Définition 1.1 — Fonction composée et domaine

Si une fonction \(p\) est définie sur \(D_p\) et une fonction \(q\) sur \(D_q\), la composée de \(p\) suivie de \(q\) est la fonction \[(q\circ p)(x)=q(p(x)),\qquad D_{q\circ p}=\{x\in D_p\mid p(x)\in D_q\}.\] \(p\) est la fonction intérieure, appliquée en premier ; \(q\) est la fonction extérieure, appliquée en second. Dans \(q\circ p\), on lit donc l’ordre des opérations de droite à gauche.

Exemple 1.2 — Les mêmes fonctions, deux résultats différents

Avec \(p(x)=2x+1\) et \(q(t)=t^2\), toutes les entrées réelles sont possibles. On obtient \[\begin{aligned} (q\circ p)(x)&=q(2x+1)=(2x+1)^2,\\ (p\circ q)(x)&=p(x^2)=2x^2+1. \end{aligned}\] Pour \(x=1\), la première expression vaut \(3^2=9\) et la seconde \(2+1=3\). Ainsi \(q\circ p\neq p\circ q\). Le produit \(p(x)q(x)=(2x+1)x^2\) serait encore un autre calcul. La lettre \(t\) dans \(q(t)\) est une variable d’entrée, pas une troisième fonction.

Exemple 1.3 — Une racine impose une condition sur l’entrée intermédiaire

Pour \(p(x)=2x-5\) et \(q(t)=\sqrt t\), on peut toujours calculer \(p(x)\), mais la racine carrée réelle exige \(p(x)\geq0\). On résout \[2x-5\geq0\ \Longleftrightarrow\ 2x\geq5 \ \Longleftrightarrow\ x\geq\frac52.\] Ainsi \(q\circ p\) est définie sur \([\frac52;+\infty[\) et \((q\circ p)(x)=\sqrt{2x-5}\). C’est bien \(p\) puis \(q\). Dans l’autre sens, \(p(q(x))=2\sqrt x-5\), définie sur \([0;+\infty[\). L’ordre change à la fois l’expression et le domaine.

Théorème 1.4 — Dérivée de \(F(x)=u(ax+b)\)

Soient \(a,b\) deux constantes réelles. Soit \(u\) dérivable sur un intervalle ouvert \(J\), et soit \(I\) un intervalle ouvert tel que \(ax+b\in J\) pour tout \(x\in I\). La fonction \(F:x\mapsto u(ax+b)\) est dérivable sur \(I\) et \[\boxed{F'(x)=a\,u'(ax+b).}\] Ici, \(u\) est la fonction extérieure et \(x\mapsto ax+b\) est la fonction intérieure. Les lettres ne fixent pas les rôles : c’est l’écriture de la composition qui les fixe.

Démonstration.

Fixons une abscisse \(\xi\in I\) ; la lettre \(a\) reste réservée au coefficient de la fonction affine.

Premier cas : \(a=0\).

\(F(x)=u(b)\) est constante, donc \(F'(x)=0\). Sous les hypothèses du théorème, \(u'(b)\) existe ; \(a\,u'(ax+b)=0\times u'(b)=0\).

Second cas : \(a\neq0\).

Posons \(t_0=a\xi+b\). Pour \(h\neq0\) suffisamment petit pour rester dans \(I\), \[\begin{aligned} \frac{F(\xi+h)-F(\xi)}h &=\frac{u(a(\xi+h)+b)-u(a\xi+b)}h\\ &=\frac{u(a\xi+ah+b)-u(a\xi+b)}h\\ &=\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}h\\ &=a\,\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}{ah}. \end{aligned}\] La dernière égalité est licite : \(ah\neq0\), et multiplier le quotient par \(a\) compense exactement le facteur \(a\) introduit au dénominateur. Lorsque \(h\to0\), \(ah\to0\). Par définition du nombre dérivé de \(u\) en \(t_0\), \[\frac{u(t_0+ah)-u(t_0)}{ah}\longrightarrow u'(t_0).\] Même si \(a<0\), la limite des deux côtés reste la même : seuls les côtés d’approche sont échangés. Le taux de \(F\) tend donc vers \(a\,u'(a\xi+b)\). Cela prouve la dérivabilité et la formule en tout \(\xi\in I\). \(\square\)

Méthode 1.5 — Domaine, fonction extérieure, remplacement, coefficient

Premier geste : entourer l’argument entier \(ax+b\) et repérer la dernière opération.

Écrire \(u(t)\) et sa dérivée \(u'(t)\) avec son domaine. Vérifier que \(ax+b\) est dans ce domaine. Remplacer toutes les occurrences de \(t\) dans \(u'(t)\) par \(ax+b\), puis multiplier par \(a\). Conserver les parenthèses jusqu’à la fin.

Rappels utiles : \((t^n)'=nt^{n-1}\) pour \(n\geq2\) ; \((1/t)'=-1/t^2\) pour \(t\neq0\) ; \((\sqrt t)'=1/(2\sqrt t)\) pour \(t>0\).

Exemple 1.6 — Une puissance et un coefficient négatif

Soit \(F(x)=(5-2x)^4\). La dernière opération est la puissance \(4\), donc \(u(t)=t^4\) et \(u'(t)=4t^3\) sur \(\mathbb R\). L’argument est \(-2x+5\) : \(a=-2\), \(b=5\). \[\begin{aligned} u'(5-2x)&=4(5-2x)^3,\\ F'(x)&=(-2)\times4(5-2x)^3\\ &=-8(5-2x)^3. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((5-2x)^4\right)'=-8(5-2x)^3}\] Il n’est pas nécessaire de développer une puissance quatrième pour la dériver. Contrôle en \(x=0\) par une différence de puissances : pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{(5-2h)^4-5^4}{h} &=-2\bigl((5-2h)^3+5(5-2h)^2+25(5-2h)+125\bigr)\\ &\longrightarrow-2(125+125+125+125)=-1000. \end{aligned}\] On a utilisé \(A^4-B^4=(A-B)(A^3+A^2B+AB^2+B^3)\), avec \(A-B=-2h\). La formule trouvée donne elle aussi \(-8\times125=-1000\).

Exemple 1.7 — L’inverse d’une expression affine

Soit \(R(x)=1/(3x-2)\). Il faut \(3x-2\neq0\), soit \(x\neq2/3\). On pose \(u(t)=1/t\), donc \(u'(t)=-1/t^2\) pour \(t\neq0\). \[R'(x)=3\left(-\frac1{(3x-2)^2}\right) =-\frac3{(3x-2)^2},\qquad x\neq\frac23.\] \[\boxed{\left(\frac1{3x-2}\right)'=-\frac3{(3x-2)^2}}\] Le signe moins vient de la dérivée de l’inverse ; le \(3\) vient de la dérivée de l’argument. La formule \(-v'/v^2\), avec \(v=3x-2\), donne le même résultat : les deux méthodes sont compatibles.

Exemple 1.8 — Une racine : être définie n’est pas être dérivable

Soit \(S(x)=\sqrt{2x-5}\), définie sur \([\frac52;+\infty[\). La fonction extérieure \(u(t)=\sqrt t\) est dérivable seulement pour \(t>0\). Pour \(x>5/2\), \[\begin{aligned} u'(2x-5)&=\frac1{2\sqrt{2x-5}},\\ S'(x)&=2\times\frac1{2\sqrt{2x-5}} =\frac1{\sqrt{2x-5}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\sqrt{2x-5}\right)'=\frac1{\sqrt{2x-5}}}\] Au bord \(\xi=5/2\), \(S(\xi)=0\). Pour \(h>0\), \[\frac{S(\xi+h)-S(\xi)}h =\frac{\sqrt{2h}}h =\frac{\sqrt2\sqrt h}{(\sqrt h)^2} =\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.\] Il n’existe donc pas de nombre dérivé fini à droite en \(5/2\). Le fait que la formule contienne un dénominateur nul aurait seulement indiqué qu’elle ne s’applique pas ; c’est le taux qui permet ici de conclure.

Exemple 1.9 — Une racine avec coefficient intérieur négatif

Pour \(G(x)=\sqrt{7-3x}\), on exige \(7-3x\geq0\). Soustraire \(7\), puis diviser par \(-3<0\), donne \[-3x\geq-7\ \Longleftrightarrow\ x\leq\frac73.\] Le domaine est \(]-\infty;7/3]\). La formule de dérivation demande \(7-3x>0\), donc \(x<7/3\). Avec \(u(t)=\sqrt t\), \[G'(x)=(-3)\times\frac1{2\sqrt{7-3x}} =-\frac3{2\sqrt{7-3x}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{7-3x}\right)'=-\frac3{2\sqrt{7-3x}}}\] Au bord \(\xi=7/3\), on prend \(h<0\) et on pose \(s=-h>0\) : \[\frac{G(\xi+h)-G(\xi)}h =\frac{\sqrt{-3h}}h =-\frac{\sqrt{3s}}s =-\frac{\sqrt3}{\sqrt s}\longrightarrow-\infty.\] Il n’y a pas de dérivée finie à gauche au bord. Le signe négatif est expliqué par un accroissement horizontal négatif et une image positive.

Exemple 1.10 — Une puissance négative composée

Soit \(H(x)=(2x+1)^{-3}=1/(2x+1)^3\). Son domaine exclut \(-1/2\). Pour \(u(t)=t^{-3}\), la règle des puissances donne \(u'(t)=-3t^{-4}\), pour \(t\neq0\). \[\begin{aligned} H'(x)&=2\times[-3(2x+1)^{-4}]\\ &=-6(2x+1)^{-4}=-\frac6{(2x+1)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((2x+1)^{-3}\right)'=-6(2x+1)^{-4}}\] L’exposant devient \(-3-1=-4\) ; un exposant négatif commande un inverse, pas un changement de signe. Le domaine reste \(\mathbb R\setminus\{-1/2\}\).

Exemple 1.11 — Coefficient extérieur et coefficient intérieur

Pour \(D(x)=-2(1-3x)^4\), le \(-2\) multiplie toute la fonction ; il reste devant la dérivée. Le \(-3\) est, lui, la dérivée de l’argument. \[\begin{aligned} D'(x)&=(-2)\times\bigl[(-3)\times4(1-3x)^3\bigr]\\ &=24(1-3x)^3. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(-2(1-3x)^4\right)'=24(1-3x)^3}\] Les trois facteurs numériques ont des origines distinctes : coefficient extérieur, dérivée intérieure, dérivée de la puissance. Oublier l’un d’eux change la réponse.

Exemple 1.12 — Une fonction dont on connaît seulement une dérivée

On sait que \(u\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(u'(1)=4\). Pour \(F(x)=u(3x-2)\), calculer \(F'(1)\) ne demande pas de connaître l’expression de \(u\) : \[F'(1)=3u'(3\times1-2)=3u'(1)=3\times4=12.\] En revanche, pour \(K(x)=u(2x+1)\), on aurait \(K'(1)=2u'(3)\) : la seule donnée \(u'(1)=4\) ne suffit pas. Il faut évaluer la dérivée extérieure au bon argument.

Piège 1.13 — Trois confusions à écarter

Oublier \(a\). Pour \(F(x)=(2x)^2=4x^2\), la dérivée est \(8x\). Écrire seulement \(2(2x)=4x\) oublie la dérivée de \(2x\), qui vaut \(2\).

Remplacer l’argument par sa dérivée. On calcule \(u'(ax+b)\), et non \(u'(a)\). La dérivée de l’argument multiplie le résultat ; elle ne remplace pas l’argument.

Généraliser à l’œil. Le cas affine porte sur \(ax+b\). Pour \((x^2+1)^2\), la règle du carré d’une fonction donne \(2(x^2+1)\times2x\). La règle générale expliquant systématiquement ce \(2x\) sera démontrée dans l’approfondissement.

Corollaire 1.14 — Les formes affines les plus fréquentes

Sur les ensembles où les formules sont définies, pour \(n\geq2\) entier, \[\begin{aligned} \bigl((ax+b)^n\bigr)'&=na(ax+b)^{n-1},\\ \left(\frac1{ax+b}\right)'&=-\frac a{(ax+b)^2}, && ax+b\neq0,\\ \left(\frac1{(ax+b)^n}\right)'&=-\frac{na}{(ax+b)^{n+1}}, && ax+b\neq0,\\ \bigl(\sqrt{ax+b}\bigr)'&=\frac a{2\sqrt{ax+b}}, && ax+b>0. \end{aligned}\] Ces quatre formules découlent du théorème en prenant successivement \(u(t)=t^n\), \(1/t\), \(t^{-n}\) et \(\sqrt t\), et en utilisant leurs dérivées usuelles. Si \(a=0\), étudier d’abord la constante obtenue ; une formule comportant une division par zéro ne devient pas licite parce que son numérateur est nul.

À toi 1.15 — Reconnaître, calculer, expliquer et réparer

Repérage. Dans \(\sqrt{4x+9}\), nommer les deux opérations. Réponse : calculer \(4x+9\), puis sa racine. Reprendre la définition de composition si l’ordre a été inversé.

Essai guidé. Pour \(A(x)=(3x-2)^5\), écrire \(u(t)\), \(u'(t)\), \(a\), puis \(A'(x)\).

Correction expliquée.

\(u(t)=t^5\) est dérivable sur \(\mathbb R\), avec \(u'(t)=5t^4\). Comme \(a=3\) et \(3x-2\in\mathbb R\) pour tout réel \(x\), \[A'(x)=3\,u'(3x-2)=3\times5(3x-2)^4=15(3x-2)^4.\] \[\boxed{\left((3x-2)^5\right)'=15(3x-2)^4}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=\sqrt{4x+9}\) et \(C(x)=1/(1-5x)^2\) en précisant les ensembles où les formules s’appliquent.

Correction expliquée.

Pour \(B\), \(4x+9\geq0\) donne \(x\geq-9/4\). La racine est dérivable quand l’argument est strictement positif, donc pour \(x>-9/4\) : \[B'(x)=4\times\frac1{2\sqrt{4x+9}}=\frac2{\sqrt{4x+9}}.\] Pour \(C\), \(1-5x\neq0\) donne \(x\neq1/5\). La fonction extérieure est \(u(t)=t^{-2}\), donc \(u'(t)=-2t^{-3}\) et \[C'(x)=(-5)\times[-2(1-5x)^{-3}]=\frac{10}{(1-5x)^3}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{4x+9}\right)'=\frac2{\sqrt{4x+9}}}\] \[\boxed{\left(\frac1{(1-5x)^2}\right)'=\frac{10}{(1-5x)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \(a\) apparaît-il, mais pas un facteur \(b\) ? Réponse possible : l’accroissement de \(ax+b\) entre \(x\) et \(x+h\) est \(ah\). Le terme constant s’annule dans la différence. Il faut mentionner cet accroissement, pas seulement réciter « on multiplie par \(a\) ».

Reprise après erreur. Si tu oublies \(a\), compare \((2x)^2=4x^2\), de dérivée \(8x\), à \(2\times2(2x)=8x\). Nouvel essai : dériver \((3x)^2\). Sa dérivée vaut \(3\times2(3x)=18x\), confirmée par \((9x^2)'=18x\). Reviens ensuite à \(A\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Refaire le calcul de \(D(x)=-2(1-3x)^4\). Correction : conserver \(-2\), calculer la dérivée intérieure \(-3\), puis celle de la puissance : \(D'=(-2)(-3)4(1-3x)^3=24(1-3x)^3\).

Repères de réussite. Je sépare intérieur et extérieur ; je donne les domaines ; je remplace l’argument entier ; je justifie les deux coefficients éventuels et je garde le signe.

À toi 1.16 — Un cas limite et une lecture sans expression

À tenter. 1. \(F(x)=\sqrt{0x}\) est-elle dérivable ? 2. Sachant \(u'(-1)=5\), calculer \(G'(2)\) pour \(G(x)=u(3-2x)\).

Correction expliquée.

1. \(0x=0\), donc \(F(x)=\sqrt0=0\) pour tout \(x\) : c’est une fonction constante, de dérivée nulle. La formule \(0/(2\sqrt0)\) est indéfinie. On conclut par l’expression constante, non par cette formule.

2. \(G'(x)=-2u'(3-2x)\), et \(3-2\times2=-1\). Ainsi \(G'(2)=-2u'(-1)=-10\). Le calcul aurait été impossible sans la valeur de \(u'\) au point \(-1\).

À expliquer. L’hypothèse « \(u\) dérivable en \(b\) » est-elle nécessaire quand \(a=0\) ? Non : il suffit que \(u(b)\) existe pour que la composée soit constante. C’est une limite d’emploi du théorème, pas une erreur du théorème.

À reprendre plus tard, avant de relire. Avec \(u'(4)=-3\), calculer \(K'(1)\) pour \(K(x)=u(2x+2)\). Correction : \(K'(1)=2u'(4)=2(-3)=-6\).

Exemple 2.1 — Une fonction non affine à l’intérieur

Pour \(F(x)=(x^2+1)^3\), poser \(u(x)=x^2+1\) et \(v(t)=t^3\) donne \(F=v\circ u\). Calculer \(F(2)\) revient à faire \[2\ \longmapsto\ u(2)=2^2+1=5 \ \longmapsto\ v(5)=5^3=125.\] Les fonctions \(u\) et \(v\) sont définies sur \(\mathbb R\) ; aucune valeur réelle n’est interdite. Les dérivées connues sont \(u'(x)=2x\) et \(v'(t)=3t^2\). Il reste à savoir comment les assembler : ce n’est ni un produit \(uv\) ni un produit \(u'v'\) évalué à la même entrée.

Théorème 2.2 — Dérivée d’une composée : deux fonctions, deux points

Soit \(u\) dérivable en \(a\), définie sur un intervalle ouvert contenant \(a\). Supposons que \(v\) soit définie sur un intervalle ouvert contenant \(u(a)\), que \(v\) soit dérivable en \(u(a)\) et que la composée soit définie au voisinage de \(a\). Alors \(F=v\circ u\) est dérivable en \(a\) et \[\boxed{F'(a)=u'(a)\,v'(u(a)).}\] Sur un intervalle ouvert \(I\) où ces hypothèses sont satisfaites en chaque point, \[\boxed{(v\circ u)'(x)=u'(x)\,v'(u(x))},\qquad \boxed{(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)}.\] Il n’est pas demandé que \(u'(a)\neq0\), ni que \(u\) soit injective. Les hypothèses sont suffisantes ; elles ne sont pas annoncées nécessaires.

Lemme 2.3 — Écrire un petit accroissement sans diviser par zéro

Si \(v\) est dérivable en \(b\), on peut écrire, pour tout petit réel \(k\) admissible, \[v(b+k)-v(b)=k\bigl(v'(b)+\varepsilon(k)\bigr),\] où \(\varepsilon(0)=0\) et \(\varepsilon(k)\to0\) lorsque \(k\to0\). L’égalité est vraie aussi pour \(k=0\).

Démonstration.

Pour \(k\neq0\), posons \[\varepsilon(k)=\frac{v(b+k)-v(b)}k-v'(b).\] La dérivabilité donne \(\varepsilon(k)\to0\). On ajoute \(v'(b)\) aux deux membres, puis on multiplie par \(k\) : \[\begin{aligned} v'(b)+\varepsilon(k)&=\frac{v(b+k)-v(b)}k,\\ k\bigl(v'(b)+\varepsilon(k)\bigr)&=v(b+k)-v(b). \end{aligned}\] Pour \(k=0\), on définit \(\varepsilon(0)=0\) : les deux membres valent \(0\). La valeur choisie en \(0\) coïncide avec la limite, si bien que remplacer \(k\) par une quantité tendant vers \(0\), même parfois nulle, donne encore \(\varepsilon(k)\to0\). \(\square\)

Démonstration.

1. Nommer les deux accroissements.

Fixons \(a\) et posons \(b=u(a)\). Pour \(h\neq0\) assez petit, l’accroissement de \(u\) est \[k(h)=u(a+h)-u(a).\] Par dérivabilité de \(u\), \[\frac{k(h)}h\longrightarrow u'(a).\] De plus, \(k(h)=h\times[k(h)/h]\to0\), car \(h\to0\) et le second facteur tend vers un nombre réel fini. Ce dernier argument rappelle pourquoi une fonction dérivable a des images voisines tendant vers l’image du point.

2. Appliquer le lemme à la fonction extérieure.

Puisque \(u(a+h)=b+k(h)\), \[\begin{aligned} F(a+h)-F(a) &=v\bigl(b+k(h)\bigr)-v(b)\\ &=k(h)\bigl(v'(b)+\varepsilon(k(h))\bigr). \end{aligned}\] L’égalité vaut même lorsque \(k(h)=0\). On divise uniquement par \(h\neq0\) : \[\frac{F(a+h)-F(a)}h =\frac{k(h)}h\bigl(v'(b)+\varepsilon(k(h))\bigr).\]

3. Prendre les limites des deux facteurs.

Le premier facteur tend vers \(u'(a)\). Comme \(k(h)\to0\) et \(\varepsilon(0)=0\), le second tend vers \(v'(b)+0=v'(b)\). Les règles de limite d’un produit donnent \[\lim_{h\to0}\frac{F(a+h)-F(a)}h=u'(a)v'(b)=u'(a)v'(u(a)).\] Cette limite est réelle et finie : elle prouve la dérivabilité de \(F\) en \(a\) et la formule annoncée. Aucune division par \(u'(a)\) ou par \(k(h)\) n’a été effectuée. \(\square\)

Piège 2.4 — Une preuve raccourcie qui peut diviser par zéro

Écrire le taux de \(F\) comme \[\frac{v(u(a+h))-v(u(a))}{u(a+h)-u(a)} \times\frac{u(a+h)-u(a)}h\] n’est licite que si \(u(a+h)\neq u(a)\). Cette différence peut être nulle pour des \(h\neq0\) ; elle l’est toujours si \(u\) est constante. La preuve avec \(\varepsilon\) ferme ce cas, au lieu de supposer silencieusement une non-nullité absente de l’énoncé.

Méthode 2.5 — Les quatre lignes de préparation

Pour \(F(x)=v(u(x))\), écrire successivement \[u(x),\qquad u'(x),\qquad v(t),\qquad v'(t).\] Vérifier les domaines, puis former \(v'(u(x))\) avant de multiplier par \(u'(x)\). La dernière opération de \(F\) permet souvent de choisir \(v\) ; ce qui entre dans cette opération est \(u(x)\).

Exemple 2.6 — Reprendre le cube d’une expression

Pour \(F(x)=(x^2+1)^3\), l’intérieur est \(u(x)=x^2+1\), donc \(u'(x)=2x\). L’extérieur est \(v(t)=t^3\), donc \(v'(t)=3t^2\). Ces fonctions sont dérivables sur \(\mathbb R\). \[\begin{aligned} v'(u(x))&=3(x^2+1)^2,\\ F'(x)&=2x\times3(x^2+1)^2 =6x(x^2+1)^2. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3\right)'=6x(x^2+1)^2}\] Contrôle par une autre écriture : \(F=x^6+3x^4+3x^2+1\), donc \(F'=6x^5+12x^3+6x=6x(x^2+1)^2\). Le développement confirme le calcul général ; il n’était pas nécessaire pour commencer.

Exemple 2.7 — Calculer un nombre dérivé sans connaître les fonctions

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb R\). On donne \(u(1)=2\), \(u'(1)=3\), \(v(2)=7\) et \(v'(2)=-4\). Pour \(F=v\circ u\), \[F(1)=v(u(1))=v(2)=7,\] mais \[F'(1)=u'(1)v'(u(1))=3v'(2)=3(-4)=-12.\] L’image \(F(1)\) et le nombre dérivé \(F'(1)\) ont des rôles différents. La valeur \(v'(1)\) ne serait d’aucune utilité pour ce calcul : l’entrée de \(v\) est \(u(1)=2\).

Exemple 2.8 — Une dérivée intérieure nulle n’empêche pas le théorème

Soit \(F(x)=1/(1+x^2)\), avec \(u(x)=1+x^2\) et \(v(t)=1/t\). On a \(u(0)=1\neq0\), donc \(v\) est dérivable au point intermédiaire, alors que \(u'(0)=0\). \[F'(0)=u'(0)v'(u(0))=0\times(-1)=0.\] La définition confirme : \([F(h)-F(0)]/h=-h/(1+h^2)\to0\). C’est bien un nombre dérivé fini, sans aucune division par \(u'(0)\).

À toi 2.9 — Passer de la notation au calcul

Repérage. Pour \(F=(2x^2-1)^4\), quelle est la dernière opération ? Réponse : élever à la puissance \(4\), donc \(v(t)=t^4\) ; l’intérieur est \(u(x)=2x^2-1\).

Essai guidé. Compléter \(u'=\cdots\), \(v'(t)=\cdots\), puis \(F'=u'v'(u)\).

Correction expliquée.

\(u'(x)=4x\) et \(v'(t)=4t^3\). On remplace \(t\) par \(2x^2-1\) : \(v'(u(x))=4(2x^2-1)^3\). Ainsi \(F'(x)=4x\times4(2x^2-1)^3=16x(2x^2-1)^3\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((2x^2-1)^4\right)'=16x(2x^2-1)^3}\] À tenter avant de lire. Avec \(u(2)=-1\), \(u'(2)=4\) et \(v'(-1)=3\), calculer \((v\circ u)'(2)\).

Correction expliquée.

\((v\circ u)'(2)=u'(2)v'(u(2))=4v'(-1)=12\). On ne cherche pas \(v'(2)\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi multiplie-t-on des dérivées calculées en deux points différents ? Réponse possible : la première transformation part de \(x\) ; la seconde part de l’image intermédiaire \(u(x)\). Citer ces deux entrées est le critère essentiel.

Reprise. Si tu écris \(u'(x)v'(x)\), prends \(u(x)=2x\), \(v(t)=t^2\). La composée vaut \(4x^2\), de dérivée \(8x\), tandis que \(u'(x)v'(x)=4x\). Le remplacement correct donne \(2\times2(2x)=8x\). Nouvel essai : avec \(u(x)=3x\) et \(v(t)=t^2\), la dérivée est \(3\times2(3x)=18x\). Revenir ensuite à \(F\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(K(x)=(x^3+2)^2\). Correction : \(u'=3x^2\), \(v'(t)=2t\), donc \(K'=3x^2\times2(x^3+2)=6x^2(x^3+2)\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((x^3+2)^2\right)'=6x^2(x^3+2)}\]

Repères de réussite. Je nomme les deux fonctions, leurs domaines et les deux lieux d’évaluation ; je calcule tous les facteurs sans supposer une dérivée intérieure non nulle.

Corollaire 3.1 — La dérivée de \((u(x))^n\)

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(n\geq2\) est entier, alors \[\boxed{(u^n)'=n\,u^{n-1}u'.}\] Aucune condition \(u(x)\neq0\) n’est nécessaire. Pour \(n=1\), la dérivée est \(u'\). Pour \(n<0\), la même formule est valable sur les intervalles où \(u\) est dérivable et ne s’annule pas.

La fonction constante \(1\) a pour dérivée \(0\). Si elle est désignée par \(u^0\), cette convention doit être fixée : on ne calcule pas sa dérivée en écrivant \(0\times u^{-1}\) aux zéros de \(u\).

Démonstration.

Pour \(n\geq2\), choisir \(v(t)=t^n\), dérivable sur \(\mathbb R\), donne \(v'(t)=nt^{n-1}\). La règle de composition fournit \[(u^n)'(x)=u'(x)\,n(u(x))^{n-1}=n(u(x))^{n-1}u'(x).\] Pour \(n<0\), \(v\) est dérivable seulement sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\) : il faut donc \(u(x)\neq0\). La même substitution donne la formule. Les cas \(n=1\) et constante \(1\) se traitent directement, sans expression ambiguë de la forme \(0^0\) ou \(0/0\). \(\square\)

Méthode 3.2 — Garder l’expression intérieure entière

Repérer la base \(u(x)\) et l’exposant constant \(n\). Écrire \(u'(x)\) séparément. Ensuite : descendre \(n\), diminuer l’exposant de \(1\), multiplier par \(u'(x)\). \[\bigl(\underbrace{u(x)}_{\text{base}}\bigr)^n \quad\longmapsto\quad n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\times u'(x).\] Ce procédé n’est pas la règle de dérivation d’une puissance dont l’exposant dépend de \(x\).

Exemple 3.3 — Une base du second degré

Pour \(F(x)=(x^2-3x+2)^5\), la base est \(u=x^2-3x+2\) et \(u'=2x-3\). Sur \(\mathbb R\), \[F'(x)=5(x^2-3x+2)^4(2x-3).\] \[\boxed{\left((x^2-3x+2)^5\right)'=5(x^2-3x+2)^4(2x-3)}\] En \(x=1\), la base vaut \(0\) ; la formule donne \(F'(1)=5\times0^4\times(-1)=0\). Il n’y a pas de division par cette base : ses zéros ne sont pas interdits.

Exemple 3.4 — Une puissance négative et un dénominateur toujours positif

Soit \(G(x)=(x^2+1)^{-3}\). Comme \(x^2+1\geq1\), \(G\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). Avec \(u=x^2+1\) et \(u'=2x\), \[\begin{aligned} G'(x)&=-3(x^2+1)^{-4}\times2x\\ &=-6x(x^2+1)^{-4}=-\frac{6x}{(x^2+1)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^{-3}\right)'=-\frac{6x}{(x^2+1)^4}}\] La forme fractionnaire rend visibles les valeurs interdites éventuelles ; ici, il n’y en a aucune. Le signe moins provient de l’exposant \(-3\), pas d’une supposition sur le signe de \(x\).

Exemple 3.5 — La base peut elle-même être un quotient

Pour \(H(x)=\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3\), le domaine exclut \(2\). On dérive d’abord la base : \[\begin{aligned} u'(x)&=\frac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}\\ &=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}=-\frac3{(x-2)^2}. \end{aligned}\] Puis \[\begin{aligned} H'(x)&=3\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2\left(-\frac3{(x-2)^2}\right)\\ &=-\frac{9(x+1)^2}{(x-2)^4},\qquad x\neq2. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3\right)'=-\frac{9(x+1)^2}{(x-2)^4}}\] On n’a pas dérivé séparément un « cube du numérateur » et un « cube du dénominateur » : la dernière opération choisie est la puissance, puis le quotient intervient seulement pour calculer \(u'\).

Proposition 3.6 — Une autre preuve pour un entier positif

La formule de \(u^n\), \(n\geq2\), peut aussi se démontrer sans supposer le théorème général de composition : on utilise la factorisation d’une différence de puissances.

Démonstration.

Pour tous réels \(A,B\), \[A^n-B^n=(A-B)\sum_{j=0}^{n-1}A^{n-1-j}B^j.\] Cette identité, issue de la somme géométrique par télescopage, reste vraie si \(A=B\). On prend \(A=u(a+h)\), \(B=u(a)\) et on divise seulement par \(h\neq0\) : \[\frac{u(a+h)^n-u(a)^n}{h} =\frac{u(a+h)-u(a)}h \sum_{j=0}^{n-1}u(a+h)^{n-1-j}u(a)^j.\] La dérivabilité de \(u\) donne \(u(a+h)\to u(a)\) et un premier facteur tendant vers \(u'(a)\). Dans la somme finie, chaque terme tend vers \(u(a)^{n-1}\) ; une puissance d’exposant zéro dans cette identité désigne le polynôme constant \(1\). Les \(n\) termes donnent \(nu(a)^{n-1}\). La limite du taux est donc \(nu(a)^{n-1}u'(a)\), y compris si \(u(a)=0\). \(\square\)

À toi 3.7 — Ne pas confondre base, exposant et dérivée

Repérage. Dans \((2x^2-1)^4\), la base est \(2x^2-1\), l’exposant \(4\), et la dérivée de la base \(4x\).

Essai guidé. Dériver \(A(x)=(1-2x^2)^3\). Commencer par \(u'=\cdots\).

Correction expliquée.

\(u(x)=1-2x^2\) donne \(u'(x)=-4x\). Donc \[A'(x)=3(1-2x^2)^2(-4x)=-12x(1-2x^2)^2\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((1-2x^2)^3\right)'=-12x(1-2x^2)^2}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=(x^3-1)^{-2}\) et préciser son domaine.

Correction expliquée.

Le dénominateur interdit \(x^3-1=0\), soit \(x=1\). Pour \(x\neq1\), \(u'=3x^2\) et l’exposant devient \(-3\) : \[B'(x)=-2(x^3-1)^{-3}(3x^2)=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^3}.\] \[\boxed{\left((x^3-1)^{-2}\right)'=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi \(u\neq0\) est-il exigé pour \(n<0\) mais pas pour \(n\geq2\) ? Réponse : une puissance négative est l’inverse d’une puissance positive ; cette division interdit zéro. Une puissance positive ne contient pas cette division.

Erreur et reprise. L’écriture erronée \((u^3)'=3(u')^2\) dérive aussi la base à l’intérieur de la puissance. Pour \(u(x)=x^2\), elle donnerait \(12x^2\), alors que \((x^6)'=6x^5\). Le bon calcul est \(3(x^2)^2(2x)=6x^5\). Nouvel essai : \([(x^2)^2]'=2x^2(2x)=4x^3\). Reprendre ensuite \(A\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=(2+x^2)^4\). Correction : \(C'=4(2+x^2)^3(2x)=8x(2+x^2)^3\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((2+x^2)^4\right)'=8x(2+x^2)^3}\]

Repères de réussite. Je garde la base entière dans la puissance, j’ajoute sa dérivée comme facteur et je distingue les domaines des exposants positifs et négatifs.

Corollaire 4.1 — Inverse et multiple d’un inverse

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(u(x)\neq0\) sur \(I\), alors \[\boxed{\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}},\qquad \boxed{\left(\frac c u\right)'=-\frac{c\,u'}{u^2}}\] pour toute constante réelle \(c\). Même si \(c=0\), l’expression initiale \(c/u\) n’est pas définie aux zéros de \(u\).

Démonstration.

Avec \(v(t)=1/t\), la règle générale donne \[\left(\frac1{u(x)}\right)'=u'(x)\left(-\frac1{(u(x))^2}\right) =-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}.\] La non-nullité de \(u(x)\) vérifie le domaine de la fonction extérieure. Multiplier par la constante \(c\) donne la seconde formule par linéarité. C’est la même formule que celle obtenue antérieurement par un taux de variation : la composition l’explique comme cas particulier. \(\square\)

Notation 4.2 — La lettre du dénominateur peut changer

Si le dénominateur est nommé \(V\) ou \(v\) plutôt que \(u\), la règle devient \[\left(\frac1V\right)'=-\frac{V'}{V^2} \qquad\text{ou}\qquad \left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}.\] Dans ces écritures, \(V\) ou \(v\) est l’expression intérieure. Pour éviter de lui donner simultanément deux rôles, on peut appeler \(r(t)=1/t\) la fonction extérieure : \(1/V=r\circ V\).

Exemple 4.3 — Un inverse sans valeur interdite réelle

Soit \(F(x)=1/(x^2+4)\). On pose \(u(x)=x^2+4\). Comme \(u(x)\geq4\), l’expression est définie et dérivable sur \(\mathbb R\). De \(u'=2x\), on tire \[F'(x)=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}.\] \[\boxed{\left(\frac1{x^2+4}\right)'=-\frac{2x}{(x^2+4)^2}}\] On met au carré tout \(x^2+4\), pas seulement \(x\) ou seulement \(4\). En \(0\), le taux \([F(h)-F(0)]/h=-h/[4(h^2+4)]\to0\), en accord avec \(F'(0)=0\).

Exemple 4.4 — Un coefficient et deux valeurs interdites

Pour \(G(x)=3/(x^2-1)\), la factorisation \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) interdit \(x=1\) et \(x=-1\). La formule s’applique sur chacun des trois intervalles du domaine. Avec \(u'=2x\), \[G'(x)=-\frac{3\times2x}{(x^2-1)^2} =-\frac{6x}{(x^2-1)^2},\qquad x\neq-1,1.\] \[\boxed{\left(\frac3{x^2-1}\right)'=-\frac{6x}{(x^2-1)^2}}\] L’écriture « sur \(\mathbb R\) » serait fausse, même si le calcul formel du numérateur était correct.

Corollaire 4.5 — Inverse d’une puissance

Pour \(n\geq1\) entier, si \(u\) est dérivable et ne s’annule pas, \[\boxed{\left(\frac1{u^n}\right)'=-\frac{n\,u'}{u^{n+1}}.}\]

Démonstration.

Écrire \(1/u^n=u^{-n}\). La règle des puissances composées, avec exposant \(-n\), donne \[(u^{-n})'=(-n)u^{-n-1}u'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}.\] On peut aussi poser \(w=u^n\) et utiliser \((1/w)'=-w'/w^2\). Alors \[-\frac{nu^{n-1}u'}{u^{2n}}=-nu'\,u^{(n-1)-2n} =-nu'\,u^{-n-1}.\] La simplification est autorisée parce que \(u\neq0\). Ces deux voies conduisent exactement à la même expression. \(\square\)

Exemple 4.6 — Une puissance de dénominateur

Pour \(H(x)=1/(x^2+2)^4\), \(u=x^2+2>0\) sur \(\mathbb R\) et \(u'=2x\). Ainsi \[H'(x)=-\frac{4\times2x}{(x^2+2)^5} =-\frac{8x}{(x^2+2)^5}.\] \[\boxed{\left(\frac1{(x^2+2)^4}\right)'=-\frac{8x}{(x^2+2)^5}}\] L’exposant du dénominateur augmente de \(1\) après simplification. Cela ne contredit pas la règle « diminuer l’exposant de \(1\) » : elle a été appliquée à \(-4\), qui devient \(-5\).

Exemple 4.7 — Une simplification utile ne supprime pas les restrictions

Pour \(K(x)=1/(1/x)\), on doit d’abord pouvoir calculer \(1/x\), donc \(x\neq0\). Pour ces \(x\), \(K(x)=x\), d’où \(K'(x)=1\). La formule composée le confirme avec \(u=1/x\) et \(u'=-1/x^2\) : \[K'(x)=-\frac{-1/x^2}{(1/x)^2} =\frac{1/x^2}{1/x^2}=1,\qquad x\neq0.\] La fonction \(x\mapsto x\) sur \(\mathbb R\) prolonge cette expression, mais n’est pas exactement la même fonction que \(K\), dont le domaine initial exclut \(0\).

Piège 4.8 — Inverse multiplicatif et fonction réciproque

Ici, \(1/u\) signifie \(x\mapsto1/u(x)\). Une fonction réciproque, lorsqu’elle existe, « défait » une fonction : c’est un autre objet. Pour \(u(x)=2x+3\), l’inverse multiplicatif est \(1/(2x+3)\) ; la fonction qui défait \(u\) est \(y\mapsto(y-3)/2\). On ne les confond pas sous une notation ambiguë \(u^{-1}\) : préférer \(1/u\) dans ce chapitre.

À toi 4.9 — Faire apparaître tous les facteurs

Repérage et essai guidé. Pour \(A(x)=2/(x^2+3)\), nommer le dénominateur \(u\), puis calculer \(u'\) et \(A'\).

Correction expliquée.

\(u=x^2+3\geq3>0\) et \(u'=2x\). Le coefficient \(2\) reste : \(A'=-2(2x)/(x^2+3)^2=-4x/(x^2+3)^2\), sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac2{x^2+3}\right)'=-\frac{4x}{(x^2+3)^2}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=1/(2-x^2)^2\) et déterminer les valeurs interdites.

Correction expliquée.

\(2-x^2=0\) pour \(x=\pm\sqrt2\). Ailleurs, \(u=2-x^2\), \(u'=-2x\) et \(n=2\) : \[B'(x)=-\frac{2(-2x)}{(2-x^2)^3}=\frac{4x}{(2-x^2)^3}.\] \[\boxed{\left(\frac1{(2-x^2)^2}\right)'=\frac{4x}{(2-x^2)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. D’où vient le signe positif au numérateur ? Réponse : le signe moins de l’inverse multiplie le signe moins de \(u'=-2x\). Il ne suffit pas de dire que « le carré est positif ».

Reprise. La fausse règle \((1/u)'=1/u'\) échoue déjà pour \(u(x)=x\) : elle donnerait \(1\), au lieu de \(-1/x^2\). Nouvel essai : \((1/(2x))'=-2/(2x)^2=-1/(2x^2)\) pour \(x\neq0\), également obtenu depuis \(1/(2x)=\frac12(1/x)\). Revenir ensuite à \(B\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=1/(1+x^2)^3\). Correction : \(u'=2x\), donc \(C'=-3(2x)/(1+x^2)^4=-6x/(1+x^2)^4\), sur \(\mathbb R\).

Repères de réussite. Je distingue l’inverse de la dérivée, je conserve le domaine et je sais expliquer le nouvel exposant du dénominateur.

Corollaire 5.1 — Dérivée de \(\sqrt u\) quand l’intérieur est positif

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et si \(u(x)>0\) pour tout \(x\in I\), alors \(F(x)=\sqrt{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et \[\boxed{F'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.}\] Le domaine de définition de \(F\) est \(\{x\in D_u\mid u(x)\geq0\}\). La condition stricte \(u>0\) est suffisante pour appliquer la formule ; elle n’est pas une description universelle de tous les points où \(F\) peut être dérivable.

Démonstration.

Prendre \(v(t)=\sqrt t\) sur \(]0;+\infty[\) donne \(v'(t)=1/(2\sqrt t)\). Comme \(u(x)>0\) et \(u\) est dérivable, \[F'(x)=u'(x)\,v'(u(x))=u'(x)\frac1{2\sqrt{u(x)}}.\] La non-nullité du dénominateur est incluse dans l’hypothèse \(u(x)>0\). \(\square\)

Méthode 5.2 — Deux ensembles à distinguer

Résoudre d’abord \(u(x)\geq0\) pour définir la fonction. Chercher ensuite où \(u\) est dérivable et où \(u(x)>0\) pour appliquer la formule. Enfin, examiner séparément les zéros de \(u\) qui appartiennent au domaine, sans conclure trop vite à la non-dérivabilité.

Premier geste : écrire le radicand entier \(u(x)\) ; ne pas commencer par enlever la racine.

Exemple 5.3 — Une racine dérivable sur tous les réels

Pour \(F(x)=\sqrt{x^2+4}\), \(u=x^2+4\geq4>0\) sur \(\mathbb R\) et \(u'=2x\). Ainsi \[F'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{x^2+4}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}\] En \(0\), on trouve \(F'(0)=0\). Contrôle par le taux : \[\frac{\sqrt{h^2+4}-2}h =\frac{h^2}{h(\sqrt{h^2+4}+2)} =\frac h{\sqrt{h^2+4}+2}\longrightarrow0.\] La multiplication par la quantité conjuguée a permis de simplifier un facteur \(h\neq0\).

Exemple 5.4 — Une racine définie sur un segment

Soit \(G(x)=\sqrt{9-x^2}\). La condition \(9-x^2\geq0\) équivaut à \(x^2\leq9\), donc à \(-3\leq x\leq3\). Pour \(-3<x<3\), \(u=9-x^2>0\) et \(u'=-2x\) : \[G'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{9-x^2}\right)'=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}}\] Au bord \(3\), on pose \(x=3-s\), \(s>0\) petit. Le taux à gauche est \[\frac{G(3-s)-G(3)}{-s} =-\frac{\sqrt{6s-s^2}}s =-\frac{\sqrt{6-s}}{\sqrt s}\longrightarrow-\infty.\] Au bord \(-3\), le taux à droite vaut \(\sqrt{6-h}/\sqrt h\to+\infty\). Il n’y a donc de dérivée latérale finie à aucun des deux bords. Cette conclusion vient du calcul des taux, pas seulement du dénominateur de \(G'\).

Exemple 5.5 — Premier cas : un angle empêche la dérivabilité

Pour \(H(x)=\sqrt{(x-1)^2}\), l’identité exacte est \[H(x)=|x-1|= \begin{cases}1-x&x\leq1,\\x-1&x\geq1.\end{cases}\] À gauche de \(1\), la dérivée vaut \(-1\) ; à droite, elle vaut \(1\). En \(1\), le taux \([H(1+h)-H(1)]/h=|h|/h\) a deux limites différentes. \(H\) n’est pas dérivable en \(1\). Pour \(x\neq1\), la formule de la racine donne aussi \[H'(x)=\frac{2(x-1)}{2\sqrt{(x-1)^2}}=\frac{x-1}{|x-1|}.\] Remplacer \(\sqrt{(x-1)^2}\) par \(x-1\) sur tous les réels aurait perdu la branche de gauche.

Exemple 5.6 — Deuxième cas : la composée est pourtant dérivable

Pour \(K(x)=\sqrt{x^4}\), on a \(x^4=(x^2)^2\), donc \[K(x)=|x^2|=x^2\] pour tout réel \(x\), car \(x^2\geq0\). Ainsi \(K'(x)=2x\) sur \(\mathbb R\), y compris en \(0\). La formule directe \(4x^3/(2\sqrt{x^4})\) n’est écrite que pour \(x\neq0\). Elle se simplifie alors en \(2x\), mais c’est l’égalité \(K=x^2\), ou le taux \(h^2/h=h\to0\), qui justifie \(K'(0)=0\).

Exemple 5.7 — Troisième cas : une valeur absolue peut être dérivable après une puissance

Pour \(L(x)=\sqrt{x^6}=|x^3|=|x|^3\), on trouve \[L(x)=\begin{cases}-x^3&x<0,\\x^3&x\geq0.\end{cases}\] Pour \(x\neq0\), \(L'(x)=3x|x|\). En \(0\), le taux vaut \(|h|^3/h=h|h|\to0\). Donc \(L\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(L'(x)=3x|x|\) pour tout \(x\). Le mot « valeur absolue » n’entraîne donc pas automatiquement un échec de dérivabilité en son zéro ; l’expression complète compte.

Caractérisation — approfondissement 5.8 — Reconnaître la dérivabilité en un zéro intérieur

Supposons \(u\) définie et non négative sur un intervalle ouvert contenant \(a\), avec \(u(a)=0\). Alors \(F=\sqrt u\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \[\boxed{\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)}{h^2}=0.}\] Lorsque c’est le cas, \(F'(a)=0\). Ce critère porte sur un point intérieur, où les approches des deux côtés sont possibles.

Démonstration.

Si \(F\) est dérivable.

Le taux \(T(h)=\sqrt{u(a+h)}/h\) est positif ou nul pour \(h>0\) et négatif ou nul pour \(h<0\). Si sa limite commune est un réel \(\ell\), alors \(\ell\geq0\) par la droite et \(\ell\leq0\) par la gauche, donc \(\ell=0\). Or \[T(h)^2=\frac{u(a+h)}{h^2},\] qui tend donc vers \(0\).

Réciproquement.

Si \(u(a+h)/h^2\to0\), cette quantité est non négative, et \[|T(h)|=\sqrt{\frac{u(a+h)}{h^2}}\longrightarrow0.\] Le dernier passage se justifie directement : rendre le nombre sous la racine inférieur à \(\eta^2\) rend sa racine inférieure à \(\eta\), pour tout \(\eta>0\). Ainsi \(T(h)\to0\), donc \(F\) est dérivable en \(a\) et \(F'(a)=0\). \(\square\)

À toi 5.9 — Appliquer la formule et savoir quand s’arrêter

Repérage. Quelle différence entre \(u\geq0\) et \(u>0\) ? Réponse : la première permet de définir \(\sqrt u\) ; la seconde évite le zéro au dénominateur dans sa formule de dérivée.

Essai guidé. Dériver \(A(x)=\sqrt{2x^2+3}\).

Correction expliquée.

\(u=2x^2+3\geq3>0\), \(u'=4x\), donc \(A'=4x/(2\sqrt{2x^2+3})=2x/\sqrt{2x^2+3}\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\sqrt{2x^2+3}\right)'=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+3}}}\] À tenter avant de lire. Étudier la dérivabilité en \(0\) de \(B(x)=\sqrt{x^2}\) et \(C(x)=\sqrt{x^8}\).

Correction expliquée.

\(B=|x|\), donc \([B(h)-B(0)]/h=|h|/h\) : limites \(1\) et \(-1\), pas de dérivabilité. \(C=|x^4|=x^4\), donc \(C'(0)=0\). Son taux est \(h^4/h=h^3\to0\).

À expliquer avec tes mots. Pourquoi le théorème général ne conclut-il pas directement pour \(C\) en \(0\) ? L’extérieur \(t\mapsto\sqrt t\) n’est pas dérivable en l’image intermédiaire \(0\). Cela interdit cette application du théorème, pas une autre démonstration de la dérivabilité de \(C\).

Reprise après erreur. Pour l’erreur \(\sqrt{x^2}=x\), tester \(x=-2\) donne \(2\neq-2\). Le bon rappel est \(\sqrt{x^2}=|x|\). Nouvel essai : \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|\). Revenir ensuite à \(B\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Étudier \(D(x)=\sqrt{(x-2)^4}\) en \(2\). Correction : \(D=(x-2)^2\) sur \(\mathbb R\), donc \(D'(2)=0\) ; le taux en \(2\) vaut \(h^2/h=h\to0\).

Repères de réussite. Je distingue domaine et domaine de formule ; aux zéros, je simplifie correctement ou j’étudie le taux. Je ne déduis jamais une non-dérivabilité de la seule inapplicabilité d’une formule.

Corollaire 6.1 — Dérivée de \(1/\sqrt u\)

Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur un intervalle ouvert \(I\), alors \(F(x)=1/\sqrt{u(x)}\) est définie et dérivable sur \(I\), et \[\boxed{F'(x)=-\frac{u'(x)}{2u(x)\sqrt{u(x)}}.}\] Le domaine de définition exige déjà \(u>0\) : \(u\geq0\) ne suffit pas, car la racine est au dénominateur.

Démonstration.

On pose \(w=\sqrt u\). L’hypothèse \(u>0\) donne \(w>0\) et \(w'=u'/(2\sqrt u)\). On dérive l’inverse : \[\begin{aligned} F'&=-\frac{w'}{w^2}\\ &=-\frac{\dfrac{u'}{2\sqrt u}}{(\sqrt u)^2}\\ &=-\frac{u'}{2\sqrt u}\times\frac1u\\ &=-\frac{u'}{2u\sqrt u}. \end{aligned}\] La grande fraction est une division par \(u\), qui est non nul. Toutes les simplifications ont été faites sur le domaine initial. \(\square\)

Exemple 6.2 — Un intérieur quadratique

Pour \(F(x)=1/\sqrt{x^2+1}\), l’intérieur \(u=x^2+1\geq1\) est toujours strictement positif et \(u'=2x\). Ainsi \[F'(x)=-\frac{2x}{2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} =-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}},\qquad x\in\mathbb R.\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{x^2+1}}\right)'=-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\] Le facteur \(2\) se simplifie ; ni le facteur \(x^2+1\), ni la racine ne disparaissent.

Exemple 6.3 — Un domaine ouvert dès le départ

Soit \(G(x)=1/\sqrt{5-2x}\). Il faut \(5-2x>0\), donc \(x<5/2\). Avec \(u'=-2\), \[G'(x)=-\frac{-2}{2(5-2x)\sqrt{5-2x}} =\frac1{(5-2x)\sqrt{5-2x}}.\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{5-2x}}\right)'=\frac1{(5-2x)\sqrt{5-2x}}}\] Le point \(5/2\) n’appartient pas au domaine de \(G\) ; il n’y a pas à lui attribuer un nombre dérivé de cette fonction.

Définition et convention 6.4 — Lire une puissance demi-entière

Pour \(t>0\) et \(m\in\mathbb Z\), on pose \[t^{m+1/2}=t^m\sqrt t.\] En particulier \(t^{1/2}=\sqrt t\), \(t^{3/2}=t\sqrt t\), et \(t^{-1/2}=1/\sqrt t\). On se limite ici à ces puissances : aucun logarithme n’est nécessaire.

Proposition 6.5 — Dériver une puissance demi-entière

Pour \(p=m+1/2\), \(m\in\mathbb Z\), et pour \(u>0\) dérivable, \[\boxed{(u^p)'=p\,u^{p-1}u'.}\] Ce résultat est établi ici pour les exposants demi-entiers définis ci-dessus, pas pour un exposant réel quelconque ou variable.

Démonstration.

Pour \(t>0\), on dérive \(t^m\sqrt t\) avec la règle du produit. Pour tout entier \(m\), \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(t^m)=mt^{m-1}\) sur \(t>0\), y compris \(m=0\) où les expressions sont définies. \[\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(t^m\sqrt t) &=mt^{m-1}\sqrt t+t^m\frac1{2\sqrt t}\\ &=\frac{2mt^m}{2\sqrt t}+\frac{t^m}{2\sqrt t}\\ &=\frac{(2m+1)t^m}{2\sqrt t} =\left(m+\frac12\right)t^{m-1/2}. \end{aligned}\] Dans la deuxième ligne, on a multiplié le premier terme par \(2\sqrt t/(2\sqrt t)\) et utilisé \((\sqrt t)^2=t\). La règle de composition, en remplaçant \(t\) par \(u(x)\) puis en multipliant par \(u'(x)\), donne la formule annoncée. \(\square\)

Exemple 6.6 — Comparer deux écritures de la même dérivée

Soit \(H(x)=(x^2+1)^{3/2}=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}\). L’intérieur est strictement positif sur \(\mathbb R\). La formule donne \[H'(x)=\frac32(x^2+1)^{1/2}(2x)=3x\sqrt{x^2+1}.\] \[\boxed{\left((x^2+1)\sqrt{x^2+1}\right)'=3x\sqrt{x^2+1}}\] On peut contrôler en dérivant le produit : \[\begin{aligned} H'(x)&=2x\sqrt{x^2+1}+(x^2+1)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=2x\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{x^2+1} =3x\sqrt{x^2+1}. \end{aligned}\] Le quotient \((x^2+1)/\sqrt{x^2+1}\) vaut \(\sqrt{x^2+1}\) parce que \(x^2+1\) est le carré de cette racine positive.

À toi 6.7 — Choisir une écriture utile

Repérage. \(u^{-1/2}\) signifie \(1/\sqrt u\), tandis que \(-\sqrt u\) signifie l’opposé de la racine. Pour \(u=4\), les valeurs sont \(1/2\) et \(-2\) : ce ne sont pas les mêmes fonctions.

Essai guidé. Dériver \(A(x)=1/\sqrt{2x^2+1}\) en indiquant \(u\) et \(u'\).

Correction expliquée.

\(u=2x^2+1>0\), \(u'=4x\). Donc \[A'=-\frac{4x}{2(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}} =-\frac{2x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{2x^2+1}}\right)'=-\frac{2x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(B(x)=(3x+2)\sqrt{3x+2}\) pour \(x>-2/3\).

Correction expliquée.

On reconnaît \((3x+2)^{3/2}\) ; l’intérieur a pour dérivée \(3\). Ainsi \(B'=\frac32\sqrt{3x+2}\times3=\frac92\sqrt{3x+2}\) sur cet intervalle. L’énoncé n’a pas demandé d’étudier le bord. \[\boxed{\left((3x+2)\sqrt{3x+2}\right)'=\frac92\sqrt{3x+2}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi la condition \(u>0\) suffit-elle à rendre licites toutes les divisions de la preuve ? Elle rend simultanément \(u\) et \(\sqrt u\) non nuls.

Reprise. Si le facteur \(u\) manque dans \(-u'/(2u\sqrt u)\), repartir de la grande fraction \(-[u'/(2\sqrt u)]/u\) : diviser par \(u\) ajoute bien ce facteur au dénominateur. Nouvel essai : la dérivée de \(1/\sqrt x\) pour \(x>0\) vaut \(-1/(2x\sqrt x)\), pas \(-1/(2\sqrt x)\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(C(x)=(x^2+4)\sqrt{x^2+4}\). Correction : \(C'=\frac32\sqrt{x^2+4}(2x)=3x\sqrt{x^2+4}\) sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left((x^2+4)\sqrt{x^2+4}\right)'=3x\sqrt{x^2+4}}\]

Repères de réussite. Je sais convertir la puissance demi-entière en produit ou quotient de racines, et je distingue une identité d’écriture d’une règle de dérivation.

Corollaire 7.1 — Trois fonctions successives

Si \(u\) est dérivable en \(x\), \(v\) en \(u(x)\) et \(w\) en \(v(u(x))\), avec les domaines permettant la composition au voisinage de \(x\), alors \[\boxed{(w\circ v\circ u)'(x) =u'(x)\,v'(u(x))\,w'(v(u(x))).}\] On dérive chaque transformation une fois, en conservant son entrée réelle. Les parenthèses \(w(v(u(x)))\) fixent l’ordre.

Démonstration.

Posons \(r=v\circ u\). La règle générale donne \(r'(x)=u'(x)v'(u(x))\). Puis \(w\circ v\circ u=w\circ r\), donc \[(w\circ r)'(x)=r'(x)w'(r(x)) =u'(x)v'(u(x))w'(v(u(x))).\] Les hypothèses du premier calcul garantissent la dérivabilité de \(r\) ; celles portant sur \(w\) permettent le second calcul. \(\square\)

Méthode 7.2 — Deux parcours : calculer et dériver

Pour comprendre l’expression : partir de \(x\) et nommer chaque résultat intermédiaire, de l’intérieur vers l’extérieur.

Pour écrire la dérivée : repérer la dernière opération, dériver cette couche en conservant son entrée, puis multiplier par la dérivée de l’entrée. Continuer jusqu’à atteindre une fonction déjà connue. Ne pas compter deux fois la dérivée d’une même couche.

Les deux parcours sont compatibles : l’un décrit la construction de la fonction, l’autre déroule les facteurs de sa dérivée.

Exemple 7.3 — Une puissance d’une expression déjà composée

Pour \(F(x)=\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^4\), on nomme \[u(x)=x^2+1,\qquad v(t)=t^3+2,\qquad w(s)=s^4.\] Ces trois fonctions sont dérivables sur \(\mathbb R\) ; aucune restriction supplémentaire n’est nécessaire. \[\begin{aligned} u'(x)&=2x,\\ v'(u(x))&=3(x^2+1)^2,\\ w'(v(u(x)))&=4\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^3. \end{aligned}\] On multiplie : \[F'(x)=24x(x^2+1)^2\bigl((x^2+1)^3+2\bigr)^3.\] \[\boxed{\left(((x^2+1)^3+2)^4\right)'=24x(x^2+1)^2((x^2+1)^3+2)^3}\] Le \(+2\) de \(v\) disparaît dans \(v'\), mais reste dans l’argument de \(w'\). C’est un bon test pour vérifier que les couches n’ont pas été confondues.

Exemple 7.4 — Un inverse de racine à argument composé

Soit \(G(x)=1/\sqrt{1+(2x-1)^2}\). Son radicand est au moins \(1\), donc le domaine est \(\mathbb R\). Posons \(q(x)=1+(2x-1)^2\). D’abord, \[q'(x)=0+2(2x-1)\times2=4(2x-1).\] Puis, en utilisant \((1/\sqrt q)'=-q'/(2q\sqrt q)\), \[\begin{aligned} G'(x)&=-\frac{4(2x-1)}{2(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}\\ &=-\frac{2(2x-1)}{(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac1{\sqrt{1+(2x-1)^2}}\right)'=-\frac{2(2x-1)}{(1+(2x-1)^2)\sqrt{1+(2x-1)^2}}}\] Contrôle au point \(1/2\) par la définition. On a \(G(1/2)=1\) et \(G(1/2+h)=1/\sqrt{1+4h^2}\). Pour \(h\neq0\), \[\begin{aligned} \frac{G(1/2+h)-G(1/2)}h &=\frac{1-\sqrt{1+4h^2}}{h\sqrt{1+4h^2}}\\ &=\frac{1-(1+4h^2)}{h\sqrt{1+4h^2}(1+\sqrt{1+4h^2})}\\ &=\frac{-4h}{\sqrt{1+4h^2}(1+\sqrt{1+4h^2})}\longrightarrow0. \end{aligned}\] On a multiplié en haut et en bas par le conjugué \(1+\sqrt{1+4h^2}>0\), puis simplifié le facteur \(h\neq0\). Le dénominateur tend vers \(2\), non nul. La formule de \(G'\) donne elle aussi \(0\) en \(1/2\). Ce contrôle concerne ce point ; la règle de composition justifie les autres.

Exemple 7.5 — Une racine dans une autre racine

Pour \(H(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}\), chaque racine reçoit un nombre strictement positif ; \(H\) est définie sur \(\mathbb R\). Posons \(A(x)=1+x^2\), \(B(x)=1+\sqrt{A(x)}\). On calcule \[A'(x)=2x,\qquad B'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.\] Enfin, \[H'(x)=\frac{B'(x)}{2\sqrt{B(x)}} =\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}.\] \[\boxed{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}\right)'=\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}}\] Chaque racine a produit son propre facteur \(2\sqrt{\text{son entrée}}\) ; le facteur \(2x\) du début a simplifié un seul de ces deux \(2\).

Exemple 7.6 — Une racine d’une fraction

Soit \(K(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\). On commence par le domaine : le dénominateur exclut \(-2\), et le quotient est non négatif lorsque \(x<-2\) ou \(x\geq-1\). Ainsi \[D_K=]-\infty;-2[\ \cup\ [-1;+\infty[.\] Le quotient est strictement positif sur \(]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[\). Sur ces intervalles, \[\begin{aligned} u'(x)&=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+2)^2}=\frac1{(x+2)^2},\\ K'(x)&=\frac1{2(x+2)^2\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right)'=\frac1{2(x+2)^2\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}}\] Au point \(-1\), pour \(h>0\), \(K(-1+h)=\sqrt{h/(1+h)}\), donc le taux vaut \(1/[\sqrt h\sqrt{1+h}]\to+\infty\) : pas de dérivée finie à droite. Le point \(-2\), lui, n’appartient pas au domaine.

À toi 7.7 — Nommer les étapes pour ne rien oublier

Repérage. Dans \(\sqrt{1+(x^2+1)^2}\), écrire le trajet de calcul. Réponse : \(x\mapsto x^2+1\mapsto1+(x^2+1)^2\mapsto\sqrt{1+(x^2+1)^2}\).

Essai guidé. Dériver cette fonction en calculant d’abord la dérivée du radicand.

Correction expliquée.

\(Q=1+(x^2+1)^2\geq1\), et \(Q'=2(x^2+1)\times2x=4x(x^2+1)\). Donc \[\bigl(\sqrt Q\bigr)'=\frac{4x(x^2+1)}{2\sqrt{1+(x^2+1)^2}} =\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}}\] sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\sqrt{1+(x^2+1)^2}\right)'=\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}}}\] À tenter avant de lire. Dériver \(A(x)=1/(1+(x^2+1)^2)\).

Correction expliquée.

Le même \(Q>0\) et le même \(Q'\) conviennent ; seule la dernière opération a changé : \[A'(x)=-\frac{Q'}{Q^2} =-\frac{4x(x^2+1)}{(1+(x^2+1)^2)^2}.\] \[\boxed{\left(\frac1{1+(x^2+1)^2}\right)'=-\frac{4x(x^2+1)}{(1+(x^2+1)^2)^2}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi les deux réponses ont-elles le même facteur \(4x(x^2+1)\) avant simplification ? L’expression intérieure \(Q\) est identique ; sa dérivée doit donc être identique. Seule la fonction extérieure est différente.

Reprise. Un facteur intérieur oublié se repère en listant les couches. Pour \(((2x)^2+1)^3\), on doit retrouver successivement \(3((2x)^2+1)^2\), \(2(2x)\) et \(2\). Le produit vaut \(24x(4x^2+1)^2\). Nouvel essai : \(((3x)^2+1)^2\) a pour dérivée \(2(9x^2+1)\times18x=36x(9x^2+1)\). Revenir au radicand \(Q\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(B(x)=((x^2+2)^2+1)^3\). Correction : \(B'=3((x^2+2)^2+1)^2\times2(x^2+2)\times2x=12x(x^2+2)((x^2+2)^2+1)^2\). \[\boxed{\left(((x^2+2)^2+1)^3\right)'=12x(x^2+2)((x^2+2)^2+1)^2}\]

Repères de réussite. Je peux expliquer l’origine de chaque facteur et associer chaque dérivée à son entrée, même avec trois couches ou davantage.

Méthode 8.1 — La dernière opération choisit la première règle

Premier geste : décrire comment obtenir la valeur de toute l’expression. La dernière opération est-elle une somme, un produit, un quotient, une puissance ou une racine ?

Dériver une somme terme par terme ; préparer les deux facteurs d’un produit ; préparer numérateur et dénominateur d’un quotient. À l’intérieur de ces blocs, appliquer la règle de composition autant de fois que nécessaire. Toujours conserver les domaines.

Exemple 8.2 — Un produit comportant deux fonctions composées

Soit \(F(x)=(x^2+1)^3\sqrt{2x+3}\). Son domaine est \([-3/2;+\infty[\). Pour \(x>-3/2\), on pose \[A=(x^2+1)^3,\quad A'=6x(x^2+1)^2, \qquad B=\sqrt{2x+3},\quad B'=\frac1{\sqrt{2x+3}}.\] La dernière opération est le produit, donc \[F'=6x(x^2+1)^2\sqrt{2x+3} +\frac{(x^2+1)^3}{\sqrt{2x+3}}.\] Cette somme est déjà correcte. Pour la factoriser, on met le premier terme au dénominateur \(\sqrt{2x+3}\), non nul, puis on extrait \((x^2+1)^2\) : \[\begin{aligned} F'&=\frac{6x(x^2+1)^2(2x+3)+(x^2+1)^3}{\sqrt{2x+3}}\\ &=\frac{(x^2+1)^2\bigl[6x(2x+3)+(x^2+1)\bigr]}{\sqrt{2x+3}}\\ &=\frac{(x^2+1)^2(13x^2+18x+1)}{\sqrt{2x+3}}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3\sqrt{2x+3}\right)'=\frac{(x^2+1)^2(13x^2+18x+1)}{\sqrt{2x+3}}}\] Au bord \(a=-3/2\), \(F(a)=0\) et, pour \(h>0\), \[\frac{F(a+h)-F(a)}h =\bigl((a+h)^2+1\bigr)^3\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty,\] car le premier facteur tend vers \((13/4)^3>0\). La fonction n’y possède pas de dérivée finie à droite.

Exemple 8.3 — Un quotient ou un produit par une puissance négative

Pour \(G(x)=(x^2+1)/(x^2+2)^3\), le dénominateur est toujours positif. Une première méthode consiste à écrire \[G(x)=(x^2+1)(x^2+2)^{-3}.\] La règle du produit, puis la composition, donnent \[\begin{aligned} G'(x)&=2x(x^2+2)^{-3}+(x^2+1)\bigl[-3(x^2+2)^{-4}(2x)\bigr]\\ &=\frac{2x(x^2+2)-6x(x^2+1)}{(x^2+2)^4}\\ &=\frac{2x\bigl[(x^2+2)-3(x^2+1)\bigr]}{(x^2+2)^4}\\ &=\frac{2x(-2x^2-1)}{(x^2+2)^4} =-\frac{2x(2x^2+1)}{(x^2+2)^4}. \end{aligned}\] \[\boxed{\left(\frac{x^2+1}{(x^2+2)^3}\right)'=-\frac{2x(2x^2+1)}{(x^2+2)^4}}\] Seconde méthode : avec \(A=x^2+1\), \(B=(x^2+2)^3\), on a \(A'=2x\) et \(B'=6x(x^2+2)^2\). La formule du quotient donne \[G'=\frac{2x(x^2+2)^3-(x^2+1)6x(x^2+2)^2}{(x^2+2)^6}.\] On factorise le numérateur par \((x^2+2)^2\), puis on simplifie ce facteur non nul ; on retrouve la même formule. Les deux méthodes sont recevables : choisir celle dont l’organisation évite le plus d’erreurs, pas celle qui oblige à développer davantage.

Exemple 8.4 — Une somme de trois familles différentes

Pour \(H(x)=(x^2+1)^3+1/(x^2+1)-\sqrt{x^2+4}\), tous les dénominateurs et radicands utiles sont strictement positifs sur \(\mathbb R\). On dérive séparément les trois termes : \[H'(x)=6x(x^2+1)^2-\frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.\] \[\boxed{\left((x^2+1)^3+\frac1{x^2+1}-\sqrt{x^2+4}\right)'=6x(x^2+1)^2-\frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}\] Il n’est pas utile de tout mettre au même dénominateur pour répondre « calculer \(H'\) ». Les parenthèses séparent les expressions sur lesquelles portent les règles.

Proposition 8.5 — Une puissance d’un quotient

Si \(u,v\) sont dérivables, \(v\neq0\) et \(n\geq2\) entier, alors \[\boxed{\left(\left(\frac uv\right)^n\right)' =n\left(\frac uv\right)^{n-1}\frac{u'v-uv'}{v^2}.}\] Pour \(n<0\) entier, il faut aussi \(u\neq0\). On lit cette formule comme une composition dont l’intérieur est le quotient.

Démonstration.

Poser \(q=u/v\). La condition \(v\neq0\) donne \(q'=(u'v-uv')/v^2\). Appliquer \((q^n)'=nq^{n-1}q'\) donne exactement la formule. Pour un exposant négatif, il faut \(q\neq0\) ; avec \(v\neq0\), cela revient à \(u\neq0\). \(\square\)

À toi 8.6 — Le premier choix change le calcul

Repérage. Comparer \(A(x)=(x^2+1)^2\) et \(B(x)=x^2(x^2+1)\). Pour \(A\), la dernière opération est une puissance. Pour \(B\), c’est un produit. Les parenthèses n’ont pas la même fonction.

Essai guidé. Dériver \(P(x)=(x^2+1)^2(x+1)\) en écrivant les deux termes de la règle du produit.

Correction expliquée.

La première dérivée est \(4x(x^2+1)\) ; la seconde vaut \(1\). Ainsi \[\begin{aligned} P'&=4x(x^2+1)(x+1)+(x^2+1)^2\\ &=(x^2+1)\bigl[4x(x+1)+(x^2+1)\bigr]\\ &=(x^2+1)(5x^2+4x+1). \end{aligned}\] \[\boxed{\left((x^2+1)^2(x+1)\right)'=(x^2+1)(5x^2+4x+1)}\] À tenter avant de lire. Dériver \(Q(x)=x/(1+x^2)^2\) par une méthode de ton choix.

Correction expliquée.

Le domaine est \(\mathbb R\). En écrivant \(Q=x(1+x^2)^{-2}\), \[Q'=(1+x^2)^{-2}-4x^2(1+x^2)^{-3} =\frac{1+x^2-4x^2}{(1+x^2)^3} =\frac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}.\] \[\boxed{\left(\frac{x}{(1+x^2)^2}\right)'=\frac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}}\]

À expliquer avec tes mots. Pourquoi une seule application de la chaîne ne remplace-t-elle pas la règle du produit pour \(P\) ? Les deux facteurs dépendent de \(x\) ; leurs deux contributions doivent apparaître. La chaîne ne calcule ici que la dérivée du premier facteur.

Reprise. Si l’un des deux termes manque, revenir à \(x\times x=x^2\) : le produit donne \(1\times x+x\times1=2x\). Nouvel essai : \([x(x+1)]'=(x+1)+x=2x+1\). Revenir ensuite à \(P\).

À reprendre plus tard, avant de relire. Dériver \(R(x)=x/(x^2+1)\). Correction : \(R'=[(x^2+1)-x(2x)]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2\), sur \(\mathbb R\). \[\boxed{\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}\]

Repères de réussite. Je choisis la règle correspondant à l’expression entière avant de traiter les compositions intérieures ; je reconnais des réponses équivalentes sans imposer un développement inutile.

Synthèse de méthode 9.1 — Je vois, je vérifie, je commence

Je vois une puissance : j’identifie toute sa base et je calcule sa dérivée.

Je vois une racine : je détermine le signe de son radicand pour le domaine, puis je vérifie la condition stricte de la formule.

Je vois un inverse : je repère son dénominateur et ses zéros.

Je vois plusieurs couches : je nomme les valeurs intermédiaires.

Je vois une somme, un produit ou un quotient : je prépare la règle correspondante avant les chaînes intérieures.

Je n’ai que des valeurs : je calcule d’abord l’entrée de la fonction extérieure pour savoir quelle dérivée utiliser.

À toi 9.2 — Reprendre une difficulté précise

Si l’ordre bloque : pour \(u(x)=x+1\) et \(v(t)=t^2\), calculer \(v(u(2))\) et \(u(v(2))\). Correction : \(v(3)=9\), tandis que \(u(4)=5\). Reprendre ensuite la question 8.

Si un facteur manque : dériver \((5x)^2\). Correction : \(2(5x)\times5=50x\), également obtenu depuis \(25x^2\). Reprendre ensuite la question 10.

Si le domaine bloque : comparer \(\sqrt{x+1}\) et \(1/\sqrt{x+1}\). Correction : la première est définie pour \(x\geq-1\) ; la seconde exige \(x>-1\). Reprendre ensuite la question 5.

Justification personnelle. Expliquer le rôle de chaque facteur de \([(x^2+1)^3]'=3(x^2+1)^2\times2x\). Réponse attendue : \(3\) et l’exposant \(2\) viennent de la dérivée du cube ; \(x^2+1\) reste l’entrée ; \(2x\) vient de la dérivée intérieure. Ces trois éléments sont les critères, pas une phrase à réciter.

À reprendre plus tard, avant de relire. Sans relire, dériver \(P(x)=\sqrt{2+(x^2+1)^3}\) et \(Q(x)=1/(x^2+3)^2\).

Correction expliquée.

Pour \(P\), le radicand est au moins \(3\), donc le domaine est \(\mathbb R\). Sa dérivée est \(3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2\). Ainsi \[\boxed{\left(\sqrt{2+(x^2+1)^3}\right)'=\frac{3x(x^2+1)^2}{\sqrt{2+(x^2+1)^3}}}\] Pour \(Q\), \(x^2+3>0\) sur \(\mathbb R\) ; avec l’exposant \(-2\), \[Q'=-2(x^2+3)^{-3}(2x)=-\frac{4x}{(x^2+3)^3}.\]

\[\boxed{\left(\frac1{(x^2+3)^2}\right)'=-\frac{4x}{(x^2+3)^3}}\]

Repères de réussite. Je sais commencer sans recopier un modèle, justifier les domaines, nommer chaque couche, contrôler un point et corriger un facteur oublié. Une lecture comprise ne garantit pas encore que je saurai refaire le calcul plus tard : la reprise sert à le vérifier.