Calcul littéral — Démontrer et réfuter

Vocabulaire. Une conjecture est une affirmation que l’on pense vraie, mais qui reste à prouver. Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres.

Exemple. \(2(x+3)=2x+6\) est une identité ; \(2x+6=14\) est une équation, vraie seulement pour \(x=4\).

Deux choix. Pour prouver une affirmation générale, raisonner avec une lettre quelconque. Pour la réfuter, exhiber un cas qui la contredit.

Piège : Dix essais réussis ne prouvent pas un résultat valable pour tous.

Convention. Dans cette boîte, \(n,p\in\mathbb{Z}\) (entiers relatifs).

Entier suivant : \(n+1\) ; précédent : \(n-1\).

Pair : \(2n\) ; impair : \(2n+1\).

Multiple de \(d\) : \(dn\) (\(d\) entier fixé, non nul).

Deux entiers pairs consécutifs : \(2n\) et \(2n+2\).

Deux entiers impairs quelconques : \(2n+1\) et \(2p+1\).

Écriture décimale. Le nombre à trois chiffres \(\overline{abc}\) vaut \(100a+10b+c\), avec \(a\in\{1,\dots,9\}\) et \(b,c\in\{0,\dots,9\}\).

Piège : \(2n+1\) signifie un impair ; \(n+1\) n’est pas forcément impair.

Méthode. (1) Nommer une lettre quelconque et son ensemble. (2) Traduire l’énoncé. (3) Transformer par des règles connues. (4) Reconnaître la forme voulue et conclure.

Exemple. La différence des carrés de deux entiers consécutifs est impaire. Pour tout \(n\in\mathbb{Z}\) :

\[(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\]

Comme \(n\) est entier, \(2n+1\) est impair. La propriété est donc démontrée.

Contrôle. La conclusion parle de tous les entiers, car \(n\) n’a pas été choisi numériquement.

Propriétés. Pour tous réels \(a,b\) :

\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\]

\[\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\]

\[\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\]

Justification. \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\).

Dessin. Pour \(a,b\geq0\), le carré de côté \(a+b\) se partage en quatre aires ; l’identité est générale par le calcul.

Applications. \((x+4)^2=x^2+8x+16\) ; \((3x-2)^2=9x^2-12x+4\) ; \((2x-5)(2x+5)=4x^2-25\).

Premier geste. Développer puis réduire chaque membre, ou transformer l’un jusqu’à retrouver l’autre.

Exemple. Pour tout réel \(x\), comparer \(E=(x-2)(x+5)+10\) et \(F=x(x+3)\).

\[E=x^2+5x-2x-10+10=x^2+3x\]

\(F=x^2+3x\).

Conclusion : \(E=F\) pour tout \(x\) : c’est une identité.

Contrôle. Essayer \(x=0\) peut déceler une erreur de calcul ; un seul essai ne remplace pas la preuve littérale.

Traduire. Choisir \(x\) ; respecter l’ordre des opérations et écrire les parenthèses utiles.

Exemple. Programme A : enlever 2 au nombre, puis mettre au carré : \((x-2)^2\).

Programme B : partir de son carré, retirer \(4x\), puis ajouter 4 : \(x^2-4x+4\).

Preuve.

\[(x-2)^2=x^2-4x+4\]

Par distributivité, les résultats sont égaux pour tout réel \(x\).

Définition. Un entier \(M\) est multiple de \(d\neq0\) si \(M=dq\) avec \(q\) entier.

Exemple 1. La somme de deux entiers impairs est paire. Pour tous \(n,p\in\mathbb{Z}\) :

\[(2n+1)+(2p+1)=2(n+p+1)\]

Puisque \(n+p+1\) est entier, cette somme est bien un multiple de 2.

Exemple 2. La somme de quatre entiers consécutifs est paire :

\[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6\]

\[=2(2n+3)\]

Contrôle. Il faut identifier le facteur entier, pas seulement remarquer une valeur particulière.

Méthode. Repérer le mot « tous » ; choisir des nombres autorisés qui rendent la conclusion fausse ; calculer les deux côtés.

Exemple. « La somme de deux nombres impairs est toujours un multiple de 4. » Or 1 et 5 sont impairs, mais \(1+5=6\) n’est pas multiple de 4. L’affirmation est fausse.

Autre piège. Avec \(a=1,b=2\) :

\[(a+b)^2=9\]

tandis que

\[a^2+b^2=5\]

Limite. Un contre-exemple réfute une affirmation universelle ; il ne prouve pas une autre propriété à lui seul.

Pour tous les nombres ? Lettre quelconque → preuve.

Vrai ou faux ? Chercher un contre-exemple ; sinon démontrer.

Deux expressions ? Développer et comparer.

Pair ou divisible ? Faire apparaître \(2q\) ou \(dq\) avec \(q\) entier.