an}{b}\right|>\sqrt n \iff |bk-an|>b\sqrt n \iff (bk-an)^2>b^2n.\] La multiplication par \(b>0\) conserve le sens ; les deux membres non négatifs permettent ensuite de comparer leurs carrés.

from math import comb

def risque_binomial(n, a, b):
    if n < 1 or b < 1 or a < 0 or a > b:
        raise ValueError("parametres non autorises")
    if a == 0 or a == b:
        return 0.0
    p = a / b
    total = 0.0
    for k in range(n + 1):
        if (b*k - a*n)**2 > b*b*n:
            terme = comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)
            total = total + terme
    return total

print(risque_binomial(100, 7, 20))

total part de \(0\) ; la boucle examine les \(n+1\) entiers de \(0\) à \(n\) et ajoute seulement les probabilités retenues. Pour \(p=0\) ou \(p=1\), l’écart à \(np\) est toujours nul : la réponse est \(0\). La sélection des entiers est exacte ; la somme renvoyée est calculée en nombres flottants. Cette écriture convient aux tailles modérées des exemples ; elle n’est pas une méthode numérique adaptée à toute taille arbitrairement grande.

Trace avec \(n=10\), \(p=2/5\). Le test \((5k-20)^2>250\) retient exactement \(0,8,9,10\). Les autres passages dans la boucle ne modifient pas total.

\(k\) retenu	Probabilité ajoutée	Total après ajout
0	\(0{,}0060466176\)	\(0{,}0060466176\)
8	\(0{,}0106168320\)	\(0{,}0166634496\)
9	\(0{,}0015728640\)	\(0{,}0182363136\)
10	\(0{,}0001048576\)	\(0{,}0183411712\)

On contrôle \(0\leq0{,}0183411712\leq(2/5)(3/5)=0{,}24\). Cette vérification est nécessaire, mais ne suffit pas à prouver que le programme calcule le bon événement : les bornes doivent aussi être contrôlées.

2. Répéter des échantillons et comparer les dispersions

Rappel 7.5 — La taille \(n\) et le nombre de répétitions \(N\)

Chaque échantillon contient \(n\geq1\) observations indépendantes de même loi que \(X\). Si \(\operatorname{E}(X)=\mu\) et \(\operatorname{V}(X)=V=\sigma^2\), sa somme \(S_n\) et sa moyenne \(M_n=S_n/n\) vérifient \[\operatorname{E}(M_n)=\mu,\qquad \operatorname{V}(M_n)=\frac Vn, \qquad \sigma(M_n)=\frac\sigma{\sqrt n}.\] On simule \(N\geq1\) échantillons, indépendamment les uns des autres, et on conserve leurs \(N\) moyennes \(m_1,\ldots,m_N\). Le programme réalise donc \(Nn\) tirages, puis compare \(N\) nombres. Ainsi \(n\) est la taille de chaque échantillon ; \(N\) est le nombre de moyennes observées.

Modèle retenu. \(X\) vaut \(0\) ou \(4\), chaque valeur avec probabilité \(1/2\). On calcule \[\mu=0\times\frac12+4\times\frac12=2,\qquad V=(0-2)^2\frac12+(4-2)^2\frac12=2+2=4, \quad \sigma=2.\] L’écart type théorique de \(M_n\) vaut donc \(1\) si \(n=4\) et \(2/8=0{,}25\) si \(n=64\). Multiplier \(n\) par \(16\) le divise par \(4\).

Définition 7.6 — Le centre et l’écart type descriptifs des moyennes observées

Pour la liste non vide \(m_1,\ldots,m_N\), on définit \[\overline m=\frac{m_1+\cdots+m_N}{N},\qquad s=\sqrt{\frac{(m_1-\overline m)^2+\cdots+(m_N-\overline m)^2}{N}}.\] Cette convention descriptive utilise le dénominateur \(N\) et le centre observé \(\overline m\). L’espérance \(\mu\) appartient au modèle ; elle peut différer de \(\overline m\). De même, \(s\) peut différer de \(\sigma/\sqrt n\).

Exemple de référence 7.7 — Fixer le centre avant de calculer les carrés

Dans le modèle précédent, la liste de moyennes \([1,2,3,4]\) est possible avec \(n=4\) : les quatre échantillons contiennent respectivement \(1,2,3,4\) valeurs égales à \(4\). Elle sert ici à contrôler les calculs. \[\overline m=\frac{1+2+3+4}{4}=2{,}5, \qquad s^2=\frac{(-1{,}5)^2+(-0{,}5)^2+(0{,}5)^2+(1{,}5)^2}{4} =\frac54.\] Ainsi \(s=\sqrt{1{,}25}\approx1{,}1180\). Centrer les carrés sur \(\mu=2\) donnerait \((1+0+1+4)/4=1{,}5\) : ce n’est pas la variance descriptive de cette liste.

Algorithme 7.8 — Construire \(N\) moyennes

Le test random()<0.5 simule deux issues équiprobables à partir d’un nombre pseudo-aléatoire dans \([0;1[\). Les entrées n et N sont des entiers strictement positifs.

from random import random, seed

def tirer_X():
    if random() < 0.5:
        return 0
    return 4

def echantillons(n, N):
    if n < 1 or N < 1:
        raise ValueError("tailles strictement positives")
    moyennes = []
    for j in range(N):
        total = 0
        for i in range(n):
            total = total + tirer_X()
        moyennes.append(total / n)
    return moyennes

Trace et ordre. Un échantillon \([0,4,0,4]\) donne les totaux \(0,4,4,8\), puis la moyenne \(8/4=2\). Pour l’échantillon suivant \([4,4,4,0]\), total repart de \(0\) : ses états sont \(4,8,12,12\), puis la moyenne vaut \(3\). Réinitialiser seulement avant la boucle extérieure ferait, à tort, commencer le deuxième total à \(8\).

Après les \(N\) passages de la boucle extérieure, la sortie contient exactement \(N\) moyennes, chacune dans \([0;4]\). Ces bornes viennent des valeurs possibles de \(X\).

Algorithme 7.9 — Calculer \(\overline m\) puis \(s\)

L’entrée est la liste non vide des moyennes ; la sortie donne son centre et son écart type descriptif. La fonction sqrt calcule la racine carrée.

from math import sqrt

def statistiques(moyennes):
    N = len(moyennes)
    if N == 0:
        raise ValueError("liste vide")
    total = 0.0
    for m in moyennes:
        total = total + m
    centre = total / N
    carres = 0.0
    for m in moyennes:
        carres = carres + (m - centre)**2
    return centre, sqrt(carres / N)

Sur \([1,2,3,4]\), le premier total vaut successivement \(1,3,6,10\), puis centre est fixé à \(2{,}5\). Le total des carrés vaut ensuite \(2{,}25;2{,}5;2{,}75;5\). Chaque boucle s’arrête après \(N\) valeurs. Le centre ne change pas pendant la seconde boucle et la division finale se fait par \(N\).

Algorithme 7.10 — Deux rayons, un même centre théorique

Pour \(k=1,2,3\), on compare les proportions de moyennes satisfaisant \[|m_j-\mu|\leq ks \qquad\text{et}\qquad |m_j-\mu|\leq k\frac\sigma{\sqrt n}.\] Les deux bandes sont centrées sur \(\mu\). La liste est non vide, \(n\) est un entier positif, \(s\geq0\) et \(\sigma\geq0\) ; sqrt a été importée ci-dessus.

def proportions(moyennes, mu, s, sigma, n):
    N = len(moyennes)
    if N == 0 or n < 1 or s < 0 or sigma < 0:
        raise ValueError("parametres non autorises")
    theorique = sigma / sqrt(n)
    tableau = []
    for k in (1, 2, 3):
        compte_s = 0
        compte_theorique = 0
        for m in moyennes:
            if abs(m - mu) <= k*s:
                compte_s = compte_s + 1
            if abs(m - mu) <= k*theorique:
                compte_theorique = compte_theorique + 1
        tableau.append((k, compte_s/N, compte_theorique/N))
    return tableau

Pour chaque \(k\), les deux compteurs repartent de \(0\) et examinent les \(N\) moyennes. La sortie contient trois lignes de la forme \((k,\text{proportion dans }ks,\text{proportion dans }k\sigma/\sqrt n)\). On divise par \(N\), puisque l’on compte des moyennes parmi \(N\) moyennes.

Contrôle sur \([1,2,3,4]\). Pour \(\mu=2\), les distances valent \(1,0,1,2\). Avec \(n=4\), \(\sigma=2\) et \(s=\sqrt{1{,}25}\), les deux bandes retiennent trois valeurs pour \(k=1\), puis toutes les valeurs pour \(k=2\) et \(k=3\). La sortie est donc \([(1;0{,}75;0{,}75),(2;1;1),(3;1;1)]\). Les deux rayons peuvent donner les mêmes comptages sans être égaux.

Méthode 7.11 — Exécuter, comparer et interpréter

Après avoir défini les fonctions précédentes, on peut lancer :

seed(20261031)
n, N = 64, 2000
moyennes = echantillons(n, N)
centre, s = statistiques(moyennes)
print(centre, s, 2 / sqrt(n))
print(proportions(moyennes, 2, s, 2, n))

Comparer d’abord centre à \(\mu=2\), puis \(s\) à \(\sigma/\sqrt{64}=0{,}25\), enfin les deux proportions pour chaque \(k\). La graine fixée rend l’expérience reproductible dans l’environnement utilisé. Changer de graine peut modifier les valeurs observées.

Pour étudier l’effet de la taille, refaire l’expérience avec un autre \(n\) en conservant une valeur explicite de \(N\). La théorie prévoit la variation de \(\sigma/\sqrt n\) ; une simulation n’impose ni \(s=\sigma/\sqrt n\), ni des proportions fixes pour \(k=1,2,3\). Si une valeur paraît incohérente, contrôler d’abord le nombre de tirages, les remises à zéro, le centre des carrés et le centre des bandes.

3. Simuler une marche aléatoire

Définition 7.12 — La position et le déplacement moyen

Une marche simple symétrique part de \(0\). À chaque étape, indépendamment des autres, son déplacement \(D_i\) vaut \(+1\) ou \(-1\) avec probabilité \(1/2\). Après \(n\) pas, \[R_0=0,\qquad R_n=D_1+\cdots+D_n.\] Pour \(n\geq1\), \(R_n/n\) est la moyenne des déplacements, et non celle des positions intermédiaires. Le symbole \(R_n\) distingue ici la position du comptage binomial \(S_n\) utilisé plus haut.

Proposition 7.13 — Confronter la trajectoire à la théorie

Pour \(n\geq1\), \[\operatorname{E}(R_n)=0,\quad \operatorname{V}(R_n)=n,\quad \operatorname{E}(R_n/n)=0,\quad \operatorname{V}(R_n/n)=\frac1n.\]

Démonstration. Pour un pas, \(\operatorname{E}(D_i)=1/2-1/2=0\) et \(\operatorname{V}(D_i)=1^2/2+(-1)^2/2=1\). La linéarité de l’espérance et l’additivité des variances des pas indépendants donnent \(\operatorname{E}(R_n)=n\times0=0\) et \(\operatorname{V}(R_n)=n\times1=n\). La règle de changement d’échelle donne ensuite \[\operatorname{E}(R_n/n)=\frac1n\times0=0, \qquad \operatorname{V}(R_n/n)=\left(\frac1n\right)^2n=\frac1n.\] Ces calculs utilisent les règles d’espérance et de variance du cours. Ainsi la position a pour écart type \(\sqrt n\), tandis que le déplacement moyen a pour écart type \(1/\sqrt n\) : la division par \(n\) explique la différence.

Contrôle par comptage. Si \(B_n\) compte les pas positifs, alors \(B_n\sim\mathcal{B}(n;1/2)\) et \[R_n=B_n\times1+(n-B_n)\times(-1) =B_n-n+B_n=2B_n-n.\] La loi binomiale vient des \(n\) essais indépendants de succès pas positif .

Algorithme 7.14 — Enregistrer la nouvelle position après chaque pas

L’entrée \(n\) est un entier strictement positif. La fonction renvoie les \(n+1\) positions, départ compris. L’import explicite permet d’exécuter ce bloc séparément.

from random import random

def marche(n):
    if n < 1:
        raise ValueError("nombre de pas positif")
    position = 0
    chemin = [position]
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            pas = 1
        else:
            pas = -1
        position = position + pas
        chemin.append(position)
    return chemin

chemin = marche(100)
print(chemin[-1], chemin[-1] / 100)

La première valeur imprimée est la position finale ; la seconde est la moyenne des \(100\) déplacements. chemin[-1] désigne la dernière valeur de la liste.

Trace déterminée. Pour les pas \(+1,+1,-1,+1,-1,-1\), on obtient :

Nombre de pas \(i\)	0	1	2	3	4	5	6
Position \(R_i\)	0	1	2	1	2	1	0

La liste finale est \([0,1,2,1,2,1,0]\). Les trois pas positifs donnent aussi \(R_6=2\times3-6=0\). Le pas doit être tiré, puis ajouté à la position, avant l’ajout de cette nouvelle position à la liste. Deux positions consécutives diffèrent de \(+1\) ou de \(-1\).

Interprétation. Sur cette trace, \(R_3/3=1/3\) puis \(R_4/4=1/2\) : une remontée locale reste possible. Pour tout \(d>0\) fixé, la concentration donne \(\mathbb{P}(|R_n/n|\geq d)\leq1/(nd^2)\), qui tend vers \(0\). Cette borne porte sur la position à l’instant \(n\), rapportée à \(n\) ; elle ne garantit ni une diminution à chaque pas, ni le maintien de toute la trajectoire dans une bande.

8. Synthèse : résultats et choix de méthode

Objectif. Retrouver les conditions avant de choisir la formule utile.

Synthèse 8.1 — Le noyau du chapitre

Toutes les variables étudiées sont finies. Pour une observation \(X\), on note \(\mu=\operatorname{E}(X)\), \(V=\operatorname{V}(X)\) et \(\sigma=\sqrt V\).

Une variable, un seuil \(\delta>0\) : \[\mathbb{P}(|X-\mu|\geq\delta)\leq\frac V{\delta^2}.\] Un échantillon indépendant de même loi, \(n\geq1\) : \[S_n=X_1+\cdots+X_n,\quad M_n=S_n/n,\quad \operatorname{E}(M_n)=\mu,\quad\operatorname{V}(M_n)=V/n,\quad\sigma(M_n)=\sigma/\sqrt n.\] Concentration de la moyenne, \(\delta>0\) : \[\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac V{n\delta^2}, \qquad \mathbb{P}(|M_n-\mu|<\delta)\geq1-\frac V{n\delta^2}.\] Taille suffisante, \(0<\alpha<1\) : \[n\geq\frac V{\alpha\delta^2},\qquad n\text{ entier, }n\geq1.\] Loi des grands nombres, \(\delta>0\) fixé : \[\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(|M_n-\mu|\geq\delta)=0.\] Fréquence de succès indépendants de même probabilité \(p\) : \[\operatorname{E}(F_n)=p,\quad\operatorname{V}(F_n)=\frac{p(1-p)}n,\quad \mathbb{P}(|F_n-p|\geq\delta)\leq\frac{p(1-p)}{n\delta^2}\leq\frac1{4n\delta^2}.\] Le contraire d’un écart \(\geq\delta\) est un écart \(<\delta\). Les résultats donnant une borne ne fournissent pas automatiquement une probabilité exacte.

La question porte sur…	Premier geste et contrôle
Une probabilité exacte	Identifier les valeurs de l’événement ; additionner les probabilités de la loi.
Un risque avec \(\mu\) et \(V\) connus	Écrire la distance au centre ; choisir le seuil positif ; appliquer Bienaymé–Tchebychev.
Une somme ou une moyenne	Identifier la variable et ses moments ; la variance d’une moyenne utilise le carré de \(1/n\).
Une précision et une garantie	Convertir la garantie en risque \(\alpha\) ; résoudre pour le majorant ; vérifier l’entier choisi.
Une proportion	Définir un code \(0/1\) ; distinguer compte, fréquence et mesure brute.
Une limite	Fixer la tolérance ; encadrer une probabilité ; conclure avec les hypothèses.
Une simulation	Distinguer \(n\) et \(N\), centre théorique et moyenne observée, observation numérique et preuve.

Contrôle final d’une rédaction. La variable est nommée, les hypothèses sont présentes, les frontières sont exactes, le calcul emploie la bonne variance, et la phrase finale distingue valeur exacte, majoration, minoration et observation.