Troisième · Objectif 2 · Faire Les 2kπ · 2026–2027

Calcul littéral — Formulaire

Opposés, développements, factorisations, différence de deux carrés

Conventions. Les lettres majuscules \(A,B,C,D,E,U\) désignent des expressions réelles définies aux valeurs étudiées ; \(a,b,c,d,k\) des nombres réels. Les égalités algébriques ci-dessous sont valables lorsque leurs deux membres sont définis.

1. Opposés et signes

Opposé \(E+(-E)=0\) ; \(-(-E)=E\).

\[+(A+B)=A+B\]

\[-(A+B)=-A-B\]

\[-(A-B)=-A+B\]

\[-(A-B+C)=-A+B-C\]

\[A-B=A+(-B).\]

Cas d’un produit : \(-(AB)=(-A)B=A(-B)\).

2. Réduire les termes semblables

\[aU+bU=(a+b)U\]

\[ax^2+bx^2=(a+b)x^2\]

\[ax+bx=(a+b)x\]

Attention : \(x\) et \(x^2\) ne sont pas des termes semblables. La réduction regroupe des termes de même partie littérale.

3. Distributivité simple

\[k(A+B)=kA+kB\]

\[k(A-B)=kA-kB\]

\[k(A+B-C)=kA+kB-kC\]

\[-k(A-B)=-kA+kB\]

Sens inverse : \(kA+kB=k(A+B)\) ; \(kA-kB=k(A-B)\).

4. Extraire un facteur commun

\[AB+AC=A(B+C)\]

\[AB-AC=A(B-C)\]

\[(A+B)C+(A+B)D=(A+B)(C+D)\]

\[(A+B)C-(A+B)D=(A+B)(C-D).\]

Même principe : le facteur commun peut lui-même contenir une somme ou une différence.

5. Double distributivité : quatre produits

\[(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD\]

\[(A-B)(C+D)=AC+AD-BC-BD\]

\[(A+B)(C-D)=AC-AD+BC-BD\]

\[(A-B)(C-D)=AC-AD-BC+BD\]

Coefficients :

\[(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd.\]

6. Formes carrées obtenues en développant

\[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\]

\[(A-B)^2=A^2-2AB+B^2\]

\[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]

Repère : \((A\pm B)^2=(A\pm B)(A\pm B)\) ; les formules ci-dessus découlent de la double distributivité.

7. Différence de deux carrés

\(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)

Développement inverse : \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\).

\[(A+B)^2-(A-B)^2=4AB\]

\[(A+B)^2+(A-B)^2=2(A^2+B^2)\]

Exemple avec fraction :

\[\frac{x^2}{4}-16=\left(\frac{x}{2}-4\right)\left(\frac{x}{2}+4\right).\]

Différences usuelles :

\[(n+1)^2-n^2=2n+1\]

\[(x+a)^2-(x-a)^2=4ax.\]

Interdit : \(A^2+B^2\) n’est pas une différence de deux carrés réels par cette identité.

8. Calcul mental par différence de carrés

\[p^2-q^2=(p-q)(p+q)\]

\[(p+r)^2-(p-r)^2=4pr\]

Exemple : \(52^2-48^2=(52-48)(52+48)=400\).

9. Équations : factoriser sans perdre de cas

\[AB=0\ \Longleftrightarrow\ (A=0\ \text{ou}\ B=0)\]

\[A^2=B^2\ \Longleftrightarrow\ (A=B\ \text{ou}\ A=-B)\]

\[AB=AC\ \Longleftrightarrow\ A(B-C)=0\]

\[AB=AC\ \Longleftrightarrow\ (A=0\ \text{ou}\ B=C).\]

Division : \(AB=AC\) implique \(B=C\) seulement si \(A\ne0\).

\[ax+b=cx+d\]

\[\Longleftrightarrow\ (a-c)x=d-b.\]

Si \(a\ne c\) : \(x=\frac{d-b}{a-c}\).

Si \(a=c\) : tous les réels si \(b=d\) ; aucune solution si \(b\ne d\).

10. Formes géométriques

Rectangle : côtés \(A+B\) et \(C+D\) (longueurs \(\ge0\)).

\[\mathcal A=(A+B)(C+D)\]

\[=AC+AD+BC+BD.\]

Bande entre carrés : pour \(a>b\ge0\), aire \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

11. Différences dans les modèles

Vitesse et énergie : si \(m\ge0\) et \(E(v)=\tfrac12 mv^2\), pour une variation \(h\) :

\[E(v+h)-E(v)=\frac{m}{2}\big[(v+h)^2-v^2\big]\]

\[=mh\left(v+\frac{h}{2}\right).\]

Jardin avec bordure : pour \(L>2x\), \(\ell>2x\) et \(x\ge0\) :

\[A_{\text{centre}}=(L-2x)(\ell-2x)\]

\[A_{\text{bordure}}=L\ell-(L-2x)(\ell-2x).\]

Réduire : regrouper ; développer : produit \(\to\) somme ; factoriser : somme \(\to\) produit.

Calcul littéral — Formulaire : développer et factoriser