À retenir — À la fin, tu dois pouvoir

Identifier les données et leur population de référence ; calculer proportions et évolutions ; organiser deux caractères dans un tableau ; comparer des populations ; lire et construire un graphique ; représenter des couples par un nuage ; calculer un point moyen ; choisir et utiliser un ajustement affine ; travailler au tableur ; défendre une conclusion avec ses limites.

À toi — Quatre gestes de départ

Sans calculatrice, écris \(\frac14\) sous forme décimale, puis en pourcentage. Calcule \(10\%\) de 70. Enfin, dans « 9 personnes sur 30 », quel est le total de référence ?

Correction expliquée.

Une unité partagée en quatre parts donne \(\frac14=0{,}25\). Pour exprimer le quotient sur 100, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 25 :

Définition — Effectif, proportion, pourcentage

Une population est l’ensemble étudié ; son effectif est le nombre de ses éléments. Si une partie de cette population contient \(n\) éléments et si la population en contient \(N>0\), la proportion de cette partie est

Propriété — Une proportion d’une population est entre 0 et 1

Si \(0\leq n\leq N\) et \(N>0\), alors \(0\leq\frac nN\leq1\). Son pourcentage est donc compris entre \(0\%\) et \(100\%\).

Intuition — Ramener le groupe à cent parts

Exprimer une proportion en pourcentage revient à imaginer une population ramenée à 100 parts de même poids. Le nombre de parts retenues permet alors de comparer des groupes de tailles différentes. Il ne s’agit pas de prétendre qu’il y a réellement 100 personnes : \(12{,}5\%\) signifie 12,5 parts sur 100, pas une demi-personne observée. Le calcul exact reste le quotient des effectifs.

Propriété — Les trois questions liées par une seule relation

Avec \(N>0\), \(n\) l’effectif de la partie et \(f=n/N\) :

Méthode — Quelle opération choisir ?

Premier geste. Écris une courte phrase : « la partie est …; le total de référence est …». Repère ensuite la donnée manquante.

• Partie et total connus : divise partie par total, puis multiplie par 100 pour annoncer un pourcentage.

• Total et pourcentage connus : convertis le pourcentage en proportion, puis multiplie par le total.

• Partie et pourcentage non nul connus : écris \(n=fN\), puis divise la partie par \(f\).

Contrôle : la partie ne peut pas dépasser le total ; reconstruis la donnée de départ avec la valeur trouvée. Une simple plausibilité ne remplace pas ce calcul.

Exemple — Trois questions dans une association

Une association compte 240 adhérents. Parmi eux, 54 pratiquent une activité le mercredi. 1. Quelle est leur proportion ? La partie est 54 ; le total est 240, non 54. Ainsi

2. Combien représentent 35 % des adhérents ? \(35\%=0{,}35\), donc \(n=0{,}35\times240=84\) personnes. Par décomposition mentale : \(30\%\) de 240 vaut 72, \(5\%\) en vaut 12 ; \(72+12=84\).

3. Dans un autre groupe, 63 adhérents représentent 15 % du total. On note \(N\) ce nouveau total. La relation est \(63=0{,}15N\). Le coefficient \(0{,}15\) est non nul ; on divise les deux membres par \(0{,}15\) :

À toi — Compléter puis contrôler

Un équipement accueille 180 visiteurs ; 45 viennent pour une exposition. Complète \(f=\ldots/\ldots=\ldots\%\). Une seconde exposition reçoit 56 visiteurs, soit 40 % du public de la journée : retrouve ce public. Indice, après une tentative : La question indique-t-elle une partie, un total ou une proportion ? Dans la seconde, écris \(56=0{,}40N\).

Correction expliquée.

On calcule \(45/180=(45\div45)/(180\div45)=1/4=25\%\). Dans la seconde question, \(0{,}40\ne0\) : \(56/0{,}40=(0{,}40N)/0{,}40\). À droite, \((0{,}40/0{,}40)N=1N=N\) ; à gauche, \((56\times100)/(0{,}40\times100)=5600/40=140\). Donc \(N=140\). Le contrôle donne \(0{,}40\times140=56\) ; la partie 56 est bien inférieure au total 140.

À toi — À tenter avant de consulter

Dans un atelier de 160 inscrits, 28 ont choisi une séance du soir. Calcule leur pourcentage. Puis détermine combien d’inscrits représentent 12,5 % de ce groupe. Enfin, un autre atelier compte 48 débutants, qui représentent 30 % des inscrits : calcule son effectif total. Indice, après une tentative : Pour 12,5 %, tu peux utiliser \(12{,}5/100=1/8\).

Correction expliquée.

Le pourcentage du soir est \((28/160)\times100=17{,}5\) : il s’agit de \(17{,}5\%\). Ensuite \(12{,}5\%=0{,}125=1/8\), donc \(160\div8=20\) inscrits. Enfin \(48=0{,}30N\) ; en divisant les deux membres par \(0{,}30\ne0\), on obtient \(48/0{,}30=(0{,}30N)/0{,}30\). Le second membre devient \((0{,}30/0{,}30)N=N\) et le premier \((48\times100)/(0{,}30\times100)=4800/30=160\). Donc \(N=160\). Vérifications : \(0{,}175\times160=28\) ; \(20/160=0{,}125\) ; \(0{,}30\times160=48\). Critères de réussite. Je nomme le total, je distingue le nombre 17,5 de la proportion 0,175, et j’interprète chaque résultat dans son groupe.

À toi — Pourquoi cette division ?

« 20 % des 90 participants sont nouveaux. Pour calculer leur nombre, je fais \(90/0{,}20\). » Localise l’erreur et explique pourquoi il faut multiplier, puis donne le résultat.

Correction expliquée.

90 est le total, pas la partie. On cherche un cinquième de ce total, donc une partie plus petite : \(n=(20/100)\times90=0{,}20\times90=18\). Diviser 90 par \(0{,}20\) répondrait à une autre question : quel total a pour 20 % une partie égale à 90 ? Ce serait 450. Critères de réussite. La justification doit identifier les rôles des données, la relation \(n=fN\) et le contrôle \(18/90=0{,}20\).

Piège et reprise — « 7,5 % » ne vaut pas « 7,5 »

Première erreur : calculer \(7{,}5\times80=600\) pour trouver 7,5 % de 80. On a oublié la division par 100. Rappel : \(7{,}5\%=7{,}5/100=0{,}075\). Exemple plus simple : \(5\%\) de 80 vaut \((5/100)\times80=4\), et non 400. Nouvel essai : calcule \(2{,}5\%\) de 80. Correction : \(2{,}5/100=0{,}025\) ; \(0{,}025\times80=2\). Retour : \(7{,}5\%\) de 80 vaut \(0{,}075\times80=6\). On contrôle autrement : \(5\%+2{,}5\%=7{,}5\%\) du même total, et \(4+2=6\).

Exemple — Trois populations emboîtées

Un centre compte 400 abonnés. 30 % fréquentent l’espace numérique ; parmi ces usagers, 25 % suivent un atelier photo. On cherche la part des abonnés qui suivent cet atelier.

Théorème — Proportion d’une sous-population emboîtée

Si un groupe \(B\) représente une proportion \(f\) d’un groupe \(A\), et qu’un groupe \(C\) représente une proportion \(g\) de \(B\), alors \(C\) représente la proportion \(fg\) de \(A\). On suppose les effectifs de \(A\) et de \(B\) strictement positifs pour définir ces proportions.

À toi — Du groupe intermédiaire au total

Dans une structure, 40 % des inscrits viennent le samedi. Parmi eux, 15 % empruntent un instrument. Complète : \(f=0{,}40\times\ldots=\ldots=\ldots\%\). Si la structure compte 500 inscrits, vérifie par les effectifs.

Correction expliquée.

\(f=0{,}40\times0{,}15=0{,}06=6\%\). Les samedis concernent \(0{,}40\times500=200\) personnes ; parmi elles \(0{,}15\times200=30\) empruntent un instrument. \(30/500=0{,}06\) confirme les 6 %.

À toi — À tenter, puis expliquer

12 % des 600 adhérents d’un réseau participent à un concours. Parmi ces participants, les deux tiers sont débutants. Quelle proportion de tous les adhérents sont des débutants participant au concours ? Combien sont-ils ? Pourquoi ne peut-on pas conclure que seulement cette proportion des adhérents sont débutants ? Indice, après une tentative : La propriété étudiée est « débutant et participant », pas « débutant » sans autre condition.

Correction expliquée.

Les participants sont \(0{,}12\times600=72\). Les débutants parmi eux sont \((2/3)\times72=2\times24=48\). La proportion cherchée vaut \(48/600=0{,}08=8\%\), ou directement \(0{,}12\times(2/3)=0{,}08\). D’autres adhérents débutants peuvent ne pas participer au concours : leur nombre n’est pas donné. Critères de réussite. Je distingue les trois groupes et je conserve les deux conditions dans la phrase de conclusion.

Propriété — La proportion globale se calcule avec les effectifs

Deux groupes disjoints, d’effectifs positifs \(N_1,N_2\), ont des proportions \(f_1,f_2\) pour un même caractère. Dans leur réunion, la proportion est

Exemple — Pourquoi 80 % et 40 % ne donnent pas nécessairement 60 %

Un groupe de 40 personnes compte 80 % de participants à une activité ; un autre, disjoint, de 160 personnes en compte 40 %. Les parties sont \(0{,}80\times40=32\) et \(0{,}40\times160=64\). On réunit \(32+64=96\) participants sur \(40+160=200\) personnes :

À toi — Un calcul guidé avec deux poids

Deux groupes disjoints comptent 30 et 70 personnes. Les proportions de volontaires sont 60 % et 20 %. Complète les effectifs : \(n_1=0{,}60\times\ldots\), \(n_2=0{,}20\times\ldots\), puis \(f=(\ldots+\ldots)/(\ldots+\ldots)\). Indice, après une tentative : Multiplie chaque proportion par son propre total avant de réunir les groupes.

Correction expliquée.

\(n_1=0{,}60\times30=18\) et \(n_2=0{,}20\times70=14\). Ainsi \(f=(18+14)/(30+70)=32/100=32\%\). Une moyenne simple donnerait \((0{,}60+0{,}20)/2=0{,}40=40\%\) : elle surpondérerait le petit groupe de 30 personnes. Contrôle : \(0{,}32\times100=32=18+14\). Critères de réussite. Je peux nommer le total attaché à chacun des pourcentages ; je réunis des personnes, pas des nombres sans référence.

À toi — Une variation de condition

Un premier groupe de 50 personnes compte 20 % de volontaires ; un second, disjoint, de 150 personnes en compte 60 %. Détermine la proportion dans les deux groupes réunis. Puis dis ce que l’on pourrait calculer si les effectifs 50 et 150 n’étaient pas connus.

Correction expliquée.

Les volontaires sont \(0{,}20\times50=10\) puis \(0{,}60\times150=90\). La proportion est \((10+90)/(50+150)=100/200=0{,}50=50\%\). Avec les seuls pourcentages 20 % et 60 %, on ne connaît pas la proportion globale exacte : il manque le poids des groupes. Sous l’hypothèse de deux groupes non vides et disjoints, elle est entre 20 % et 60 %, mais elle n’est pas nécessairement 40 %.

Piège et reprise — Réparer la moyenne de deux pourcentages

Première erreur : annoncer 60 % dans l’exemple des groupes de 40 et 160, en calculant \((80+40)/2\). Cette ligne suppose deux poids égaux, alors que les effectifs sont différents. Exemple plus simple : 100 % de 10 personnes et 0 % de 90 personnes donnent \(10+0=10\) personnes sur 100, donc 10 %, non 50 %. Nouvel essai : réunis 100 % de 20 personnes et 50 % de 80 personnes. Correction : parties 20 et \(0{,}50\times80=40\) ; au total \(60/100=60\%\), non 75 %. Retour : pour 40 et 160 personnes, les parties 32 et 64 donnent 96 sur 200, soit 48 %. Les pourcentages ne sont comparables ou combinables qu’en gardant leurs populations de référence.

Piège et reprise — Additionner deux pourcentages de bases différentes

Erreur : annoncer \(40\%+15\%=55\%\) dans l’exemple du samedi. Les 15 % ne sont pas une autre partie du total : ils portent sur la partie des 40 %. Rappel et exemple plus simple : la moitié de la moitié d’un groupe de 100 donne \(100\times\frac12=50\), puis \(50\times\frac12=25\), soit un quart, pas tout le groupe. Nouvel essai : prends 20 % de la moitié d’un groupe de 200. Correction : la moitié vaut 100 ; 20 % de 100 vaut 20 ; \(20/200=0{,}10=10\%\). Retour : dans l’exemple du samedi, les 30 emprunteurs sur 500 donnent bien 6 %, non 55 %. Pour une réunion de groupes, ne multiplie pas non plus au hasard : reconstitue les effectifs puis additionne-les.

À toi — À reprendre plus tard, avant de relire

1. 42 personnes représentent 17,5 % d’un groupe. Retrouve le total et contrôle.

2. 60 % d’un groupe pratiquent une activité ; parmi eux 30 % participent à une rencontre. Quelle part de tout le groupe participe à cette rencontre dans ce cadre ?

3. Deux groupes disjoints de 60 et 140 personnes ont respectivement 50 % et 20 % d’abonnés. Détermine la proportion globale.

Indice, après une tentative : Écris les rôles des nombres ; en 2, repère le groupe intermédiaire ; en 3, reviens aux effectifs.

Correction expliquée.

1. \(42=0{,}175N\). On divise les deux membres par \(0{,}175>0\) : \(42/0{,}175=(0{,}175N)/0{,}175\). À droite \((0{,}175/0{,}175)N=N\) ; à gauche \((42\times1000)/(0{,}175\times1000)=42000/175=240\). Donc \(N=240\). Contrôle : \(0{,}175\times240=42\). 2. \(0{,}60\times0{,}30=0{,}18\), soit 18 %. Sur un total fictif de 1000, cela donne 600 pratiquants puis 180 participants : \(180/1000=0{,}18\). 3. Les parties valent \(0{,}50\times60=30\) et \(0{,}20\times140=28\). Le total est 200 ; la partie est 58, donc \(58/200=0{,}29=29\%\). Critères de réussite. Je conserve la population de référence à chaque étape, j’explique l’opération et je vérifie la cohérence partie/total.

À retenir — La question à écrire avant toute formule

« Quel est le tout ? » Une proportion est partie \(\div\) total. Une partie se calcule par proportion \(\times\) total. Une partie de partie utilise un produit ; une réunion de groupes utilise les effectifs et leurs poids. Le signe % n’est jamais un simple décor après un nombre.

À toi — Identifier le départ et l’arrivée

Une inscription passe de 80 à 100 euros. Calcule la différence. À quel montant faut-il rapporter cette différence pour mesurer la hausse par rapport au départ ? Que signifie \(25\%\) en écriture décimale ?

Correction expliquée.

La différence est \(100-80=20\) euros. La référence du changement est 80 euros : \(20/80=1/4=0{,}25=25\%\). Le quotient \(20/100\) répond à une autre question, car son dénominateur est l’arrivée. Si le passage fraction/pourcentage bloque, retiens localement \(p\%=p/100\) ; ici \(25/100=0{,}25\).

Définition — Variation absolue et taux d’évolution

Une quantité passe d’une valeur initiale \(V_i>0\) à une valeur finale \(V_f\geq0\).

• Sa variation absolue est \(\Delta V=V_f-V_i\). Elle a la même unité que les valeurs.

• Son taux d’évolution, ou variation relative, est \(t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}\). Il n’a pas d’unité ; on peut l’exprimer en pourcentage.

Un taux positif désigne une hausse ; un taux négatif une baisse ; un taux nul l’absence de changement. On travaille ici avec des grandeurs initiales strictement positives : les évolutions de valeurs négatives demanderaient des précautions qui ne sont pas nécessaires au chapitre.

Propriété — Le coefficient multiplicateur

Avec les mêmes hypothèses, on appelle coefficient multiplicateur le nombre \(c=V_f/V_i\). Alors

Exemple — Une baisse, puis une valeur initiale à retrouver

1. Un centre compte 320 inscriptions une année puis 272 l’année suivante. La différence vaut \(272-320=-48\) inscriptions. Le taux est

2. Un matériel coûte 408 euros après une hausse de 20 %. Quel était son prix ? La donnée 408 est l’arrivée. On note \(P\) le prix de départ et on écrit

Méthode — Reconnaître la donnée manquante

Premier geste. Dessine la flèche « départ \(V_i\) \(\longrightarrow\) arrivée \(V_f\) » et écris le taux au-dessus.

• Départ et arrivée connus : \(t=(V_f-V_i)/V_i\). La base est le départ.

• Départ et taux connus : \(c=1+t\), puis \(V_f=cV_i\).

• Arrivée et taux connus : \(c=1+t\), puis \(V_i=V_f/c\) si \(c\ne0\).

Vérifie ensuite le sens de l’évolution et reconstruis l’arrivée. Un taux de \(-100\%\) donne \(c=0\) : toutes les valeurs initiales positives conduisent à zéro. On ne peut donc pas retrouver le départ à partir de l’arrivée nulle seule.

À toi — Appliquer puis remonter

Un forfait de 150 euros augmente de 8 %. Complète \(c=1+\ldots=\ldots\), puis trouve l’arrivée. Un autre forfait coûte 153 euros après une baisse de 10 % : retrouve le prix initial. Indice, après une tentative : Pour une baisse, \(t\) est négatif. 153 est la valeur finale dans la seconde question.

Correction expliquée.

La hausse de 8 % donne \(t=0{,}08\) ; \(c=1+0{,}08=1{,}08\) ; \(V_f=150\times1{,}08=162\) euros. Contrôle : \(162-150=12\) et \(12/150=0{,}08\). La baisse de 10 % donne \(c=1-0{,}10=0{,}90\). L’équation est \(153=0{,}90V_i\). On divise les deux membres par \(0{,}90>0\) :

À toi — À tenter sans le modèle

Une fréquentation passe de 1250 à 1100 personnes. Donne la variation absolue et relative. Un prix a été multiplié par 1,035 : quel est le pourcentage d’évolution ? Un autre montant atteint 285 euros après une baisse de 5 % : retrouve le départ.

Correction expliquée.

La variation absolue est \(1100-1250=-150\) personnes. La variation relative vaut \(-150/1250=-0{,}12=-12\%\) : baisse de 12 %. Si \(c=1{,}035\), alors \(t=c-1=1{,}035-1=0{,}035=3{,}5\%\) : hausse de 3,5 %, non de 103,5 %. Pour le dernier montant, \(c=1-0{,}05=0{,}95\) ; \(285=0{,}95V_i\). On divise les deux membres par \(0{,}95\ne0\) : \(285/0{,}95=(0{,}95/0{,}95)V_i=V_i\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par 100 : \((285\times100)/(0{,}95\times100)=28500/95=300\). Ainsi \(V_i=300\) euros. Contrôle : \(300\times0{,}95=285\). Critères de réussite. Je distingue personnes, euros et pourcentages ; je nomme le départ et je conserve le signe du taux.

Exemple — Une proportion passe de 20 % à 26 %

On peut formuler deux informations exactes, mais différentes.

• La proportion augmente de \(26-20=6\) points de pourcentage.

• Par rapport à son ancienne valeur, elle augmente de \((26-20)/20=6/20=0{,}30=30\%\).

Le même taux relatif se trouve avec les proportions décimales : \((0{,}26-0{,}20)/0{,}20=0{,}06/0{,}20=0{,}30\). « +6 % » n’est donc pas une façon interchangeable d’écrire « +6 points ».

À toi — Un titre de presse à corriger

Une part passe de 40 % à 50 %. Un titre annonce « hausse de 10 % ». Propose deux formulations chiffrées correctes et explique la différence.

Correction expliquée.

La différence des parts est \(50-40=10\) points de pourcentage. Le taux d’évolution de la part est \(10/40=0{,}25=25\%\). Deux formulations correctes sont « la part augmente de 10 points » et « la part augmente de 25 % par rapport à sa valeur initiale ». Critères de réussite. Je précise si je mesure une différence ou une évolution relative, et je nomme le dénominateur 40.

Piège et reprise — Utiliser l’arrivée comme base

Erreur : pour un passage de 80 à 100, calculer \((100-80)/100=20\%\) comme taux de hausse. La première erreur est le choix du dénominateur, pas la soustraction. Rappel : le taux demandé est relatif au départ. Exemple plus simple : de 10 à 15, le gain est 5 sur un départ de 10, donc \(5/10=50\%\). Nouvel essai : de 40 à 50, calcule le taux. Correction : \((50-40)/40=10/40=0{,}25=25\%\). Retour : de 80 à 100, \((100-80)/80=20/80=0{,}25=25\%\). La vérification \(80\times1{,}25=100\) confirme le bon choix. Les 20 % seraient le taux de baisse de 100 vers 80, avec un signe négatif.

Théorème — Taux global de deux évolutions successives

Pour deux évolutions de taux \(t_1,t_2\), appliquées successivement à une grandeur positive et définies avec leurs bases respectives, le coefficient global est

Exemple — Une hausse de 12 %, puis une baisse de 15 %

Les coefficients sont \(1{,}12\) et \(0{,}85\). Ainsi

Corollaire — Hausse et baisse de même pourcentage ne se compensent pas

Pour \(0<r<1\), une hausse de taux \(r\) suivie d’une baisse de taux \(r\) donne un coefficient \(1-r^2<1\) et donc une baisse globale de taux \(-r^2\).

Théorème — Coefficient et taux réciproques

Une évolution de coefficient \(c>0\) est annulée par une évolution de coefficient \(c_{\mathrm{r}}=1/c\). Si \(c=1+t>0\), son taux réciproque est

Exemple — Annuler une réduction de 20 %

La réduction a pour coefficient \(c=0{,}80\). Le retour a pour coefficient \(1/0{,}80=1{,}25\), donc pour taux \(1{,}25-1=0{,}25=25\%\). Une réduction de 20 % exige donc une hausse de 25 % pour être annulée. Sur 100 euros, la réduction donne 80 euros. Une hausse de 25 % de 80 ajoute \(0{,}25\times80=20\) euros et redonne 100. Une hausse de 20 % de 80 n’ajouterait que 16 euros : elle conduirait à 96.

À toi — Essai guidé : coefficient d’abord

Une quantité augmente de 10 % puis de 20 %. Calcule les deux coefficients, leur produit, puis le taux global. Quel taux annule ensuite l’évolution globale ? Indice, après une tentative : Le coefficient de retour est l’inverse du produit, et non l’opposé du taux.

Correction expliquée.

\(c_1=1{,}10\), \(c_2=1{,}20\) ; \(c=1{,}10\times1{,}20=1{,}32\). Le taux global est \(1{,}32-1=0{,}32=32\%\). Le coefficient inverse est \(1/1{,}32\). Multiplions numérateur et dénominateur par 100 puis divisons-les par 4 :

À toi — À tenter avant consultation

Une quantité baisse de 25 %, puis augmente de 12 %. Détermine l’évolution globale. Indépendamment, quel taux compense une hausse de 25 % ? Justifie pourquoi les deux réponses ne se lisent pas en changeant seulement un signe.

Correction expliquée.

Les deux coefficients sont \(0{,}75\) et \(1{,}12\). Leur produit est \(0{,}84\) ; le taux global est \(0{,}84-1=-0{,}16=-16\%\). Sur un départ de 100, on passe à 75 puis à \(75\times1{,}12=84\) : la baisse est bien 16 sur 100. Pour compenser une hausse de 25 %, le coefficient inverse est \(1/1{,}25=0{,}80\) ; le taux vaut \(0{,}80-1=-0{,}20=-20\%\). Une évolution de retour part de la nouvelle valeur : sa base n’est pas celle de l’évolution initiale. Critères de réussite. Je multiplie les coefficients pour enchaîner, je prends l’inverse pour revenir, et je ne confonds pas ces deux demandes.

Piège et reprise — « Je fais +20 %, puis -20 %, donc rien ne change »

Cause : la seconde variation est calculée sur une autre base. Rappel et exemple simple : partons de 10. Une hausse de 50 % ajoute 5 et donne 15 ; une baisse de 50 % de 15 retire 7,5 et donne 7,5, pas 10. Nouvel essai : pars de 100, applique +10 % puis -10 %. Correction : \(100\times1{,}10=110\), puis \(110\times0{,}90=99\) ; la baisse globale est de 1 %. Retour : avec +20 % puis -20 %, \(100\times1{,}20=120\), puis \(120\times0{,}80=96\) : baisse de 4 %. Pour revenir de 120 à 100, il faut multiplier par \(100/120=5/6\), soit un taux \(5/6-1=-1/6\approx-16{,}67\%\).

Définition — Transformer les valeurs en indices

On choisit une valeur de référence \(V_0>0\) et on lui attribue l’indice 100. L’indice associé à une valeur \(V\) est \(I=100\times V/V_0\). Un indice n’est pas un prix ni un effectif : c’est une valeur sur une échelle commune. Indice 125 signifie « 1,25 fois la valeur de référence », donc +25 % par rapport à cette référence.

Propriété — Comparer deux dates avec les indices

Si \(I_a\) et \(I_b\) sont calculés avec la même base et si \(V_a>0\), alors \(V_b/V_a=I_b/I_a\). Le taux entre ces deux dates vaut donc \(I_b/I_a-1\).

Exemple — 120 puis 132

Entre un indice 120 et un indice 132, la différence est 12 points d’indice. Mais le taux d’évolution est \((132-120)/120=12/120=0{,}10=10\%\). La valeur de départ de cette comparaison est 120, pas 100. Deux objets peuvent tous deux avoir l’indice 132 tout en valant 66 euros et 264 euros : leurs bases étaient respectivement 50 et 200 euros. Les indices comparent des évolutions relatives, pas des niveaux absolus inconnus.

À toi — Lire une autre base de comparaison

Un indice vaut 80 puis 100. Détermine le taux d’évolution entre ces deux dates. Peut-on en déduire le montant en euros de la hausse ?

Correction expliquée.

\(t=(100-80)/80=20/80=0{,}25=25\%\). On ne connaît pas la valeur en euros associée à l’indice 100 : la hausse en euros n’est pas calculable. Le retour à l’indice 100 n’est pas une hausse de 20 %, mais de 20 points d’indice, soit 25 % de 80.

À toi — À reprendre à une autre séance

1. Une valeur passe de 600 à 690. Calcule taux et coefficient.

2. Un montant final de 352 euros suit une baisse de 12 %. Retrouve le départ.

3. Une quantité augmente de 5 % puis baisse de 20 %. Calcule le taux global et le coefficient exact permettant d’annuler les deux changements.

Indice, après une tentative : En 3, sépare « composer » et « revenir ».

Correction expliquée.

1. \(\Delta V=690-600=90\) ; \(t=90/600=0{,}15=15\%\) et \(c=1{,}15\). 2. \(c=1-0{,}12=0{,}88\) ; \(352=0{,}88V_i\). On divise les deux membres par \(0{,}88>0\) : \(352/0{,}88=(0{,}88/0{,}88)V_i=V_i\). Pour calculer le quotient, \((352\times100)/(0{,}88\times100)=35200/88=400\). Donc \(V_i=400\) euros. Vérification : \(400\times0{,}88=352\). 3. \(c=1{,}05\times0{,}80=0{,}84\) ; \(t=-0{,}16=-16\%\). Le coefficient de retour est \(1/0{,}84=25/21\). Son produit avec \(0{,}84=21/25\) vaut 1. Le taux réciproque serait \(25/21-1=4/21\approx19{,}05\%\).

À retenir — Quatre différences à garder visibles

Différence et taux ne portent pas la même information ; taux et coefficient ne sont pas le même nombre ; points de pourcentage et pourcentage d’évolution ne sont pas interchangeables ; enchaîner des évolutions et annuler une évolution ne demandent pas la même opération. Toujours écrire la valeur de référence.

À toi — Avant de commencer

Une médiathèque interroge 12 personnes sur leur atelier préféré. Sept choisissent la photographie, trois l’audio et deux l’écriture. Combien y a-t-il de réponses ? Combien de choix possibles sont proposés ? Pourquoi ces nombres diffèrent-ils ?

Correction expliquée.

Il y a \(7+3+2=12\) réponses, mais seulement trois catégories de réponses. Chaque personne donne ici une seule réponse. Le nombre de personnes n’est pas le nombre de catégories. Si la distinction est difficile, lis les trois définitions suivantes en remplaçant leurs mots par les éléments de cet exemple.

Définition — Population, individu et échantillon

La population étudiée est l’ensemble des individus sur lesquels portent les données. Un individu est une unité observée : personne, logement, objet, journée, etc. Un échantillon est une partie de la population que l’on souhaite étudier.

Dans l’enquête ci-dessus, les 12 personnes interrogées constituent la population décrite par le tableau. Elles peuvent être un échantillon des usagers de la médiathèque. Leurs réponses ne décrivent pas automatiquement tous les habitants.

Définition — Caractère et modalité

Un caractère est une information relevée pour chaque individu. Ses valeurs ou catégories possibles sont ses modalités.

Un caractère qualitatif décrit une catégorie : atelier choisi, créneau, type de document. Un caractère quantitatif est une grandeur numérique dont les valeurs ont un sens de quantité : durée, nombre d’emprunts, distance.

Le numéro d’un inscrit peut s’écrire avec des chiffres sans être une quantité : additionner des identifiants n’apprend rien sur les inscrits.

Définition — Effectif

L’effectif d’une catégorie est le nombre d’individus qui lui appartiennent. L’effectif total, souvent noté \(N\), compte tous les individus étudiés. Un effectif est un entier positif ou nul. Une catégorie d’effectif zéro n’est pas une donnée manquante : on sait qu’aucun individu ne la vérifie.

Définition — Tableau croisé d’effectifs

Un tableau croisé d’effectifs compte les individus selon deux caractères observés sur la même population. Une case intérieure correspond à la fois à une modalité de ligne et à une modalité de colonne.

Les totaux des lignes et des colonnes sont les effectifs marginaux. Le total général est l’effectif de toute la population, comptée une seule fois.

Exemple — Dépouiller 16 bulletins

Lors d’une séance d’essai, 16 personnes ont indiqué un créneau et un atelier. Chaque ligne ci-dessous représente une seule personne ; les deux listes de huit lignes sont juxtaposées uniquement pour économiser la largeur de page.

Premier geste. Choisir ce que représenteront les lignes et les colonnes, puis suivre chaque individu avec ses deux réponses, sans trier les colonnes séparément. Prenons les créneaux en lignes, les ateliers en colonnes. L’individu 01 ajoute une unité dans la case « Matin et Audio », l’individu 02 dans « Soir et Photo », et ainsi de suite.

Les personnes 05 et 08 donnent l’effectif 2 de la case Matin/Photo. Les personnes 01, 07 et 12 donnent l’effectif 3 de Matin/Audio. Les personnes 03, 10 et 14 donnent l’effectif 3 de Matin/Écriture. De même, au soir : Photo correspond à 02, 11, 15 ; Audio à 04, 09, 13, 16 ; Écriture à 06. On obtient :

Contrôles effectués. La première ligne donne \(2+3+3=8\), la seconde \(3+4+1=8\). Les colonnes donnent \(2+3=5\), \(3+4=7\), \(3+1=4\). Enfin \(8+8=16\) et \(5+7+4=16\), ce qui correspond aux 16 bulletins. Cette concordance est nécessaire, mais ne suffit pas à repérer un échange entre deux cases : revenir aux identifiants reste un contrôle utile.

Propriété — Pourquoi les deux sommes donnent-elles le même total ?

Si chaque individu appartient à une et une seule catégorie de ligne et à une et une seule catégorie de colonne, la somme des effectifs de toutes les cases intérieures, la somme des totaux de lignes et la somme des totaux de colonnes donnent le même effectif total \(N\).

Démonstration. Chaque individu est placé dans exactement une case intérieure. La somme des cases le compte donc une seule fois. Regrouper ces cases par lignes ou par colonnes change l’ordre des additions, mais pas les individus comptés ni le résultat. Les trois sommes valent donc \(N\).

Méthode — Construire ou compléter un tableau croisé

Quand ? Deux renseignements sont disponibles sur les mêmes individus, ou un tableau est partiellement rempli.

1. Identifier la population, les deux caractères et toutes les catégories.

2. Écrire les intitulés des lignes et colonnes, puis réserver les marges.

3. Compter chaque individu dans l’unique case correspondant à ses deux réponses.

4. Additionner les cases pour calculer les marges. Pour une case manquante, soustraire les autres cases de sa ligne ou de sa colonne au total connu.

5. Vérifier le total par les deux directions et interpréter au moins une case par une phrase contenant « et ».

Ne pas additionner tous les nombres écrits dans le tableau, marges comprises : les marges recomptent les mêmes individus.

Exemple — Le tableau de référence de la médiathèque

Pour une autre session, la médiathèque possède 40 inscriptions. Les données sont les suivantes : au matin, 4 personnes en photo, 6 en audio et 6 en écriture ; au soir, 8 en photo, 12 en audio et 4 en écriture. Il ne faut pas additionner ces 40 inscrits aux 16 bulletins de la séance d’essai précédente.

Par exemple, les \(6\) de la première ligne et troisième colonne désignent les personnes inscrites au matin et à l’écriture. Le total de la ligne est \(4+6+6=16\) ; celui de la colonne Écriture est \(6+4=10\). La population entière compte \(16+24=40\) personnes, aussi bien que \(12+18+10=40\). Ce tableau sera repris avec toutes ses données dans les unités qui en ont besoin.

Notation — Lire les bornes d’une classe

La classe \([10\,;20[\) contient les nombres \(x\) tels que \(10\leq x<20\) : 10 est inclus, 20 est exclu. Les classes \([0\,;10[\), \([10\,;20[\) et \([20\,;30]\) permettent de ranger toute durée comprise entre 0 et 30 minutes sans trou ni double compte. Une durée de 20 minutes va dans la troisième classe, pas dans les deux dernières.

Exemple — Zéro, absence et champ incomplet

Sur 25 questionnaires, 23 personnes ont répondu à la question sur leur durée de trajet. La somme des classes de durée doit être 23, sauf si l’on ajoute une catégorie « non renseigné » d’effectif \(25-23=2\). Écrire zéro pour les deux durées absentes inventerait des trajets de zéro minute.

Une case vide peut signifier « à calculer », « donnée absente » ou « sans objet ». Sa signification doit être annoncée. Elle n’est pas automatiquement nulle.

À toi — Essai guidé : reconstituer des cases

Essaie de compléter avant de lire la correction.

Le total de la première ligne est 14 : quel nombre manque pour que \(9+\cdots=14\) ?

Correction expliquée.

Il reste \(14-9=5\) films le matin. L’après-midi, il reste \(16-8=8\) livres. La colonne Livre totalise \(9+8=17\), la colonne Film \(5+8=13\), et la population compte \(14+16=30\) personnes. Contrôle : \(17+13=30\).

À toi — À tenter avant de consulter : classer six observations

On relève le mode de trajet et sa durée en minutes : \((\text{vélo};10)\), \((\text{marche};8)\), \((\text{vélo};20)\), \((\text{marche};10)\), \((\text{vélo};9)\), \((\text{marche};20)\). Construis un tableau avec les modes en lignes et les classes \([0\,;10[\), \([10\,;20[\), \([20\,;30]\) en colonnes. Ajoute les totaux. Indice, après une tentative : Teste les deux inégalités de chaque classe pour les valeurs 10 et 20.

Correction expliquée.

Pour le vélo, 9 va dans la première classe, 10 dans la deuxième, 20 dans la troisième : on obtient \((1;1;1)\). Pour la marche, les valeurs 8, 10 et 20 donnent également \((1;1;1)\). Chaque mode a l’effectif \(1+1+1=3\) ; chaque classe a l’effectif \(1+1=2\). Le total est \(3+3=6\), aussi bien que \(2+2+2=6\).

Critères de réussite. Je garde ensemble le mode et la durée d’une même observation ; je traite correctement les bornes ; chaque observation est comptée une seule fois.

À toi — Justifier et changer de point de vue

1. Explique pourquoi additionner les deux totaux de lignes puis les trois totaux de colonnes du tableau précédent donne 12 et non 6. 2. Si l’on échange lignes et colonnes, change-t-on les données ? 3. Une enquête autorise plusieurs réponses à « Quels ateliers aimez-vous ? ». La somme des nombres de choix vaut 55 pour 40 répondants. Est-ce nécessairement une erreur ?

Correction expliquée.

1. \(3+3=6\) compte une première fois les six personnes ; \(2+2+2=6\) les compte une seconde fois. En ajoutant les deux résultats, chacune est comptée deux fois : \(6+6=12\). 2. Non. La case Vélo/\([10;20[\) devient la case \([10;20[\)/Vélo et garde l’effectif 1. La présentation change, pas l’association des réponses. 3. Non : une personne peut contribuer à plusieurs catégories. Le total 55 compte des choix, pas nécessairement 55 personnes distinctes. Critères de réussite. Je nomme l’objet compté et j’explique l’unicité du classement ; je ne justifie pas une égalité uniquement par l’apparence du tableau.

Piège et reprise — Une borne comptée deux fois

Erreur à examiner : placer une durée de 10 minutes dans \([0;10[\) et dans \([10;20[\). La première erreur est d’avoir oublié que le crochet ouvert exclut la borne 10 de la première classe.

Rappel et exemple plus simple. Dans \([0;5[\), on accepte 0, 2 et 4,9 mais pas 5, car il faut \(x<5\). Le nombre 5 appartient à \([5;10[\).

Nouvel essai. Où ranger 15 si les classes sont \([5;15[\) et \([15;25]\) ? Correction : 15 n’est pas strictement inférieur à 15 ; la première classe l’exclut. Comme \(15\leq15\leq25\), la seconde l’inclut. Reviens maintenant à la durée de 10 minutes : seul \([10;20[\) convient.

À toi — À reprendre plus tard, avant de relire

Une séance fictive compte 18 inscrits. Les 7 du matin comprennent 3 inscrits en photo et les autres en audio. Le soir, 5 choisissent la photo et les autres l’audio. Construis le tableau croisé et explique une case intérieure. Indice, après une tentative : Calcule d’abord le nombre d’inscrits au soir, puis les deux restes.

Correction expliquée.

Le soir compte \(18-7=11\) personnes. Le matin, l’audio compte \(7-3=4\) personnes ; le soir, il en compte \(11-5=6\). Les lignes sont donc \((3;4;7)\) et \((5;6;11)\) ; les totaux de colonnes sont \((8;10;18)\), car \(3+5=8\), \(4+6=10\) et \(8+10=18\). La case 6 signifie : six inscrits ont choisi le soir et l’audio. Critères de réussite. Je retrouve les deux marges et je précise les deux conditions d’une case. Si je suis bloqué, je reprends la méthode « Construire ou compléter un tableau croisé », puis je refais la tâche sur une feuille sans la correction.

À retenir — Une case est un croisement, une marge est un total

Une observation conserve ses deux renseignements. Les catégories doivent permettre un classement sans ambiguïté. Les totaux de lignes et de colonnes sont deux manières de compter la même population : on ne les additionne pas entre eux. Avant tout calcul de pourcentage, il faudra préciser lequel de ces effectifs est la population de référence.

À toi — Repérer le tout et la partie

Parmi 20 inscrits du matin, 5 choisissent l’écriture. Quelle fraction cela représente-t-il ? Quel pourcentage ? Que faudrait-il connaître pour calculer la proportion des inscrits du matin parmi tous les inscrits à l’écriture ?

Correction expliquée.

La population de référence est constituée des 20 inscrits du matin : \(5/20=1/4=0{,}25=25\%\). On a simplifié en divisant numérateur et dénominateur par 5. La question inverse aurait besoin du total des inscrits à l’écriture, qui n’est pas donné. Si tu as inversé \(5\) et \(20\), reprends la définition suivante avec cette question : « Sur combien de personnes porte ma comparaison ? ».

Définition — Fréquence d’une catégorie dans une population

Dans une population de référence d’effectif \(N>0\), une catégorie d’effectif \(n\) a pour fréquence

La fréquence est sans unité. Le pourcentage n’est pas un effectif : \(15\%\) ne signifie pas forcément 15 personnes.

Propriété — Somme des fréquences d’une répartition complète

Si des catégories disjointes regroupent tous les individus d’une même population non vide, la somme de leurs fréquences est 1, soit \(100\%\).

Démonstration. Par exemple pour trois catégories d’effectifs \(n_1,n_2,n_3\), on a \(n_1+n_2+n_3=N\). Le dénominateur est le même et non nul :

Exemple — La session de 40 inscrits

Les inscriptions fictives de la médiathèque sont intégralement données ici :

Chaque inscrit a choisi un seul atelier et un seul créneau. La case Matin/Écriture contient 6 personnes. Mais il existe trois questions différentes :

1. Parmi les 40 inscrits, quelle part choisit le matin et l’écriture ? Le tout est la population entière :

2. Parmi les 16 inscrits du matin, quelle part choisit l’écriture ? Le tout est cette fois la ligne Matin :

3. Parmi les 10 inscrits à l’écriture, quelle part vient le matin ? Le tout est maintenant la colonne Écriture :

Définition — Fréquences globale, marginale et dans un sous-groupe

Dans un tableau croisé, une fréquence globale utilise le total général comme dénominateur. Une fréquence marginale compare un total de ligne ou de colonne au total général. Une fréquence dans un sous-groupe, parfois appelée fréquence conditionnelle dans un tableau statistique, utilise l’effectif de ce sous-groupe non vide comme dénominateur.

Dans le tableau précédent, la fréquence marginale du matin est \(16/40=0{,}4\). La fréquence de l’écriture parmi le matin est \(6/16\), non \(6/40\). Toujours préciser en mots le groupe de référence : le terme technique seul ne répond pas à la question.

Méthode — Traduire la phrase avant de calculer

Premier geste. Entourer les mots qui désignent la population de référence, souvent après « parmi », puis souligner la catégorie recherchée.

1. Écrire « nombre recherché / nombre de référence » avec les mots du sujet.

2. Lire les deux effectifs dans le tableau et vérifier que le dénominateur est strictement positif.

3. Calculer le quotient. Pour l’écrire en pourcentage, multiplier sa valeur par 100 et ajouter le symbole \(\%\).

4. Conclure avec la population de référence et, si nécessaire, le mot « environ ».

Contrôle : une catégorie incluse dans la population ne peut pas avoir une fréquence supérieure à 1. Ce contrôle détecte certaines inversions, mais ne remplace pas la lecture de la phrase : plusieurs mauvais dénominateurs peuvent donner des fréquences inférieures à 1.

À toi — Essai guidé : ne pas permuter les questions

Avec le tableau des 40 inscrits, complète :

1. Fréquence de l’audio parmi tous les inscrits : \(\ldots/40\).

2. Fréquence de l’audio parmi les inscrits du soir : \(12/\ldots\).

3. Fréquence du soir parmi les inscrits à l’audio : \(\ldots/18\).

Correction expliquée.

1. L’audio compte \(6+12=18\) personnes : \(18/40=0{,}45=45\%\). 2. Le soir compte 24 personnes : \(12/24=1/2=50\%\). 3. Parmi les 18 personnes en audio, 12 viennent le soir : \(12/18=2/3\approx0{,}6667\), soit environ \(66{,}7\%\). La deuxième et la troisième question n’ont pas la même population de référence.

À toi — À tenter avant de consulter

Calcule, dans le tableau des 40 inscrits :

1. la part de ceux qui viennent le soir et choisissent la photo ;

2. la part de la photo parmi les inscrits du soir ;

3. la part du soir parmi les inscrits à la photo.

Donne les résultats en pourcentage, arrondis au dixième si nécessaire. Indice, après une tentative : Le numérateur vaut 8 dans les trois questions. Les trois dénominateurs ne sont pas identiques.

Correction expliquée.

1. On compare à la population entière : \(8/40=1/5=0{,}2=20\%\). 2. On compare aux 24 inscrits du soir : \(8/24=1/3\approx0{,}3333\), donc environ \(33{,}3\%\). 3. On compare aux 12 inscrits à la photo : \(8/12=2/3\approx0{,}6667\), donc environ \(66{,}7\%\). Critères de réussite. J’écris la population de référence dans chaque conclusion et j’emploie \(\approx\) lorsque j’arrondis.

À toi — Justifier le dénominateur et une condition

Pourquoi \(6/40\) ne répond-il pas à « Parmi les inscrits du matin, quelle part fait de l’écriture ? » ? Que devient la question pour un créneau sans aucun inscrit ?

Correction expliquée.

Le dénominateur 40 désigne tous les inscrits, alors que la phrase limite la population aux 16 personnes du matin. Il faut donc \(6/16\). Pour un créneau vide, on aurait \(0/0\), qui n’est pas défini : la fréquence dans ce groupe n’est pas calculable, elle ne vaut pas automatiquement zéro. Critères de réussite. Ma réponse relie le mot « parmi » à un effectif précis et explique que l’on ne divise jamais par zéro.

Piège et reprise — Une fréquence calculée dans le mauvais groupe

Erreur : « 60% des inscrits du matin choisissent l’écriture, car \(6/10=0{,}6\). » Le calcul est juste, mais il répond à la question inverse.

Rappel. Dans « 2 personnes sur 8 portent un badge », le tout est 8 : \(2/8=1/4=25\%\). Le quotient inverse \(8/2=4\) ne décrit pas cette part.

Nouvel essai. Parmi 15 lecteurs, 6 ont emprunté un roman. Quelle part ? Correction : le groupe de référence compte 15 lecteurs, \(6/15=2/5=0{,}4=40\%\). On vérifie \(0{,}4\times15=6\). Retour à l’erreur : le groupe du matin compte 16 inscrits ; \(6/16=37{,}5\%\). Le \(60\%\) décrit au contraire la part du matin parmi les dix inscrits à l’écriture.

À toi — Que permet une comparaison d’effectifs ?

Dans un groupe A de 10 personnes, 5 empruntent un livre. Dans un groupe B de 100 personnes, 20 en empruntent un. Quel groupe compte le plus d’emprunteurs ? Dans quel groupe l’emprunt est-il le plus fréquent ?

Correction expliquée.

B compte plus d’emprunteurs : \(20>5\). Mais les fréquences sont \(5/10=50\%\) pour A et \(20/100=20\%\) pour B. L’emprunt est plus fréquent dans A. Si les deux réponses te semblent contradictoires, distingue combien et quelle part dans la méthode suivante.

Méthode — Choisir l’objet de la comparaison

Premier geste. Demander si l’on compare des nombres de personnes ou des parts dans chaque groupe. Pour prévoir du matériel, des effectifs sont souvent utiles. Pour comparer la fréquence d’une pratique dans des groupes de tailles différentes, on calcule un taux dans chaque groupe. On peut conserver les effectifs à côté des taux : ils indiquent la taille de la population décrite.

Une différence entre deux pourcentages s’exprime en points de pourcentage. Passer de \(20\%\) à \(30\%\) est un écart de 10 points, mais une hausse relative de \((30-20)/20=10/20=50\%\). Ces deux comparaisons n’ont pas le même sens.

Exemple — Deux ateliers, deux questions

Un atelier A possède 25 inscrits dont 10 reviennent à la séance suivante. Un atelier B possède 40 inscrits dont 12 reviennent.

Effectifs : B compte deux retours de plus, puisque \(12-10=2\). Fréquences :

Regroupement : les deux groupes étant disjoints, il y a \(25+40=65\) inscrits et \(10+12=22\) retours. La fréquence globale est \(22/65\approx0{,}33846\), soit environ \(33{,}8\%\). Ce n’est pas la moyenne simple \((0{,}40+0{,}30)/2=0{,}35=35\%\) : les deux groupes n’ont pas le même poids.

Propriété — Regrouper deux fréquences : pondérer par les effectifs

Deux groupes disjoints, d’effectifs \(N_1>0\) et \(N_2>0\), présentent les fréquences \(f_1\) et \(f_2\) d’une même caractéristique. La fréquence dans leur réunion est

Démonstration. La relation \(f_1=n_1/N_1\) donne \(n_1=N_1f_1\), et de même \(n_2=N_2f_2\). Les groupes sont disjoints : les effectifs s’ajoutent. Ainsi

Méthode — Retrouver un effectif sans changer le tout

Pour calculer un effectif à partir d’une fréquence, on utilise \(n=fN\). Pour retrouver le total à partir d’une fréquence exacte \(f>0\), on résout \(fN=n\), donc \(N=n/f\).

Exemple : 6 inscrits représentent exactement \(37{,}5\%\) d’un créneau. On écrit \(0{,}375N=6\). Puis on divise les deux membres par \(0{,}375\), non nul :

À toi — Essai guidé : compléter la comparaison

Deux créneaux A et B comptent respectivement 30 et 20 inscrits. Parmi eux, respectivement 9 et 8 choisissent une activité numérique. Chaque personne est inscrite à un seul de ces créneaux. Complète les quatre phrases : A compte … personne de plus ; la fréquence vaut … dans A, … dans B ; elle vaut … dans l’ensemble.

Correction expliquée.

A compte \(9-8=1\) personne de plus. Les fréquences sont \(9/30=3/10=30\%\) dans A et \(8/20=2/5=40\%\) dans B. Le nombre est plus grand dans A, la part plus grande dans B. Au total, \(9+8=17\) personnes sur \(30+20=50\) choisissent le numérique : \(17/50=34/100=34\%\).

À toi — À tenter : que conclure de deux nombres ?

Une antenne A compte 80 usagers, dont 24 empruntent une bande dessinée. Une antenne B compte 120 usagers, dont 30 en empruntent une. Pour cette étude, chaque usager est rattaché à une seule antenne. Compare les effectifs, les fréquences et la fréquence globale. Puis explique pourquoi la moyenne simple des deux taux ne donne pas la bonne fréquence globale. Indice, après une tentative : Repars des nombres d’usagers avant de regrouper les taux.

Correction expliquée.

B compte \(30-24=6\) emprunteurs de plus. Mais \(24/80=3/10=30\%\) et \(30/120=1/4=25\%\) : la part est plus grande dans A, de 5 points. Le total est \(24+30=54\) emprunteurs sur \(80+120=200\) usagers : \(54/200=27/100=27\%\). La moyenne simple donne \((0{,}30+0{,}25)/2=0{,}55/2=0{,}275=27{,}5\%\), ce qui donne aux deux antennes le même poids alors que B compte davantage d’usagers. Critères de réussite. Je distingue les trois conclusions : nombre, part dans chaque groupe, part dans la réunion. J’explique les poids par les effectifs, pas par un slogan.

À toi — Une variation qui change la conclusion

Les taux de participation de deux groupes valent \(25\%\) et \(75\%\). Les groupes ne partagent aucun individu. Peut-on en déduire un taux global de \(50\%\) ? Justifie avec deux tailles de groupes différentes.

Correction expliquée.

Non, les tailles manquent. Avec 40 personnes dans chaque groupe, on obtient \(10+30=40\) participants sur \(80\), soit \(50\%\). Avec 40 personnes dans le premier groupe et 120 dans le second, on obtient \(0{,}25\times40=10\) et \(0{,}75\times120=90\) participants. Le total est \(100/160=5/8=62{,}5\%\). Les mêmes deux taux peuvent donc produire des taux globaux différents. Critères de réussite. Une réponse possible précise que les taux ne suffisent pas, nomme les poids manquants et calcule un contre-exemple.

Piège et reprise — Faire la moyenne de deux pourcentages sans leurs poids

Erreur : annoncer \(27{,}5\%\) pour les deux antennes parce que \((30+25)/2=27{,}5\). La première erreur n’est pas l’addition, mais le choix d’une moyenne non pondérée.

Rappel et exemple simple. Un groupe de 10 personnes comporte 10 participants ; un autre groupe, disjoint, de 90 personnes n’en comporte aucun. Le taux global est \(10/(10+90)=10/100=10\%\), non la moyenne de \(100\%\) et \(0\%\), qui serait \(50\%\).

Nouvel essai. Regroupe deux groupes disjoints : 4 participants sur 10 et 6 sur 30. Correction : on additionne des effectifs de même nature : \((4+6)/(10+30)=10/40=1/4=25\%\). Retour aux antennes : les deux numérateurs sont 24 et 30, les deux totaux 80 et 120 ; le quotient global vaut bien \(54/200=27\%\).

À toi — À reprendre plus tard sans relire les méthodes

Dans une enquête fictive, 20 inscrits viennent le samedi et 30 le dimanche. Chaque personne est inscrite à un seul des deux jours. Parmi eux, respectivement 8 et 9 choisissent l’audio.

1. Quelle part de tous les inscrits vient le samedi et choisit l’audio ?

2. Quelle part des inscrits du samedi choisit l’audio ?

3. Quelle part des inscrits à l’audio vient le samedi ?

4. Compare les fréquences d’audio des deux jours et calcule la fréquence globale.

Indice, après une tentative : Trois populations possibles : tous les inscrits, ceux du samedi, ceux de l’audio. Pour la dernière question, reconstitue les effectifs totaux.

Correction expliquée.

Le total est \(20+30=50\) et l’audio compte \(8+9=17\) personnes. 1. \(8/50=16\%\). 2. \(8/20=2/5=40\%\). 3. \(8/17\approx0{,}47059\), soit environ \(47{,}1\%\). 4. Le dimanche, \(9/30=3/10=30\%\). L’audio est donc plus fréquent le samedi, de 10 points, bien que l’effectif 8 soit inférieur à 9. Globalement, \(17/50=34\%\), et non \((0{,}40+0{,}30)/2=0{,}35=35\%\). Critères de réussite. Chaque quotient possède une phrase de référence ; les approximations sont signalées ; le regroupement s’appuie sur les effectifs.

À retenir — Le bon quotient est celui qui répond à la question

Fréquence : partie divisée par le tout non nul. Comparaison : effectifs pour « combien », fréquences pour « quelle part dans chaque groupe ». Réunion : ajouter les effectifs de groupes disjoints avant de diviser, ou utiliser une moyenne pondérée. Toujours conclure avec le groupe décrit et ne pas transformer une différence observée en explication causale.

À toi — Avant de lire les barres

Un graphique porte le titre « Les ateliers les plus fréquentés ». Une barre de hauteur 12 et une barre de hauteur 18 y figurent, sans nom d’axe. Peut-on affirmer que 18 personnes ont choisi le deuxième atelier ? Que manque-t-il ?

Correction expliquée.

Non : 18 peut désigner un effectif, un pourcentage ou un autre nombre. Il faut connaître la grandeur représentée, son unité, les catégories, la population et la période concernées. Une hauteur seule n’a pas de sens statistique. Si tu as répondu automatiquement « 18 personnes », commence par la méthode ci-dessous : elle oblige à lire les étiquettes avant les formes.

Méthode — Lire un graphique avant de calculer

Premier geste. Relever le titre, la population, la période, les noms des axes et les unités.

1. Identifier ce qui est représenté : effectifs, fréquences, valeurs d’une grandeur.

2. Lire les graduations : leur pas est-il constant ? L’axe commence-t-il à zéro ? Les deux graphiques comparés utilisent-ils la même échelle ?

3. Associer chaque forme à sa catégorie à l’aide des étiquettes et de la légende.

4. Prélever les valeurs nécessaires ; distinguer une valeur écrite d’une lecture approchée entre deux graduations.

5. Rédiger une phrase avec la population et l’unité, puis contrôler sa cohérence.

Une source, une date et une méthode de collecte sont aussi nécessaires pour juger la portée d’une information réelle. Une représentation ne rend pas automatiquement fiables des données mal recueillies.

Définition — Diagrammes en barres et diagrammes circulaires

Dans un diagramme en barres, les catégories sont représentées par des rectangles séparés de même largeur ; leur hauteur, mesurée à partir de zéro, est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence indiqué sur l’axe.

Dans un diagramme circulaire, chaque catégorie occupe un secteur d’un disque. L’angle du secteur est proportionnel à sa fréquence. Les catégories doivent former un partage du même ensemble : aucune personne comptée deux fois, aucune personne oubliée.

Les barres facilitent la comparaison de catégories, même proches ; le disque met en évidence la répartition d’un tout. Des réponses multiples ne forment pas nécessairement un tel partage.

Propriété — Passer d’une fréquence à un angle

Pour une catégorie d’effectif \(n\) dans un ensemble d’effectif \(N>0\), l’angle du secteur correspondant vaut

Démonstration. Le disque entier correspond à la fréquence 1 et à l’angle \(360^\circ\). La proportionnalité qui définit la représentation donne donc \(\alpha/360^\circ=n/N\), d’où la formule. Si les catégories partagent tout l’ensemble, la somme de leurs fréquences vaut 1 ; la somme des angles vaut alors \(360^\circ\times1=360^\circ\).

Exemple — Deux représentations d’une session de 40 personnes

Chaque personne d’une session fictive a choisi un seul atelier : 12 en photo, 18 en audio et 10 en écriture. Le total est \(12+18+10=40\).

On vérifie \(30+45+25=100\) et \(108+162+90=360\).

Lecture du diagramme. Les trois barres partent de zéro et utilisent la même échelle. L’audio rassemble 6 personnes de plus que la photo, car \(18-12=6\). Les nombres sont écrits pour que l’information ne dépende pas des couleurs.

Lecture du disque. L’écriture occupe un quart du disque ; son angle est droit. L’audio occupe moins de la moitié. Le disque ne remplace pas le total : sans l’information « 40 personnes », \(45\%\) ne permettrait pas de retrouver l’effectif 18.

Exemple — Comparer des répartitions dans des groupes de tailles différentes

Dans cette même session, le matin compte 16 personnes et le soir 24 :

Pour comparer les répartitions et non seulement les effectifs, on peut construire deux barres de même longueur, chacune représentant \(100\%\) de son groupe. Le matin : \(4/16=25\%\), puis \(6/16=37{,}5\%\) deux fois. Le soir : \(8/24=1/3\), \(12/24=1/2\), \(4/24=1/6\).

Description. Les segments se suivent dans l’ordre photo, audio, écriture. La part de l’audio est plus grande le soir : une moitié contre \(37{,}5\%\) le matin. Les barres entières ont la même longueur mais ne représentent pas le même nombre de personnes. Leur longueur totale ne permet donc pas de comparer 16 et 24.

Piège et reprise — Quand le dessin donne une impression trompeuse

Une barre allant de 90 à 100 et une autre de 90 à 110 ont des hauteurs visibles 10 et 20. Elles semblent dans le rapport 1 à 2, alors que les valeurs \(100\) et \(110\) sont dans le rapport \(100/110\), pas \(1/2\). Pour comparer les longueurs de barres, on prend donc zéro comme origine. Une rupture d’échelle doit être signalée et interdit de lire naïvement des rapports de hauteurs.

Deux disques peuvent montrer la même part de \(40\%\) dans des groupes de 20 et de 50 personnes. Les effectifs sont pourtant \(0{,}40\times20=8\) et \(0{,}40\times50=20\). La surface apparente d’un dessin ne renseigne sur la taille de la population que si cette convention est explicitement annoncée et correctement respectée.

Définition — Classes de valeurs et aires des rectangles

Pour un caractère quantitatif regroupé en intervalles, un histogramme représente chaque classe par un rectangle dont la base est cet intervalle. Les rectangles des classes contiguës se touchent. Ce sont leurs aires, et non nécessairement leurs hauteurs, qui sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

Une construction possible prend comme hauteur \(\text{effectif}/\text{largeur de classe}\). En effet, \(\text{aire}=\text{largeur}\times\text{hauteur}\) redonne alors l’effectif. On parle de densité d’effectif. Si toutes les classes ont la même largeur, les hauteurs sont elles aussi proportionnelles aux effectifs.

Exemple — Une classe deux fois plus large

Dans une étude fictive de 20 visites, les durées sont regroupées ainsi :

La durée 10 appartient à la deuxième classe et 30 à la troisième. La borne 40 est incluse dans la dernière classe.

Description et contrôle. Le rectangle central a une base de 20 minutes et une hauteur de \(0{,}6\) visite par minute. Son aire représente \(20\times0{,}6=12\) visites. Son effectif est trois fois celui du premier rectangle, mais sa hauteur n’est que \(0{,}6/0{,}4=1{,}5\) fois plus grande. Confondre hauteur et effectif ferait perdre le rôle de la largeur.

À toi — Construire avec un contrôle à chaque étape

Une autre session de 20 personnes se répartit entre photo (8), audio (7) et écriture (5). Calculer les trois fréquences, puis les angles d’un diagramme circulaire. Quelle représentation choisir pour comparer facilement les effectifs 8 et 7 ? Indice, après une tentative : Commencer par contrôler \(8+7+5\). Une fréquence est l’effectif de la catégorie divisé par 20.

Correction expliquée.

Le total est \(8+7+5=20\).

À toi — Quelle présentation pour les 24 prêts ?

Pour une journée fictive, on relève 14 romans, 6 bandes dessinées et 4 documentaires empruntés. Chaque prêt appartient à une seule catégorie. Présenter ces données pour que l’on compare facilement les nombres de prêts. Donner aussi les angles si l’on souhaite représenter le partage du total. Préparer le dessin sur papier avant de consulter la correction. Indice, après une tentative : Le choix d’un graphique dépend de ce que l’on souhaite comparer. Pour les angles, garder les fractions exactes jusqu’au produit par 360.

Correction expliquée.

Un diagramme en barres convient : axe vertical « Nombre de prêts », gradué régulièrement à partir de zéro, trois barres de même largeur et de hauteurs 14, 6 et 4, étiquetées avec les trois catégories. Le titre peut être « Répartition des 24 prêts de la journée étudiée ». Le total est bien \(14+6+4=24\).

À toi — Quand faut-il refuser un disque ?

Une enquête autorise plusieurs réponses. Parmi 20 personnes, 12 souhaitent un atelier photo et 10 souhaitent un atelier audio. Un élève propose un disque composé de \(60\%\) de photo et de \(50\%\) d’audio. Expliquer précisément le problème et proposer une autre représentation.

Correction expliquée.

Les fréquences \(12/20=60\%\) et \(10/20=50\%\) sont correctes pour chaque question. Mais elles totalisent \(110\%\) : les deux groupes ne forment pas un partage des 20 personnes. Certaines peuvent avoir choisi les deux ateliers. Un disque serait trompeur. Deux barres peuvent représenter 12 et 10, à condition d’écrire « Plusieurs réponses possibles, 20 répondants ». Critères de réussite. Ne pas déclarer les deux pourcentages faux ; identifier le chevauchement ; justifier l’impossibilité d’un partage et proposer une représentation adaptée.

Piège et reprise — Réparer : un pourcentage n’est pas un angle

Première erreur. « \(25\%\) correspond à un secteur de \(25^\circ\). » Le nombre 25 est rapporté à 100 pour le pourcentage, alors qu’un tour complet mesure \(360^\circ\).

Rappel et exemple plus simple. La moitié d’un tout correspond à \(50\%=1/2\), donc à \(360^\circ/2=180^\circ\), pas \(50^\circ\).

Nouvel essai. Quel angle représente \(10\%\) ?

Correction expliquée.

\(10\%=10/100=1/10\), donc l’angle vaut \(360^\circ\times1/10=36^\circ\). Retour. Pour \(25\%=1/4\), l’angle est \(360^\circ/4=90^\circ\). Reprendre maintenant les trois angles des 24 prêts et contrôler leur somme avant de relire leur correction.

À toi — À reprendre un autre jour, sans relire

Dix personnes ont chacune choisi une seule activité : 2 photo, 3 audio, 5 écriture. Construire un diagramme au choix, expliquer ce choix et fournir les angles d’un diagramme circulaire. Indice, après une tentative : Le total vaut 10. Un dixième de disque mesure \(36^\circ\).

Correction expliquée.

Des barres de hauteurs 2, 3 et 5 facilitent la comparaison des effectifs. Un disque représente aussi correctement ce partage, de fréquences \(20\%\), \(30\%\), \(50\%\). Les angles sont \(2\times36^\circ=72^\circ\), \(3\times36^\circ=108^\circ\) et \(5\times36^\circ=180^\circ\). On contrôle \(72+108+180=360\). Le nom des activités, le total 10 et la nature des valeurs doivent apparaître.

À toi — Le centre n’est pas toujours une valeur observée

Quatre durées, en minutes, sont relevées dans cet ordre : 12 ; 4 ; 10 ; 6. Les classer par ordre croissant. Quels sont les deux nombres centraux ? Leur moyenne est-elle obligatoirement une durée observée ?

Correction expliquée.

La série ordonnée est \(4\ ;6\ ;10\ ;12\). Les deux nombres centraux sont 6 et 10. Leur moyenne est \((6+10)/2=8\), qui n’est pas une durée observée. Si tu as pris 4 et 10, tu as repéré le milieu de la liste non triée : la définition de la médiane ci-dessous demande d’abord de trier.

Définition — Moyenne d’une série et moyenne pondérée

Pour \(N>0\) observations \(x_1,\ldots,x_N\), la moyenne est

Propriété — Pourquoi pondérer par les effectifs ?

La formule pondérée donne exactement la même moyenne que le calcul sur toutes les observations, lorsque chaque valeur et son effectif sont connus.

Démonstration. Dans la somme des observations, la valeur \(v_1\) apparaît \(n_1\) fois. La somme de ces termes est donc \(n_1v_1\). Il en va de même pour chaque autre valeur. En regroupant les termes égaux, la somme totale devient \(n_1v_1+\cdots+n_kv_k\). Le nombre d’observations reste \(N\) ; on divise donc la même somme par le même effectif, ce qui prouve l’égalité.

Intuition — La moyenne comme partage égal

Si des durées étaient des quantités que l’on pouvait redistribuer, la moyenne serait la quantité reçue par chacun dans un partage égal qui conserve le total. Par exemple, un total de 72 minutes réparti entre 8 personnes donne \(72/8=9\) minutes par personne.

Cette image explique le calcul et son contrôle : \(8\times9=72\). Sa limite est importante : les personnes n’ont pas réellement toutes eu la même durée, et aucune n’a nécessairement eu exactement 9 minutes.

Définition — Médiane : trier, puis chercher le centre

On range les \(N\) observations dans l’ordre croissant, en conservant les répétitions.

• Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur centrale, de rang \((N+1)/2\).

• Si \(N\) est pair, on prend ici comme médiane la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs \(N/2\) et \(N/2+1\).

Cette convention assure qu’au moins la moitié des observations sont inférieures ou égales à la médiane et au moins la moitié supérieures ou égales. Les répétitions empêchent parfois de partager en deux groupes de valeurs strictement inférieures et strictement supérieures.

Justification. Dans le cas impair, il y a autant de positions de chaque côté de la position centrale. Dans le cas pair, la moyenne des deux valeurs centrales se situe entre elles : les \(N/2\) premières valeurs sont donc en dessous ou égales, les \(N/2\) dernières au-dessus ou égales.

Définition — Quartiles, rangs et étendue

Pour une série ordonnée de \(N>0\) observations, on utilise ici la convention scolaire :

• le premier quartile \(Q_1\) est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à \(N/4\) ;

• le troisième quartile \(Q_3\) est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à \(3N/4\) ;

• l’étendue est la différence « maximum moins minimum ».

Ainsi, au moins un quart des observations sont inférieures ou égales à \(Q_1\), et au moins trois quarts sont inférieures ou égales à \(Q_3\) : les rangs choisis assurent ces nombres d’observations.

Attention. Le rang est une position, pas la valeur du quartile. Certains logiciels utilisent d’autres conventions et des interpolations : il faut vérifier leur réglage avant de comparer des résultats.

Exemple — Une série complète, du tableau au diagramme en boîte

Huit durées de consultation fictives, en minutes, sont déjà ordonnées :

Moyenne. Le total des effectifs vaut \(1+2+1+1+2+1=8\).

Médiane. L’effectif 8 est pair. Les rangs centraux sont \(8/2=4\) et \(4+1=5\) : les valeurs sont 8 et 10. La médiane vaut \((8+10)/2=18/2=9\) minutes.

Quartiles. \(8/4=2\) : \(Q_1\) est la deuxième valeur, soit 6. \(3\times8/4=6\) : \(Q_3\) est la sixième valeur, soit 12. Étendue. \(14-4=10\) minutes.

Un diagramme en boîte représente ici le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum sur un axe gradué. Les moustaches vont ici jusqu’aux valeurs extrêmes ; d’autres conventions existent dans les logiciels.

Description. La boîte s’étend de 6 à 12 minutes, le trait de médiane est à 9 minutes, et les moustaches atteignent 4 et 14 minutes. La moyenne n’est pas représentée par ce diagramme : son égalité avec la médiane dans cet exemple ne vaut pas pour toutes les séries.

Méthode — Choisir et calculer un indicateur

Premier geste. Écrire l’effectif total et l’unité. Pour les rangs, trier toutes les observations. Pour une moyenne, calculer le total, en tenant compte de chaque effectif, puis diviser par le nombre d’observations. Pour une médiane ou un quartile, calculer les rangs, puis lire les valeurs à ces rangs. Pour l’étendue, soustraire les deux extrêmes.

Contrôles. La moyenne et la médiane se situent entre le minimum et le maximum ; l’étendue est positive ou nulle. Les valeurs centrales ne sont pas des positions. Une réponse numérique doit être suivie d’une phrase d’interprétation. Choisir ensuite l’indicateur selon la question : la moyenne renseigne sur un total par individu ; la médiane situe le centre de la série ordonnée ; les quartiles et l’étendue apportent une information de dispersion.

Propriété — Une moyenne est comprise entre les extrêmes

Si toutes les valeurs d’une série non vide sont comprises entre \(m\) et \(M\), alors \(m\leqslant\overline{x}\leqslant M\).

Démonstration. Chaque observation est au moins \(m\). La somme des \(N\) observations est donc au moins \(Nm\). De même, elle est au plus \(NM\). En divisant ces deux inégalités par l’effectif \(N>0\), leur sens est conservé :

À toi — Suivre les étapes sur cinq observations

On relève les durées, en minutes, \(3\ ;5\ ;5\ ;7\ ;10\). Calculer la moyenne, la médiane, les deux quartiles et l’étendue. Indice, après une tentative : La série est triée. Pour les quartiles, \(5/4=1{,}25\) et \(15/4=3{,}75\) : chercher à chaque fois le plus petit rang entier qui n’est pas inférieur.

Correction expliquée.

Le total vaut \(3+5+5+7+10=30\). La moyenne vaut \(30/5=6\) minutes. L’effectif 5 est impair : le rang central est \((5+1)/2=3\), donc la médiane est la troisième valeur, 5 minutes. Le rang de \(Q_1\) est 2, car \(1<1{,}25\leqslant2\) : \(Q_1=5\). Le rang de \(Q_3\) est 4, car \(3<3{,}75\leqslant4\) : \(Q_3=7\). L’étendue vaut \(10-3=7\) minutes. Moyenne et médiane sont comprises entre 3 et 10, mais elles sont différentes : 6 et 5.

À toi — Un bilan à produire et à représenter

Les durées de six consultations, en minutes, sont \(5\ ;13\ ;2\ ;8\ ;3\ ;5\). Déterminer moyenne, médiane, quartiles et étendue. Dessiner ensuite un diagramme en boîte avec moustaches aux extrêmes. Expliquer ce que représente le trait intérieur de la boîte. Indice, après une tentative : Ne pas chercher les positions centrales avant d’avoir trié. Les deux occurrences de 5 restent deux observations.

Correction expliquée.

La série triée est \(2\ ;3\ ;5\ ;5\ ;8\ ;13\). La somme vaut \(2+3+5+5+8+13=36\), d’où une moyenne \(36/6=6\) minutes. L’effectif est pair : les valeurs des rangs 3 et 4 sont toutes deux 5. La médiane vaut donc \((5+5)/2=5\) minutes. \(6/4=1{,}5\), donc \(Q_1\) est de rang 2 et vaut 3 ; \(3\times6/4=4{,}5\), donc \(Q_3\) est de rang 5 et vaut 8. L’étendue est \(13-2=11\) minutes.

Le dessin doit avoir une boîte de 3 à 8, un trait intérieur à 5 et des moustaches allant à 2 et 13 sur un même axe gradué. Le trait représente la médiane 5, et non la moyenne 6. Au moins la moitié des consultations durent au plus 5 minutes et au moins la moitié durent au moins 5 minutes. Critères de réussite. Tri complet ; répétitions conservées ; effectif 6 ; calculs avec unités ; rangs séparés des valeurs ; diagramme cohérent avec les cinq valeurs caractéristiques.

À toi — Une valeur extrême change : que devient le bilan ?

Dans la série de référence \(4\ ;6\ ;6\ ;8\ ;10\ ;12\ ;12\ ;14\), remplacer la dernière durée 14 par 50. Sans tout recalculer inutilement, étudier ce qui change pour la moyenne, la médiane, les quartiles et l’étendue. Quel indicateur utiliser pour décrire le centre ? Justifier une réponse nuancée.

Correction expliquée.

L’effectif reste 8. Le total passe de 72 à \(72-14+50=58+50=108\). La moyenne devient \(108/8=13{,}5\) minutes. Les valeurs des rangs 2, 4, 5 et 6 sont inchangées : \(Q_1=6\), médiane \((8+10)/2=9\) et \(Q_3=12\). L’étendue devient \(50-4=46\) minutes.

La moyenne tient compte de la forte durée 50 : elle est utile si l’on veut connaître le temps total par consultation. La médiane 9 décrit un centre moins affecté par cette observation extrême. Aucun indicateur ne raconte à lui seul toute la série. On peut annoncer médiane et étendue, ou moyenne et quartiles, selon la question posée ; il faut expliquer ce choix. Critères de réussite. Identifier les rangs inchangés ; recalculer le total correctement ; ne pas conclure que la moyenne est « fausse » parce qu’elle est sensible aux extrêmes.

Piège et reprise — Un regroupement en classes fait perdre de l’information

Reprenons les 20 durées regroupées en \([0;10[\), \([10;30[\) et \([30;40]\), d’effectifs 4, 12 et 4. Les durées précises ne sont pas connues. Remplacer toutes les durées par les centres des classes, 5, 20 et 35, donne une estimation de la moyenne :

Piège et reprise — Réparer : ne pas confondre rang et valeur

Première erreur. Pour huit observations, on calcule \(3\times8/4=6\) et on écrit immédiatement « \(Q_3=6\) ». Le calcul a fourni la position du troisième quartile, pas sa valeur.

Rappel et exemple plus simple. Dans la série \(1\ ;3\ ;8\ ;10\), le rang de \(Q_3\) est \(3\times4/4=3\). La troisième valeur est 8 : le quartile vaut 8, pas 3.

Nouvel essai. Trouver \(Q_3\) dans la série \(2\ ;4\ ;5\ ;7\ ;9\ ;11\ ;13\ ;16\).

Correction expliquée.

Il y a 8 valeurs ; le rang est 6. En comptant les positions depuis la gauche, on lit 11 à la sixième position. Ainsi \(Q_3=11\). Retour. Dans la série de référence des huit durées, la sixième valeur est 12, donc \(Q_3=12\). Refaire ensuite les quartiles de la série à six observations sans lire leur correction.

À toi — À reprendre plus tard avant toute relecture

Six personnes déclarent respectivement avoir consulté \(2\ ;6\ ;1\ ;9\ ;2\ ;4\) documents. Présenter moyenne, médiane, quartiles et étendue. Peut-on retrouver la somme à partir de la moyenne et de l’effectif ? Justifier. Indice, après une tentative : Trier pour les rangs ; garder les deux valeurs égales à 2. Pour le contrôle de la somme, repartir de la définition de la moyenne.

Correction expliquée.

La série ordonnée est \(1\ ;2\ ;2\ ;4\ ;6\ ;9\) ; sa somme vaut \(1+2+2+4+6+9=24\). La moyenne est \(24/6=4\) documents par personne. La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 3 et 4 : \((2+4)/2=3\). Les rangs des quartiles sont 2 et 5, donc \(Q_1=2\) et \(Q_3=6\). L’étendue vaut \(9-1=8\) documents. Par définition, moyenne \(=\) somme divisée par effectif ; en multipliant les deux membres par l’effectif non nul, on retrouve somme \(=\) moyenne \(\times\) effectif. Ici \(4\times6=24\) documents. Critères de réussite. Ne pas confondre médiane 3 et moyenne 4 ; expliquer les rangs ; donner des unités et un contrôle de la somme.

À retenir — Ce qu’une bonne présentation doit préserver

Graphiques : catégories et unités identifiées ; échelles lisibles ; barres pour comparer ; secteurs pour un partage ; aires des rectangles dans un histogramme. Un beau dessin ne remplace pas les conditions de construction.

Indicateurs : moyenne pour un total par observation, médiane pour le centre de la série ordonnée, quartiles et étendue pour mieux décrire la dispersion. Toujours conserver les répétitions, distinguer rang et valeur, et annoncer une estimation comme telle. Deux séries peuvent avoir la même moyenne sans avoir la même répartition.

À toi — Deux questions courtes

1. L’axe horizontal représente une masse en kilogrammes et l’axe vertical une durée en minutes. Que signifie le point \(A(4\,;7)\) ?

2. Quelle est la moyenne des trois durées \(4\), \(6\) et \(8\) minutes ? Écris le calcul.

Correction expliquée.

1. Le premier nombre est l’abscisse, lue horizontalement : la masse vaut \(4\) kg. Le deuxième est l’ordonnée, lue verticalement : la durée vaut \(7\) min. Ce sont les deux informations d’une même observation.

2. On additionne les trois durées, puis on partage leur total entre les trois observations :

Si l’ordre des coordonnées te bloque, reprends le mode de placement de la première méthode ci-dessous. Si la division par \(3\) te bloque, la partie Calculer un point moyen reprend le sens de la moyenne.

Définition — Série à deux caractères quantitatifs et nuage

On relève deux grandeurs numériques \(x\) et \(y\) sur les mêmes individus. Pour le premier individu, on obtient le couple \((x_1\,;y_1)\) ; pour le deuxième, \((x_2\,;y_2)\) ; et ainsi de suite.

Le nuage de points associé est l’ensemble des points \(M_1(x_1\,;y_1)\), \(M_2(x_2\,;y_2)\), etc., placés dans un repère. Le petit indice \(1\), \(2\), etc. sert à retrouver l’individu ; ce n’est pas un exposant.

Le premier caractère est porté par l’axe horizontal, le second par l’axe vertical. Une inversion des axes est possible si elle est annoncée et appliquée à tous les couples.

Intuition — Un point est une fiche à deux cases

Imagine une fiche portant « masse : \(3\) kg ; durée : \(4\) min ». Placer le point \((3\,;4)\) range cette fiche dans le repère : son emplacement conserve ses deux informations.

Cette image rappelle de ne pas séparer les deux valeurs. Elle a une limite : plusieurs fiches peuvent aboutir au même point si leurs deux mesures sont identiques. Un dessin ne montre pas toujours combien de fiches se superposent. La définition reste celle d’un couple de coordonnées.

Méthode — Construire et contrôler un nuage

Premier geste. Nommer les deux grandeurs et leurs unités ; écrire ce que représentera chaque axe.

1. Garder ensemble les valeurs d’une même ligne du tableau.

2. Choisir deux axes et des graduations régulières. Les unités sur les deux axes peuvent être différentes : \(1\) cm sur le papier n’a pas à représenter la même quantité horizontalement et verticalement.

3. Pour un couple \((x\,;y)\), repérer d’abord \(x\) sur l’axe horizontal, puis monter ou descendre jusqu’à la hauteur \(y\).

4. Placer un point ou une petite croix à cette intersection. Recommencer pour chaque couple.

5. Écrire un titre informatif et le nom de chaque grandeur avec son unité. Contrôler au moins un couple en relisant le point dans les deux sens.

Ne pas relier les points dans l’ordre des individus : l’ordre d’un fichier n’a pas forcément de sens. Dans une série chronologique, une ligne reliant les dates peut aider à suivre l’évolution ; elle constitue alors un choix explicite de représentation, pas la définition d’un nuage.

Un axe peut commencer ailleurs qu’à \(0\) pour mieux voir les données, à condition de rendre ses graduations évidentes. Il ne faut alors pas confondre la pente visible sur le papier avec une grandeur indépendante des échelles.

Exemple — Six colis, deux mesures par colis

On note \(x\) la masse d’un colis, en kg, et \(y\) sa durée de préparation, en min.

Pour le colis C, les deux informations sont \(x=3\) et \(y=4\). On part de \(3\) kg sur l’axe horizontal et on rejoint la hauteur \(4\) min : on place \(C(3\,;4)\), et non \(C(4\,;3)\).

Lecture du dessin. Les six points sont \((1\,;3)\), \((2\,;5)\), \((3\,;4)\), \((4\,;8)\), \((5\,;9)\) et \((6\,;10)\). Les pointillés montrent comment lire les deux coordonnées de C. Les points sont globalement plus hauts vers la droite : une tendance croissante apparaît.

Ce n’est pourtant pas une croissance parfaite de toutes les observations : de B à C, la masse passe de \(2\) à \(3\) kg, mais la durée baisse de \(5\) à \(4\) min. Le nuage décrit donc une tendance, non la règle « chaque colis plus lourd prend plus de temps ».

Contrôle. Le point F se relit \(6\) kg et \(10\) min, ce qui retrouve la dernière colonne. Ce contrôle vérifie ce placement, pas toutes les données ni une relation de cause à effet.

Définition — Décrire une tendance sans en dire trop

Un nuage peut avoir une tendance croissante, décroissante, une forme courbe ou aucune tendance simple visible. Sa dispersion décrit l’étalement des points autour de la forme générale. Un point très éloigné du groupe principal est une observation atypique.

Ces descriptions sont qualitatives : on ne calcule pas ici d’indicateur de corrélation. Une observation atypique peut être une erreur de saisie, mais aussi une donnée réelle intéressante. On vérifie sa provenance avant de décider de l’exclure.

À toi — Essai guidé : passer du tableau au dessin

Deux grandeurs \(x\) (en cm) et \(y\) (en g) ont été mesurées sur trois objets :

Correction expliquée.

L’axe horizontal porte \(x\) en cm ; l’axe vertical porte \(y\) en g. Le premier point se place à \(2\) cm horizontalement et à \(9\) g verticalement. Les suivants sont à \((4\,;6)\) et \((6\,;3)\).

Quand \(x\) augmente de \(2\) à \(4\), \(y\) diminue de \(9\) à \(6\) ; puis \(x\) augmente de \(4\) à \(6\) et \(y\) diminue de \(6\) à \(3\). La tendance est décroissante. Les unités de \(x\) et \(y\) restent distinctes. Critères de réussite. Je conserve chaque couple, je nomme les axes et je justifie la tendance par une lecture des deux grandeurs.

À toi — À tenter avant de consulter

Les longueurs et masses de quatre objets sont :

1. Place le nuage avec la longueur horizontalement. 2. Deux objets ont-ils nécessairement la même masse lorsqu’ils ont la même longueur ? 3. Justifie pourquoi relier A, B, C puis D ne donnerait pas une courbe d’évolution dans le temps. Indice, après une tentative : A et C ont la même abscisse. Le tableau ne contient aucune date.

Correction expliquée.

Les quatre points sont \(A(10\,;2)\), \(B(20\,;3)\), \(C(10\,;5)\) et \(D(30\,;4)\). A et C se trouvent sur la même verticale \(x=10\), l’un à la hauteur \(2\), l’autre à la hauteur \(5\).

Ainsi, une longueur de \(10\) cm correspond ici à deux masses différentes. Le nuage ne représente pas nécessairement une fonction donnant une masse unique pour chaque longueur. Relier les lettres suivrait seulement l’ordre du tableau ; aucun écoulement du temps n’est indiqué. Critères de réussite. Je place les deux points d’abscisse \(10\) sans les confondre ; ma justification cite l’absence de variable temporelle et la présence d’individus distincts.

À toi — Pourquoi ne pas trier les colonnes séparément ?

Deux observations sont \(A(1\,;8)\) et \(B(4\,;2)\). Une personne trie chaque colonne par ordre croissant et obtient \((1\,;2)\) et \((4\,;8)\). A-t-elle conservé le nuage ? Justifie précisément. Indice, après une tentative : Quelle valeur de \(y\) était associée à \(x=1\) avant le tri ?

Correction expliquée.

Non. Avant le tri, \(x=1\) était associé à \(y=8\) ; après, il est associé à \(y=2\). Les couples ne correspondent plus aux mêmes individus. Le nuage initial descend de \((1\,;8)\) à \((4\,;2)\) ; le nouveau monte de \((1\,;2)\) à \((4\,;8)\).

On peut trier des lignes entières selon \(x\) : leurs deux valeurs voyagent ensemble. Trier indépendamment les deux colonnes détruit l’appariement. Critères de réussite. Ma réponse identifie au moins un couple modifié et distingue tri des lignes et tri indépendant des colonnes.

Piège et reprise — Réparer une inversion de coordonnées

Première erreur. Pour un colis de \(3\) kg préparé en \(4\) min, placer \((4\,;3)\) alors que l’axe horizontal porte la masse. L’erreur apparaît avant le dessin : les rôles des deux nombres ont été inversés.

Rappel ciblé. Dans \((x\,;y)\), \(x\) est horizontal et \(y\) vertical. Pour l’exemple plus simple « masse \(1\) kg ; durée \(2\) min », le point est \((1\,;2)\) : une unité vers la droite, deux unités vers le haut.

Nouvel essai. Avec les mêmes axes, où places-tu un colis de \(2\) kg préparé en \(7\) min ?

Correction expliquée.

La masse donne l’abscisse \(2\) et la durée donne l’ordonnée \(7\) : on place \((2\,;7)\). En relisant le dessin, on doit retrouver \(2\) kg et \(7\) min.

Retour. Pour le colis initial, les mêmes rôles donnent \((3\,;4)\). Si tu choisis d’inverser les axes, tu dois aussi inverser leurs titres et tous les couples, pas un point isolé.

À toi — À reprendre plus tard, avant relecture

Pour trois objets, on connaît les couples « longueur en cm ; masse en g » : \((2\,;8)\), \((5\,;5)\), \((7\,;3)\). Dessine le nuage, nomme les axes et décris la tendance. Peut-on affirmer que réduire la longueur d’un objet provoque automatiquement une augmentation de sa masse ? Indice, après une tentative : Distingue une association dans ces trois observations d’une expérience où l’on modifierait un objet.

Correction expliquée.

Les points se placent à \(2\) cm et \(8\) g, à \(5\) cm et \(5\) g, puis à \(7\) cm et \(3\) g. Ils sont exactement sur la droite \(y=10-x\) dans ce jeu de données, mais il suffit ici de constater qu’ils descendent de gauche à droite. On observe une association décroissante entre longueur et masse.

Ces objets peuvent avoir des matériaux ou des formes différents. Le tableau ne dit pas ce qui arriverait si l’on modifiait un objet donné ; il ne prouve donc pas la causalité annoncée. Critères de réussite. Je garde les couples et les unités ; je sépare la description du nuage d’une affirmation causale.

Définition — Deux moyennes, un point

Pour \(n\) observations, avec \(n\) entier strictement positif, le point moyen du nuage est

Les points de suspension signifient que l’on additionne toutes les valeurs jusqu’à la \(n\)-ième. On calcule les deux moyennes séparément, sur les mêmes observations complètes. On n’additionne pas des kilogrammes et des minutes.

Intuition — Répartir séparément les deux totaux

Pour comprendre la moyenne des masses, imagine que l’on puisse répartir équitablement la masse totale entre les colis. Chaque colis recevrait alors \(\overline{x}\) kg. Refaire le partage des durées donne \(\overline{y}\) min.

Cette représentation explique la division de chaque total par le nombre de colis. Elle ne fabrique pas un colis réel possédant nécessairement les deux valeurs moyennes : \(G\) est un résumé calculé, pas forcément une observation.

Méthode — Calculer sans mélanger les colonnes

Premier geste. Compter les couples complets et annoncer ce que représente chaque somme. Additionner toutes les abscisses, puis diviser par le nombre d’observations. Recommencer indépendamment avec toutes les ordonnées. Écrire ensuite le point dans l’ordre \((\overline{x}\,;\overline{y})\).

Vérifier que chaque moyenne se trouve entre les plus petite et plus grande valeurs de sa colonne. Recomposer les totaux : le nombre d’observations multiplié par la moyenne doit redonner la somme correspondante, à l’arrondi près.

Si une valeur manque, ne la remplacer ni par \(0\) ni par une valeur inventée. Pour le point moyen du nuage réellement tracé, retenir les observations dont les deux mesures sont disponibles, et annoncer ce choix.

Exemple — Point moyen des six colis

Les masses sont \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) kg et les durées correspondantes \(3\), \(5\), \(4\), \(8\), \(9\), \(10\) min. Il y a six couples.

Contrôles calculés. \(6\times3{,}5=21\) et \(6\times6{,}5=39\) redonnent les deux totaux. On a également \(1\leq3{,}5\leq6\) et \(3\leq6{,}5\leq10\).

Aucun colis de ce tableau ne pèse \(3{,}5\) kg : le point moyen n’est pas l’un des six points observés. Cela n’est pas une erreur. Sa fonction est de résumer le nuage.

Propriété — Les moyennes restent dans les bornes

La moyenne d’une liste non vide de nombres est comprise entre le plus petit et le plus grand de ces nombres. Le point moyen se trouve donc dans le rectangle délimité par les valeurs extrêmes des deux coordonnées.

À toi — Essai guidé : deux sommes

Trois observations sont \((2\,;1)\), \((4\,;7)\) et \((6\,;4)\). Calcule leur point moyen en complétant :

Correction expliquée.

La somme des abscisses est \(2+4+6=6+6=12\). Celle des ordonnées est \(1+7+4=8+4=12\). Les deux moyennes sont

À toi — À tenter avant de consulter

Calcule le point moyen de

Correction expliquée.

Il y a quatre couples, donc quatre abscisses et quatre ordonnées :

\(G\) n’est aucun des quatre points listés. Rien dans sa définition n’impose qu’il soit observé. Critères de réussite. Je compte les couples, je distingue les deux sommes et j’interprète \(G\) comme un résumé, non comme un individu obligatoire.

Proposition — Tenir compte des répétitions

Si un couple \((a\,;b)\) apparaît \(r\) fois, il contribue \(ra\) à la somme des abscisses et \(rb\) à la somme des ordonnées. Une ligne résumant plusieurs individus doit donc être pondérée par son effectif.

À toi — Une ligne n’est pas toujours un individu

Un tableau résume quatre observations : le couple \((2\,;3)\) apparaît trois fois et le couple \((4\,;9)\) une fois.

1. Calcule le point moyen. 2. Une personne propose \((3\,;6)\) en faisant la moyenne des deux lignes. Localise son erreur et explique-la. Indice, après une tentative : Écris d’abord les quatre couples, ou multiplie chaque coordonnée par son effectif.

Correction expliquée.

Les quatre couples sont \((2\,;3)\), \((2\,;3)\), \((2\,;3)\), \((4\,;9)\). Le total des effectifs est \(3+1=4\) :

Justification possible. Le couple répété trois fois doit compter trois fois dans les sommes et trois fois dans l’effectif. Les deux lignes ne résument pas des groupes de même taille. Critères de réussite. Ma justification identifie les effectifs et leur rôle à la fois au numérateur et au dénominateur.

À toi — Un même point moyen signifie-t-il un même nuage ?

Compare les séries \(\{(1\,;8),(4\,;2)\}\) et \(\{(1\,;2),(4\,;8)\}\). Calcule leur point moyen, puis décide si ce résumé permet de retrouver la tendance.

Correction expliquée.

Dans les deux séries, la somme des abscisses est \(1+4=5\) et celle des ordonnées \(8+2=10\). Il y a deux points :

Piège et reprise — Réparer la confusion moyenne et milieu des extrêmes

Première erreur. Pour les trois abscisses \(1\), \(1\), \(7\), écrire \((1+7)/2=4\) comme moyenne. Ce calcul ne tient pas compte de toutes les observations ; il calcule le milieu entre les valeurs extrêmes.

Rappel ciblé et exemple simple. La moyenne de \(2\), \(2\), \(5\) est

Nouvel essai. Calcule la moyenne de \(3\), \(3\), \(9\) avant de lire.

Correction expliquée.

Il y a trois valeurs, de somme \(3+3+9=6+9=15\). Leur moyenne est \(15/3=5\). Le contrôle \(3\times5=15\) retrouve le total.

Retour. Pour \(1\), \(1\), \(7\), la somme vaut \(1+1+7=9\) ; la moyenne est \(9/3=3\), non \(4\). Pour un point moyen, cette même règle doit être appliquée indépendamment aux deux coordonnées.

À toi — À reprendre plus tard : calcul et sens

Sans relire le modèle, calcule le point moyen de

Correction expliquée.

Les quatre observations comptent, y compris celle d’abscisse \(0\) :

À retenir — Ce que ces deux outils disent — et ne disent pas

• Un point conserve les deux mesures d’un même individu. Le nuage rend visibles tendance, dispersion et observations atypiques.

• Les couples doivent rester appariés ; deux colonnes triées séparément peuvent donner une conclusion contraire.

• Le point moyen est \(G(\overline{x}\,;\overline{y})\), avec une moyenne par colonne et les bons effectifs.

• Une moyenne n’est pas nécessairement observée ; un même point moyen peut correspondre à des nuages très différents.

• Décrire une association n’établit ni une proportionnalité exacte ni une causalité.

À toi — Calculer une image et reconnaître une forme

1. Pour \(f(x)=2x+3\), calcule \(f(4)\). 2. Trouve le nombre \(x\) tel que \(2x+3=11\). 3. Les points \((0\,;0)\), \((1\,;1)\), \((2\,;4)\), \((3\,;9)\) suggèrent-ils une droite ou une forme qui se courbe ?

Correction expliquée.

1. \(f(4)=2\times4+3=8+3=11\) : on a remplacé \(x\) par \(4\).

2. Pour enlever le \(+3\), on soustrait \(3\) aux deux membres :

3. Quand \(x\) augmente chaque fois de \(1\), les augmentations de \(y\) sont \(1-0=1\), \(4-1=3\) et \(9-4=5\). Elles grandissent : une courbure apparaît. Une droite n’est pas une règle exacte pour ces quatre points, et un ajustement affine décrit mal cette courbure marquée.

Si les deux premiers calculs bloquent, les rappels suivants reprennent la substitution et les coefficients d’une droite. Si c’est la troisième question, commence par regarder la forme du nuage avant de choisir un modèle.

Définition — Fonction affine : le rappel utile

Une fonction affine s’écrit \(f(x)=ax+b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite non verticale.

\(a\) est le coefficient directeur : quand \(x\) augmente de \(1\), la valeur prévue varie de \(a\) ; si \(a<0\), elle diminue. Par exemple, \(a=-2\) correspond à une diminution de \(2\) unités. \(b=f(0)\) est l’ordonnée à l’origine.

Le cas \(a=0\) donne une fonction constante. Le cas \(b=0\) donne une fonction linéaire \(f(x)=ax\), donc une situation de proportionnalité. Une fonction affine n’est pas nécessairement linéaire.

Propriété — Une même variation de \(x\) produit une même variation prévue

Pour une fonction affine \(f(x)=ax+b\) et deux nombres \(x_1,x_2\),

Propriété — Déterminer une droite avec deux points

Si \(P(x_1\,;y_1)\) et \(Q(x_2\,;y_2)\) ont des abscisses différentes, il existe une unique fonction affine dont la droite passe par ces deux points. Ses coefficients sont

Méthode — Le calcul des coefficients, pas à pas

Premier geste. Écrire les deux couples, puis calculer la variation verticale et la variation horizontale dans le même ordre. Pour \(P(2\,;4)\) et \(Q(5\,;9)\),

Contrôles calculés :

Définition — Ajustement affine

Réaliser un ajustement affine consiste à choisir une droite \(y=ax+b\) qui représente de façon raisonnable la tendance d’un nuage. Pour une valeur \(x\), le nombre \(ax+b\) est alors une valeur estimée, à distinguer de l’ordonnée effectivement observée.

Le choix n’est pas automatiquement pertinent. Il faut examiner la forme du nuage, la dispersion, les observations atypiques et le contexte. Si toutes les abscisses sont identiques, on ne peut pas décrire l’évolution de \(y\) quand \(x\) varie à partir de ces données.

Intuition — Une règle de tendance, pas un fil qui relie tout

On peut imaginer poser une règle au milieu d’une bande de points. La règle résume la direction de la bande ; elle n’essaie pas de relier successivement tous les points.

Cette image aide à comprendre qu’une droite peut être utile sans passer par chaque observation. Elle s’arrête là : « au milieu » n’est pas un critère numérique unique. Il faut préciser comment la droite a été choisie et vérifier que les écarts restent acceptables pour l’usage prévu.

Exemple — Les données communes aux trois méthodes

On étudie six colis fictifs. \(x\) est leur masse en kg et \(y\) leur durée de préparation en min :

Le nuage comporte les six points \((1\,;3)\), \((2\,;5)\), \((3\,;4)\), \((4\,;8)\), \((5\,;9)\), \((6\,;10)\). Pour placer \((3\,;4)\), on lit \(3\) kg horizontalement, puis \(4\) min verticalement ; les graduations de chaque axe sont régulières et les deux nombres restent associés. Le nuage monte globalement, avec un écart notable pour le troisième point. Une droite est un résumé possible, à discuter selon la précision recherchée.

Le point moyen a pour abscisse la moyenne des six abscisses et pour ordonnée la moyenne des six ordonnées :

Méthode — Première voie : ajuster au jugé

Premier geste. Tracer le nuage, puis examiner si une bande approximativement rectiligne apparaît. On place une droite représentative de la direction générale, en cherchant un compromis visuel entre les points situés de part et d’autre. Le point moyen peut servir de repère. La droite ne doit pas obligatoirement passer par deux points observés, ni par l’origine.

Après avoir tracé la droite, on choisit deux points sur cette droite, assez éloignés et faciles à lire. Leurs coordonnées permettent d’en déterminer une équation. Deux élèves peuvent obtenir des ajustements voisins : le choix au jugé n’est pas unique.

Exemple expliqué. Sur le nuage des colis, on peut proposer la droite passant par \(G(3{,}5\,;6{,}5)\) et \(P(5{,}5\,;9{,}5)\). P est choisi sur la droite proposée ; il n’est pas un colis observé.

Contrôle et limite. Pour \(x=5{,}5\), \(1{,}5\times5{,}5+1{,}25=8{,}25+1{,}25=9{,}5\) : on retrouve P. Pour le colis de \(3\) kg, la durée prévue est \(1{,}5\times3+1{,}25=5{,}75\) min, au lieu de \(4\) min observées. Il y a donc un écart de \(4-5{,}75=-1{,}75\) min. Le choix visuel ne garantit pas une précision particulière.

À toi — Deux propositions visuelles

Pour les six colis précédents, on propose \(y=1{,}5x+1{,}25\) ou \(y=0{,}2x+8\). Compare leurs valeurs prévues en \(x=1\) et \(x=6\). Laquelle suit le mieux la tendance générale ? Cette comparaison prouve-t-elle qu’elle est la meilleure de toutes les droites ? Indice, après une tentative : Les durées observées aux deux extrémités sont \(3\) min et \(10\) min.

Correction expliquée.

Pour la première droite :

Ce contrôle ne porte que sur deux observations et deux droites candidates. Il ne démontre pas une optimalité parmi toutes les droites et doit être complété par l’examen de tout le nuage.

Méthode — Deuxième voie : la méthode de Mayer

Premier geste. Ranger les observations selon les abscisses croissantes, en conservant chaque couple.

1. Partager les observations ordonnées en deux groupes de tailles égales, ou aussi proches que possible. Si l’effectif est impair, annoncer dans quel groupe on place l’observation supplémentaire.

2. Calculer le point moyen \(G_1\) du premier groupe, puis le point moyen \(G_2\) du second. Chaque moyenne est divisée par l’effectif de son propre groupe.

3. Si les abscisses de \(G_1\) et \(G_2\) diffèrent, déterminer l’équation de la droite \((G_1G_2)\) avec la formule des deux points.

4. Tracer cette droite, puis contrôler sa position par rapport au nuage complet.

Le partage en deux groupes fournit une procédure précise. Il ne prouve pas que la droite obtenue soit la plus proche de tous les points selon tous les critères possibles.

Exemple — Calcul complet pour les six colis

Les abscisses \(1,2,3,4,5,6\) sont déjà ordonnées. Les trois premiers couples forment le premier groupe ; les trois derniers forment le second.

Description. Les six points bleus représentent les observations entre \(1\) et \(6\) kg. La droite passe par les points moyens \(G_1(2\,;4)\) et \(G_2(5\,;9)\), non par tous les points bleus. Son prolongement en pointillés après \(6\) kg produit des estimations hors de la plage observée ; la croix rouge à \((8\,;14)\) n’est pas une mesure.

Méthode — Troisième voie : un ajustement par les moindres carrés

Un outil numérique peut choisir une droite en appliquant un critère précis. Pour chaque observation, il compare la valeur observée et la valeur prévue, élève cet écart au carré, puis cherche une droite qui rende la somme de ces carrés aussi petite que possible. C’est la méthode des moindres carrés.

Cette description donne le sens du nom ; la formule de calcul des coefficients et sa démonstration ne sont pas demandées ici. L’objectif scolaire est de produire un ajustement avec un outil, puis de l’interpréter et de contrôler sa pertinence.

Premier geste. Saisir les deux colonnes en gardant les couples et vérifier quel caractère joue le rôle de \(x\).

1. Dans un tableur ou une calculatrice, saisir les \(x\) et les \(y\) dans deux colonnes correspondantes.

2. Demander un nuage XY, puis un ajustement affine, souvent appelé « linéaire » par le logiciel.

3. Ne pas imposer le passage par l’origine sauf si le contexte le justifie explicitement : cela changerait la méthode.

4. Afficher les coefficients et suffisamment de chiffres pour effectuer les estimations. Conserver la précision interne du calcul et arrondir les résultats seulement à la fin.

5. Contrôler l’équation sur le graphique et calculer au moins une valeur prévue.

Pour les six colis, le calcul fournit

Pour \(x=3\), le modèle exact donne

À toi — Essai guidé : trouver et contrôler une équation

Deux points moyens sont \(G_1(1\,;3)\) et \(G_2(3\,;7)\). Détermine l’équation de leur droite.

1. Calcule \(a=(7-3)/(3-1)\). 2. Utilise \(3=a\times1+b\) pour trouver \(b\). 3. Vérifie les deux points. Indice, après une tentative : Le dénominateur \(3-1\) est non nul ; soustrais ensuite le même nombre aux deux membres.

Correction expliquée.

Pour \(x=1\), \(2\times1+1=3\). Pour \(x=3\), \(2\times3+1=6+1=7\). Les deux points sont retrouvés. Critères de réussite. Je garde le même ordre dans les deux différences, je vérifie le dénominateur et je contrôle les deux ordonnées.

À toi — À tenter avant de consulter

Voici quatre observations fictives :

Correction expliquée.

Les moyennes du premier groupe sont \((0+2)/2=1\) et \((1+5)/2=3\) : \(G_1(1\,;3)\). Celles du second groupe sont \((4+6)/2=5\) et \((6+12)/2=9\) : \(G_2(5\,;9)\).

Pour réaliser la deuxième méthode, saisir une ligne par observation : \(0\) et \(1\) sur la première ligne de données, \(2\) et \(5\) sur la deuxième, \(4\) et \(6\) sur la troisième, \(6\) et \(12\) sur la quatrième. La colonne de gauche est celle de \(x\) ; celle de droite est celle de \(y\). Sélectionner ces quatre couples pour un nuage XY, demander un ajustement affine sans imposer \(b=0\), puis afficher l’équation : on obtient \(y=1{,}7x+0{,}9\). Si l’outil affiche \(y=ax+b\), on doit lire \(a=1{,}7\), \(b=0{,}9\) ; certains outils emploient d’autres lettres, donc regarder la formule entière.

Le modèle fourni par cette autre méthode prévoit

Les méthodes n’emploient pas le même critère : Mayer relie deux moyennes de groupes ; les moindres carrés utilisent les écarts à toutes les observations. Elles peuvent donc produire des coefficients différents. Chacune demande ensuite un contrôle de pertinence. Critères de réussite. Je calcule les moyennes sur les bons groupes, j’utilise une différence d’ordonnées divisée par une différence d’abscisses et j’interprète le signe du résidu.

À toi — Quel résumé proposer ?

On dispose de trois situations. Propose une représentation ou un résumé pertinent, et précise ce qui manquerait pour aller plus loin.

1. On relève la couleur d’un emballage et l’atelier qui l’a produit.

2. Un nuage quantitatif est approximativement regroupé dans une bande droite montante.

3. Les points quantitatifs sont \((0\,;0)\), \((1\,;1)\), \((2\,;4)\) et \((3\,;9)\).

Indice, après une tentative : Commence par la nature des caractères, puis examine la forme. Aucune méthode de calcul ne doit faire oublier cette vérification.

Correction expliquée.

1. Les deux caractères sont qualitatifs. Un tableau croisé d’effectifs, qui compte combien d’emballages de chaque couleur proviennent de chaque atelier, éventuellement suivi de barres comparatives, est pertinent ; un ajustement affine sur des codes arbitraires de couleurs et d’ateliers ne l’est pas.

2. Une droite peut résumer la tendance. On peut la choisir au jugé, par deux groupes moyens ou avec un outil numérique ; on doit encore préciser le choix, regarder les écarts et le contexte.

3. Les hausses successives de \(y\) sont \(1\), \(3\), \(5\) pour des hausses de \(x\) égales à \(1\). La courbure est marquée. Il vaut mieux décrire le nuage et refuser de présenter une droite comme un bon résumé global. Trouver un autre type de modèle n’est pas exigé dans cette tâche. Critères de réussite. Ma réponse justifie le choix par les données et leur forme, pas seulement par la disponibilité d’un bouton sur un logiciel.

Piège et reprise — Réparer le calcul du coefficient directeur

Première erreur. Pour \(P(2\,;4)\) et \(Q(5\,;9)\), écrire \(a=(5-2)/(9-4)=3/5\). On a placé la variation horizontale au numérateur. Le coefficient directeur mesure au contraire la variation de \(y\) par unité de \(x\).

Rappel et exemple plus simple. Si l’on passe de \((1\,;2)\) à \((3\,;8)\), \(x\) augmente de \(2\) et \(y\) de \(6\). Pour une unité de \(x\), l’augmentation de \(y\) est \(6/2=3\). Donc \(a=3\).

Nouvel essai. Calcule \(a\) pour \((0\,;1)\) et \((2\,;5)\).

Correction expliquée.

La variation verticale est \(5-1=4\) et l’horizontale \(2-0=2\), non nulle. Donc \(a=4/2=2\). La hausse prévue pour \(2\) unités de \(x\) est \(2\times2=4\), ce qui retrouve la hausse de \(y\).

Retour. Entre P et Q, la hausse verticale vaut \(9-4=5\) et l’horizontale \(5-2=3\) ; le bon coefficient est \(5/3\). Avec \(3/5\), une hausse de \(3\) en \(x\) ne prévoirait que \((3/5)\times3=9/5=1{,}8\) en \(y\), au lieu de \(5\).

Piège et reprise — Une droite proposée n’est pas une loi exacte

Erreur de raisonnement. « L’outil affiche une droite, donc tous les points doivent être sur cette droite. » L’erreur est de confondre ajustement et égalité exacte.

Rappel et exemple simple. Pour les observations \((0\,;1)\), \((1\,;2)\), \((2\,;4)\), la droite \(y=1{,}5x+1\) passe par les deux points extrêmes, mais prévoit \(2{,}5\) en \(x=1\), contre \(2\) observé. L’écart \(2-2{,}5=-0{,}5\) n’empêche pas de discuter l’intérêt de ce résumé.

Nouvel essai. La droite \(y=2x+1\) prévoit quelle valeur en \(x=2\) ? Un point observé \((2\,;6)\) est-il sur cette droite ?

Correction expliquée.

La valeur prévue est \(2\times2+1=5\). Comme \(6\neq5\), le point \((2\,;6)\) n’est pas sur la droite ; son résidu est \(6-5=1\). Il reste possible d’utiliser cette droite comme ajustement si les écarts et le contexte le permettent.

Retour. Pour les colis, la droite de Mayer prévoit \(f(3)=5+2/3=17/3\approx5{,}67\) min, pas \(4\) min. Il faut conserver cet écart dans l’interprétation, non modifier le point pour le faire entrer dans le modèle.

Définition — Dans la plage des données ou au-delà ?

Une interpolation estime une valeur pour une abscisse située entre la plus petite et la plus grande abscisse observées. Une extrapolation prolonge le modèle au-delà de cette plage.

Dans les deux cas, le résultat dépend du modèle choisi. L’extrapolation est particulièrement fragile : aucun point de la zone extrapolée ne permet de contrôler directement le prolongement.

Méthode — Calculer une valeur estimée

Premier geste. Écrire l’abscisse demandée, son unité, et la plage des abscisses observées.

1. Décider s’il s’agit d’une interpolation ou d’une extrapolation.

2. Remplacer \(x\) par cette valeur dans le modèle choisi.

3. Calculer en conservant la précision, puis arrondir selon la demande.

4. Conclure avec l’unité et les mots « le modèle estime », non « la mesure est ».

5. Vérifier la plausibilité : signe, ordre de grandeur, contraintes du contexte et éloignement des données.

Exemple — Durée prévue pour 4 kg puis 8 kg

Pour les colis, les masses observées vont de \(1\) à \(6\) kg et le modèle de Mayer est \(f(x)=\frac53x+\frac23\).

Pour \(4\) kg : \(4\) appartient à l’intervalle \([1\,;6]\). L’estimation est une interpolation :

Pour \(8\) kg : \(8>6\), donc on extrapole :

Méthode — Retrouver une abscisse à partir d’une valeur estimée

Si le modèle est \(y=ax+b\), chercher l’abscisse correspondant à une valeur \(Y\) revient à résoudre \(ax+b=Y\).

Lorsque \(a\neq0\), on soustrait \(b\) aux deux membres puis on divise par \(a\) :

Si \(a=0\), le modèle est constant : si \(Y=b\), toute abscisse du domaine convient ; si \(Y\neq b\), aucune ne convient. On ne divise pas par zéro.

Exemple — À quelle masse correspondent 10 minutes selon le modèle ?

Avec \(f(x)=\frac53x+\frac23\), on cherche \(x\) tel que \(f(x)=10\) :

Vérification dans l’équation de départ :

À toi — Essai guidé : calculer et qualifier

Un modèle de durée est \(f(x)=2{,}4x+1{,}2\) pour une masse \(x\) en kg. Il a été construit à partir de masses comprises entre \(2\) et \(7\) kg.

1. Estime la durée pour \(5\) kg, puis pour \(9\) kg. Nomme les deux situations. 2. Cherche la masse correspondant à une durée estimée de \(18\) min. Indice, après une tentative : Pour la deuxième question, soustrais \(1{,}2\) aux deux membres avant de diviser par \(2{,}4\).

Correction expliquée.

Pour \(5\) kg :

Pour \(9\) kg :

Pour retrouver la masse :

À toi — À tenter avant de consulter

Une réserve est modélisée par \(r(t)=-1{,}5t+12\), où \(t\) est une durée en heures et \(r(t)\) un volume en litres. Les observations ont porté sur \(0\leq t\leq6\).

1. Estime le volume à \(t=4\) h. 2. À quelle durée le modèle associe-t-il un volume de \(6\) L ? 3. Que prévoit le modèle à \(t=10\) h ? Cette valeur peut-elle représenter le volume réel d’une réserve ? Indice, après une tentative : Une valeur négative peut être le résultat exact du calcul sans être un volume physiquement admissible.

Correction expliquée.

1. \(r(4)=(-1{,}5)\times4+12=-6+12=6\). Le modèle estime \(6\) L à \(4\) h. C’est une interpolation car \(4\in[0\,;6]\).

2. On résout \(-1{,}5t+12=6\) :

3. \(r(10)=(-1{,}5)\times10+12=-15+12=-3\). Comme \(10>6\), on extrapole. Le calcul prévoit \(-3\) L, valeur impossible pour le volume d’une réserve. Ce n’est pas une erreur d’addition : c’est une limite du prolongement du modèle. On doit adapter ou abandonner ce modèle pour cette prévision. Critères de réussite. Je garde le signe du coefficient, j’exécute les mêmes opérations aux deux membres et je distingue un résultat algébrique d’une grandeur possible.

À toi — Une mesure, une estimation ou une certitude ?

Le modèle des colis, construit entre \(1\) et \(6\) kg, donne \(14\) min pour \(8\) kg. Un compte rendu écrit : « Le colis de \(8\) kg a été préparé en \(14\) min. »

1. Corrige cette phrase sans changer le calcul. 2. Une extrapolation est-elle nécessairement fausse ? Une interpolation est-elle nécessairement exacte ? 3. Pourquoi deux modèles voisins peuvent-ils donner des prévisions très différentes loin des données ? Indice, après une tentative : L’écart entre les modèles \(1{,}5x+1\) et \(1{,}6x+1\) vaut \(0{,}1x\).

Correction expliquée.

1. Une formulation correcte est : « En prolongeant le modèle au-delà des masses observées, on estime une durée de \(14\) min pour \(8\) kg. Cette estimation doit être vérifiée. » Aucune mesure d’un colis de \(8\) kg n’a été donnée.

2. Une extrapolation peut tomber juste, mais elle est moins contrôlée par les données. Une interpolation peut être inexacte : le modèle ne passe pas nécessairement par les observations, et une nouvelle observation peut s’en écarter.

3. Pour les deux modèles proposés, l’écart est

Piège et reprise — Réparer une résolution trop rapide

Première erreur. Pour \(2x+3=11\), écrire \(x=11/2-3\). La division par \(2\) a été appliquée sans prendre en compte le \(+3\).

Rappel et exemple simple. Dans \(x+3=7\), on soustrait d’abord \(3\) aux deux membres : \(x+3-3=7-3\), d’où \(x=4\).

Nouvel essai. Résous \(3x+2=14\).

Correction expliquée.

On soustrait \(2\) aux deux membres :

Retour. Dans \(2x+3=11\), soustraire \(3\) donne \(2x=8\), puis diviser par \(2\) donne \(x=4\). Le calcul erroné \(11/2-3=5{,}5-3=2{,}5\) ne convient pas : \(2\times2{,}5+3=5+3=8\neq11\).

À toi — À reprendre plus tard : refaire une démarche entière

Une autre série fictive est donnée par

Correction expliquée.

Premier groupe :

Pour \(x=4\), \(f(4)=1{,}5\times4+1=6+1=7\). C’est une interpolation, puisque \(4\in[1\,;7]\), mais la valeur \(7\) reste une estimation.

Pour \(x=9\), \(f(9)=1{,}5\times9+1=13{,}5+1=14{,}5\). C’est une extrapolation ; elle suppose que la tendance observée continue au-delà de \(7\).

Enfin,

À retenir — Choisir, calculer, puis limiter la conclusion

• Examiner le nuage avant d’ajuster : une droite peut être inadaptée, même si un logiciel accepte de la calculer.

• Nommer la méthode utilisée. Au jugé, Mayer et moindres carrés ne sont pas trois noms pour un calcul identique.

• Pour deux points d’abscisses différentes, \(a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\) puis \(b=y_1-ax_1\).

• Pour prévoir, substituer dans \(ax+b\). Pour retrouver l’abscisse, résoudre \(ax+b=Y\), avec une division par \(a\) seulement si \(a\neq0\).

• Comparer l’abscisse à la plage observée : interpolation à l’intérieur, extrapolation au-delà.

• Une prévision n’est ni une mesure ni une preuve de causalité. Écrire l’unité, les limites et le degré de prudence approprié.

À toi — Lire une adresse avant d’écrire une formule

Dans une feuille, B2 contient 6 et B3 contient 16. Que vaut la formule =B2/B3 ? Quel affichage obtient-on si la cellule est au format pourcentage ?

Correction expliquée.

La formule calcule \(6/16=0{,}375\). Au format pourcentage, ce même nombre s’affiche 37,5 %. Le format change la présentation, pas la valeur stockée. Si tu écris =100*B2/B3 puis appliques le format pourcentage, 37,5 sera affiché 3750 % : le facteur 100 aura été appliqué deux fois dans la lecture.

Exemple — Une session de 16 inscrits

On relève le créneau et l’atelier choisi. Chaque personne choisit un seul créneau et un seul atelier. Les identifiants ne sont pas des mesures. La ligne 1 contient les titres ; les lignes 2 à 17 contiennent les individus.

Il s’agit d’une session distincte de celle de 40 personnes utilisée dans d’autres exemples. Ne réunis pas les deux tableaux sans savoir s’il s’agit de populations disjointes. Les modalités doivent être homogènes : « matin » et « matin avec un espace final » ne doivent pas devenir involontairement deux catégories.

Méthode — Préparer une liste exploitable

Premier geste. Écris ce que représente une ligne, puis les noms et unités des colonnes. Une ligne correspond à un individu ; une colonne à une information. Ne place pas un total au milieu des individus. Vérifie les doublons d’identifiants, les libellés et les valeurs manquantes. Un zéro numérique est une valeur, alors qu’une cellule vide peut signaler une information inconnue. Conserve les couples de données d’une même ligne : si tu tries, trie tout le tableau, pas une colonne isolée.

Méthode — Compter une intersection de deux critères

Premier geste. Pour G2, cherche les lignes dont B vaut « matin » et C vaut « photo ». Une formule directe est

Elle examine les deux colonnes ligne par ligne, puis compte les lignes qui satisfont les deux critères. Les plages doivent correspondre aux mêmes individus et avoir la même taille. Pour recopier le calcul vers les autres cases, on peut écrire en G2 :

Les plages de données sont fixes. Le critère de ligne vient de F2 ; le critère de colonne vient de G1. Recopie la formule de G2 dans toute la plage G2:I3, puis calcule les marges : J2 contient =SOMME(G2:I2) ; recopie J2 en J3. G4 contient =SOMME(G2:G3) ; recopie G4 vers H4 puis I4. Enfin J4 contient =SOMME(J2:J3).

Exemple — Voir ce qui change et ce qui ne change pas

La référence B2 a une ligne et une colonne relatives : elles s’adaptent selon le déplacement à la recopie. Dans $B$2, les deux sont bloquées. Dans $F2, la colonne F est bloquée, mais la ligne peut changer. Dans G$1, seule la ligne 1 est bloquée.

Les 16 individus restent dans les plages absolues. Le tableau attendu est :

Contrôle indépendant : les deux lignes donnent \(8+8=16\) ; les trois colonnes donnent \(5+7+4=16\). La case « matin et audio » correspond bien aux identifiants E03, E04 et E05.

À toi — Prévoir le résultat d’une formule

Écris la formule de H3 par recopie de G2. Explique le rôle des signes dollar. Puis donne une formule pour la fréquence des inscrits à audio parmi ceux du soir. Indice, après une tentative : La case H3 vaut 4 ; le total des inscrits du soir est en J3.

Correction expliquée.

La formule de H3 est

F3 fournit « soir » et H1 fournit « audio ». Les plages restent les lignes 2 à 17. La fréquence cherchée s’obtient avec =H3/J3 : \(4/8=0{,}50\), affiché 50 %. Un dénominateur 16 aurait donné la fréquence dans toute la session, pas parmi les inscrits du soir. Critères de réussite. Je peux lire les deux critères et nommer la population du dénominateur avant de lancer le calcul.

Méthode — Fixer le bon total dans une recopie

Pour un tableau des fréquences dans chaque créneau, place la première formule en G8 : =G2/$J2. Recopiée horizontalement, elle devient =H2/$J2, puis =I2/$J2. Le dénominateur reste le total de la ligne. Recopiée une ligne plus bas, elle devient =G3/$J3 : la ligne de référence change avec le créneau.

Pour les fréquences dans toute la session, une première formule placée en G12 serait =G2/$J$4. Recopiée horizontalement ou verticalement, elle conserve le total général de 16. Applique ensuite le format pourcentage, sans ajouter un facteur 100 à la formule.

Contrôle : les fréquences de chaque ligne du premier tableau somment à 100 %. Pour le second tableau, ce sont les six cases réunies qui somment à 100 %, pas chaque ligne.

À toi — Une même case, trois résultats

Avec la liste de 16 personnes, détermine par une formule : la part des inscrits à audio dans toute la session ; la part du matin parmi ceux d’audio ; la part d’audio parmi ceux du matin. Donne une phrase pour chaque résultat. Indice, après une tentative : Les nombres utiles sont 7, 3, 8 et 16. Les mots « parmi » indiquent le dénominateur.

Correction expliquée.

L’audio regroupe 7 inscrits sur 16 : =H4/J4, soit \(7/16=0{,}4375=43{,}75\%\). Parmi les 7 inscrits à audio, 3 viennent le matin : =H2/H4, soit \(3/7\approx0{,}428571\), environ 42,86 %. Parmi les 8 inscrits du matin, 3 choisissent audio : =H2/J2, soit \(3/8=0{,}375=37{,}5\%\). Les deux dernières fréquences ont le même numérateur et des dénominateurs différents : le tableur ne peut pas choisir la question à notre place.

Piège et reprise — Une formule correcte au départ, fausse après recopie

Première erreur : écrire =G2/J2, puis recopier vers la droite pour des fréquences dans la ligne. La formule obtenue en H8 devient =H2/K2 si celle de départ était en G8. Le total a glissé en K2. Rappel : un dollar bloque l’élément placé après lui. Exemple plus simple : copier =A2/$D2 une colonne à droite donne =B2/$D2, en gardant la colonne D. Nouvel essai : copie =G2/$J$4 une colonne à droite puis une ligne vers le bas. Correction : on obtient =H3/$J$4. Le numérateur suit le déplacement, le total général reste fixé. Retour : pour les fréquences du matin, utilise =G2/$J2 ; la recopie vers la droite garde bien J2. Vérifie \(2/8+3/8+3/8=8/8=1\), soit 100 %.

Définition — Trois opérations sur des conditions

ET est vrai quand les deux conditions sont vraies. OU est ici inclusif : il est vrai quand au moins une condition est vraie, y compris les deux. NON renverse vrai et faux. Un filtre conserve les lignes correspondant au critère ; il ne transforme pas automatiquement le dénominateur d’une formule déjà écrite.

Exemple — Comparer deux sélections

Dans une colonne libre, la formule =ET(B2="matin";C2="audio") renvoie VRAI ou FAUX pour le premier individu ; recopie-la jusqu’à la ligne 17. Les trois VRAI correspondent à E03, E04, E05.

La condition =OU(B2="matin";C2="photo") sélectionne les huit personnes du matin et les trois personnes du soir inscrites à photo : 11 personnes. Additionner \(8+5\) compterait deux fois E01 et E02, à la fois du matin et de photo. On corrige par \(8+5-2=11\).

La condition =NON(C2="photo") sélectionne les 11 personnes qui ne font pas photo. Le total 11 est identique, mais les individus sélectionnés ne sont pas les mêmes que dans la sélection précédente. Deux effectifs égaux ne définissent pas nécessairement le même ensemble.

À toi — Ne pas perdre les valeurs frontières

Une durée est stockée en D2. Traduis « au moins 30 minutes et moins de 60 minutes », puis teste les valeurs 29, 30, 59 et 60.

Correction expliquée.

La condition est =ET(D2>=30;D2<60). Elle renvoie FAUX pour 29, VRAI pour 30, VRAI pour 59 et FAUX pour 60. « Au moins 30 » inclut 30 ; « moins de 60 » exclut 60. Le critère opposé est « moins de 30 ou au moins 60 », soit =OU(D2<30;D2>=60). Cette vérification aux frontières évite un individu oublié ou compté dans deux classes.

Méthode — Comprendre le comptage, sans boîte noire

On peut exprimer le même procédé par un algorithme : initialiser un compteur à 0 ; lire chaque individu ; si ses deux critères sont vérifiés, ajouter 1 ; après la dernière ligne, renvoyer le compteur. Une valeur ne doit être ajoutée qu’après le test de cette ligne.

Le résultat est 2, pour « matin et audio ». Réinitialiser le compteur dans la boucle ferait perdre les lignes précédentes. Ne pas le réinitialiser avant un nouveau comptage mélangerait deux expériences.

Exemple — Six colis, six couples conservés

Dans N1, écris « Masse (kg) » et dans O1 « Durée (min) ». Saisis les couples suivants, ligne par ligne :

Sélectionne N1:O7 pour un nuage de points XY : N fournit les abscisses, O les ordonnées. Un graphique en lignes à axe de catégories peut espacer également des abscisses pourtant inégalement espacées ; ce n’est pas le type à choisir pour un nuage quantitatif.

Le point moyen a pour coordonnées les moyennes des deux colonnes : N9 contient =MOYENNE(N2:N7) et O9 contient =MOYENNE(O2:O7). On trouve

Méthode — Utiliser la droite fournie par l’outil

Observe d’abord le nuage : un ajustement affine doit être raisonnable. Dans le graphique XY, demande une tendance linéaire et l’affichage de son équation, sans imposer le passage par l’origine. Avec la convention \(y=ax+b\), on peut aussi obtenir les coefficients par :

L’ordre est ordonnées connues, puis abscisses connues. Il faut au moins deux abscisses distinctes. Pour ces données, l’outil de moindres carrés donne \(a\approx1{,}457143\) et \(b=1{,}4\). La théorie qui établit ces formules n’est pas nécessaire pour les utiliser ici.

À 4,5 kg, l’estimation est \(1{,}457143\times4{,}5+1{,}4\approx7{,}96\) minutes. Il s’agit d’une interpolation, car 4,5 est entre 1 et 6. C’est une estimation du modèle, pas une durée mesurée. Garde assez de décimales dans les coefficients pendant le calcul et arrondis le résultat à une précision compatible avec les données.

À toi — Justifier une feuille, pas seulement obtenir un nombre

Une feuille calcule =MOYENNE(N2:N9) pour les masses après avoir placé la moyenne en N9 ; une autre utilise =MOYENNE(N2:N7). Laquelle faut-il conserver ? Pourquoi ne faut-il pas incorporer G comme un individu supplémentaire dans le nuage de données ?

Correction expliquée.

On conserve la seconde formule. La première inclut sa propre cellule N9 et crée une référence circulaire. Les six lignes de données sont N2:N7 ; G est un résumé calculé à partir de ces lignes, pas une septième observation indépendante. La même séparation doit être conservée pour les ordonnées et pour le graphique. Critères de réussite. Ma justification distingue données, résultats calculés et dépendances d’une formule.

À toi — À refaire sans regarder les formules

À partir de la liste des 16 inscrits, retrouve le nombre des personnes du soir qui ne font pas photo. Donne leur proportion parmi les personnes du soir. Puis explique comment construire un graphique comparant les trois ateliers entre les deux créneaux. Indice, après une tentative : « Soir et non photo » peut être compté directement, ou en retirant les photos du total du soir.

Correction expliquée.

Le soir compte 8 personnes, dont 3 font photo. Les autres sont \(8-3=5\), soit les 4 d’audio et la personne d’écriture. Une formule possible est =NB.SI.ENS(B2:B17;"soir";C2:C17;"<>photo"). La proportion dans le soir vaut \(5/8=0{,}625=62{,}5\%\) ; le dénominateur n’est pas 16. Pour comparer les trois ateliers, sélectionne les six effectifs du tableau avec leurs étiquettes de lignes et de colonnes, sans les marges, puis construis des barres groupées. Indique « effectifs » sur l’axe et conserve une même couleur pour chaque créneau. Ici les deux créneaux ont le même total ; avec des totaux différents, on comparerait souvent les fréquences dans chaque créneau plutôt que les seuls effectifs.

À retenir — Un résultat reproductible doit pouvoir être contrôlé

Une feuille fiable garde les données complètes, les couples appariés, les formules et leurs références. On contrôle les bornes d’un filtre, les totaux d’un comptage, les dénominateurs d’une fréquence, le type XY d’un nuage et le sens de la droite ajustée. Un beau graphique ne corrige pas une mauvaise sélection de cellules.

À toi — Que manque-t-il à cette phrase ?

« Cette année, 60 incidents ont été signalés sur l’itinéraire A et 40 sur B : A est donc deux fois plus risqué. » Identifie au moins deux problèmes.

Correction expliquée.

D’abord, \(60/40=1{,}5\), pas 2 : les effectifs sont dans un rapport de 1,5. Surtout, le nombre de trajets effectués sur chacun des itinéraires n’est pas donné. Si 60 trajets avec incident sont recensés sur 30 000 trajets en A et 40 sur 10 000 en B, les fréquences observées sont \(60/30000=0{,}002=0{,}2\%\) et \(40/10000=0{,}004=0{,}4\%\). A compte davantage d’incidents, mais une fréquence observée plus faible dans cet exemple fictif. Sans champ et dénominateur, l’effectif ne suffit pas à comparer. Si cette distinction bloque, reprends localement : fréquence \(=\) nombre de cas \(\div\) nombre d’observations comparables. Une fréquence observée ne dit pas, à elle seule, ce qui provoquerait les incidents.

Méthode — Avant de reprendre un chiffre

Premier geste. Complète la phrase « On mesure …, chez …, à …, avec …».

1. Source et date : qui a produit la donnée ? À quelle date porte-t-elle ? Quand a-t-elle été publiée ou révisée ? Une publication en 2026 peut porter sur 2025.

2. Champ et unité : personnes, ménages, trajets, euros, milliers ? France entière ou un autre territoire ? Toute la population ou seulement un groupe ?

3. Définition et dénominateur : quel événement ou caractère compte-t-on ? Parmi qui calcule-t-on la proportion ? Les catégories sont-elles disjointes et complètes ?

4. Recueil : recensement, enquête, réponses volontaires ? Qui a pu ne pas répondre ? Une absence de réponse n’est pas un « non » observé.

5. Représentation et calcul : échelles régulières, axes lisibles, unités homogènes, arrondis adaptés, effectifs ou fréquences ?

6. Portée : observation, estimation, projection ou explication causale ? Quelles hypothèses seraient nécessaires pour aller plus loin ?

Cette grille n’invalide pas automatiquement une donnée : elle permet de savoir ce qu’elle renseigne vraiment.

Définition — Observation, estimation et projection

Une observation est une information recueillie dans l’étude. Une estimation est une valeur évaluée à partir de données et d’une méthode. Une projection prolonge un modèle sous des hypothèses. Une association statistique désigne un lien observé entre variables ; une relation causale affirmerait qu’une modification de l’une produit un effet sur l’autre. Ces termes ne sont pas interchangeables.

Exemple — Temps complet et temps partiel en 2025

Le tableau suivant est un extrait des résultats de l’enquête Emploi de l’Insee. Il concerne les personnes en emploi vivant en logement ordinaire en France, en 2025. Chaque colonne décrit la répartition du groupe indiqué ; ce ne sont pas des effectifs.

Source : Insee, « Temps de travail et quotité travaillée selon le sexe et l’âge », données 2025, publication du 25 mars 2026, tableau consulté le 1 novembre 2026. insee.fr/fr/statistiques/2489589. Pourcentages publiés arrondis.

Phrase de lecture complète. Parmi les femmes en emploi du champ de l’enquête, 26,6 % travaillent à temps partiel. On ne peut pas transformer cette phrase en « parmi les personnes à temps partiel, 26,6 % sont des femmes » : le dénominateur a changé.

Comparaison. La différence des parts est \(26{,}6-9{,}2=17{,}4\) points de pourcentage. Le rapport vaut \(26{,}6/9{,}2\approx2{,}89\) : la part du temps partiel est environ 2,89 fois celle observée chez les hommes du même champ. Ce rapport porte sur des proportions, pas sur le nombre de femmes et d’hommes concernés.

Agrégation. La moyenne simple des deux pourcentages serait \((26{,}6+9{,}2)/2=35{,}8/2=17{,}9\), donc 17,9 %, et non les 17,7 % publiés pour l’ensemble. Les deux groupes n’ont pas nécessairement le même effectif. Le total global utilise leurs poids ; les arrondis des données demandent aussi de la prudence. Les effectifs exacts ne sont pas fournis par cet extrait.

À toi — Écrire ce qui est permis, refuser ce qui ne l’est pas

Avec le tableau, complète : « Parmi les hommes …, 90,8 % …». Peut-on calculer le nombre total de femmes à temps partiel ? Peut-on affirmer que 26,6 % de toutes les femmes vivant en France travaillent à temps partiel ? Indice, après une tentative : Relis le champ : seules les personnes en emploi, vivant en logement ordinaire, sont considérées.

Correction expliquée.

« Parmi les hommes en emploi vivant en logement ordinaire en France en 2025, 90,8 % travaillent à temps complet. » Pour le nombre de femmes à temps partiel, il faudrait multiplier 0,266 par l’effectif des femmes en emploi du même champ ; cet effectif n’est pas donné. La dernière affirmation élargit à tort le groupe à toutes les femmes : le tableau ne porte pas sur les personnes sans emploi ou hors du champ décrit. Critères de réussite. Ma phrase précise le groupe, le caractère et la date. Je n’invente pas l’effectif absent.

À toi — Rédiger une conclusion défendable

Une note accompagnant le tableau affirme : « Les femmes représentent 26,6 % des temps partiels. Le temps partiel est 17,4 % plus fréquent chez elles. Ces chiffres prouvent que le sexe est la seule cause de l’écart. » Corrige chacune des trois phrases, puis rédige une conclusion courte et exacte. Indice, après une tentative : Repère successivement un dénominateur, une différence de proportions et une affirmation sur les causes.

Correction expliquée.

La première inverse les populations de référence : 26,6 % est la part du temps partiel parmi les femmes en emploi du champ. La deuxième confond points et évolution relative : l’écart est de 17,4 points. Si l’on prend 9,2 % comme référence, l’écart relatif est \((26{,}6-9{,}2)/9{,}2=17{,}4/9{,}2\approx1{,}8913\), soit environ 189,1 % ; on peut aussi dire « environ 2,89 fois la part ». La troisième conclut à une cause unique sans étude des autres facteurs. Le tableau décrit une association, pas une démonstration de causalité. Une rédaction possible : « En 2025, parmi les personnes en emploi vivant en logement ordinaire en France, la part du temps partiel est de 26,6 % chez les femmes et de 9,2 % chez les hommes, soit 17,4 points d’écart. Ce tableau ne donne ni les effectifs concernés ni une explication causale de cet écart. »

Exemple — Une série de population en France métropolitaine

On étudie la population au 1^er janvier, en milliers d’habitants. Pour éviter de calculer avec de grandes années, on pose \(x=\text{année}-2018\).

Source : Insee, « Population au 1er janvier », tableau publié le 13 janvier 2026, champ France métropolitaine, valeurs 2018–2023, consulté le 1 novembre 2026. insee.fr/fr/statistiques/5225246. Le champ n’est pas celui de la France entière. 64 844 milliers signifie \(64844\times1000=64\,844\,000\) habitants, et non 64 844 habitants. Sur cette série, \(x\) est un rang de date et non l’âge d’un individu.

Méthode — Construire un modèle simple, puis annoncer sa portée

On partage les six dates dans l’ordre chronologique en deux groupes de trois. Les points moyens sont :

Exemple — Deux calculs, deux degrés de prudence

Interpolation. Pour \(x=2{,}5\), entre les dates 2020 et 2021, le modèle donne

Extrapolation. Pour le 1^er janvier 2024, \(x=2024-2018=6\), au-delà des rangs observés 0 à 5. Le modèle donne

À toi — Une unité ou un statut peut tout changer

Un élève écrit : « La population a gagné 1322 habitants de 2018 à 2023 et celle de 2024 vaut exactement 66 351 670 habitants. » Rectifie les unités et le statut des deux informations. Puis calcule le taux de variation entre les deux valeurs publiées.

Correction expliquée.

La différence publiée vaut \(66166-64844=1322\) milliers, soit 1 322 000 habitants. L’extrapolation de 2024 est une estimation de modèle, pas un effectif exact établi. Ses nombreuses décimales ne constituent pas une précision réelle. Le taux entre 2018 et 2023 prend 2018 pour base :

Exemple — Deux valeurs, deux impressions visuelles

Deux effectifs fictifs valent 90 et 95. Avec des barres partant de zéro, la seconde barre est environ \(95/90\approx1{,}056\) fois plus haute. Si l’on coupe l’axe à 85, les parties visibles ont pour hauteurs 5 et 10 : la seconde partie visible est deux fois plus haute. Cela ne signifie pas que l’effectif a doublé.

Piège et reprise — Confondre une part et les personnes qui composent cette part

Première erreur : lire « 26,6 % des femmes en emploi sont à temps partiel » comme « 26,6 % des temps partiels sont des femmes ». Rappel et exemple plus simple : dans un groupe fictif de 10 filles et 30 garçons, 5 filles et 15 garçons font du théâtre. La part du théâtre parmi les filles est \(5/10=50\%\) ; la part des filles parmi les pratiquants du théâtre est \(5/(5+15)=5/20=25\%\). Le numérateur 5 est identique, mais les références diffèrent. Nouvel essai : si les pratiquants sont 4 filles et 16 garçons, avec les mêmes effectifs de départ, compare les deux parts. Correction : théâtre parmi les filles : \(4/10=40\%\) ; filles parmi les pratiquants : \(4/(4+16)=4/20=20\%\). Retour : le tableau de l’Insee donne une répartition dans chaque groupe. Pour inverser la question, il faut les effectifs ou des informations suffisantes sur les poids des groupes. Une égalité qui apparaîtrait sur certains nombres ne démontrerait pas que l’on peut inverser une phrase avec « parmi ».

Méthode — Ne pas transformer une association en cause

Premier geste. Demande-toi si l’étude observe seulement deux variables, ou si elle permet d’isoler un effet. Dans des données fictives sur des sorties estivales, ventes de boissons fraîches et fréquentation d’une piscine peuvent augmenter ensemble. La température et les jours de vacances peuvent influencer les deux. Une corrélation ne prouve donc pas que l’une provoque l’autre. Elle peut suggérer une question à étudier, pas régler à elle seule cette question. L’absence d’une tendance affine visible ne prouve pas non plus l’absence de tout lien : le lien peut être courbe ou masqué par d’autres facteurs.

À toi — Qui répond à l’enquête ?

Une consultation sur un site d’activités sportives recueille 800 réponses volontaires ; 72 % des répondants souhaitent davantage de compétitions. Peut-on écrire « 72 % des habitants de la ville souhaitent davantage de compétitions » ? Propose une conclusion et une amélioration du recueil.

Correction expliquée.

Non : les répondants ne représentent pas automatiquement tous les habitants. Le recrutement par un site spécialisé et la réponse volontaire peuvent favoriser certaines opinions. Une conclusion fidèle est « 72 % des 800 répondants à cette consultation souhaitent davantage de compétitions », soit \(0{,}72\times800=576\) répondants. Pour étudier tous les habitants, il faudrait une méthode de sélection adaptée à cette population et examiner les non-réponses. Augmenter simplement le nombre de volontaires ne supprime pas nécessairement le biais de recrutement.

À toi — Une reprise différée de l’esprit critique

Dans une enquête fictive, 120 personnes d’une commune A sur 300 déclarent emprunter un vélo, contre 180 personnes d’une commune B sur 900. Un graphique donne seulement les barres 120 et 180 ; son titre annonce « B adopte davantage le vélo ». Quelle conclusion est certaine ? Quelle autre comparaison change le classement ? Quelle causalité ne peut-on pas affirmer ? Indice, après une tentative : Distingue nombre de répondants concernés, proportion dans les répondants et population totale des communes.

Correction expliquée.

Dans les réponses recueillies, B compte davantage de personnes déclarant emprunter un vélo : 180 contre 120. Mais les fréquences parmi les répondants sont \(120/300=0{,}40=40\%\) en A et \(180/900=0{,}20=20\%\) en B. La part observée est donc plus forte en A. Sans méthode d’enquête et sans champ plus précis, on n’étend pas automatiquement ces proportions à tous les habitants. On ne conclut pas non plus que vivre dans A cause un recours au vélo deux fois plus fréquent : de nombreux facteurs peuvent différer entre les communes. Critères de réussite. Ma réponse donne un calcul vérifiable, nomme son dénominateur et distingue description, généralisation et causalité.

À retenir — Une bonne conclusion a des limites explicites

« Dans cette population, à cette date, avec cette définition et ces données, on observe …» est une phrase plus solide qu’une conclusion générale sans champ. Une limite n’annule pas le résultat : elle indique où il s’applique. Le calcul, la source et l’interprétation doivent tous être contrôlés.

Complément facultatif — Un paradoxe d’agrégation, expliqué par les poids

Deux méthodes fictives A et B sont utilisées pour réaliser des assemblages. Les dossiers sont classés en deux catégories, faciles et difficiles. « Réussite » a la même définition dans les deux groupes.

Sur les dossiers faciles, A réussit \(81/90=0{,}90=90\%\) et B réussit \(19/20=0{,}95=95\%\) : B a la meilleure fréquence observée. Sur les dossiers difficiles, A réussit \(1/10=10\%\) et B réussit \(16/80=0{,}20=20\%\) : B a encore la meilleure fréquence. Pourtant, après regroupement, A réussit 82 % et B 35 %. Il n’y a pas de contradiction : A traite surtout des dossiers faciles, tandis que B traite surtout des dossiers difficiles.

Proposition — Explication par les proportions de catégories

Si deux catégories disjointes et exhaustives ont des proportions de réussite \(p\) et \(q\), et si la première représente une part \(w\) du total, alors la proportion globale est

Exemple — Appliquer la formule aux valeurs réelles de l’exemple

Pour A, \(w=90/100=0{,}90\), \(p=0{,}90\) et \(q=0{,}10\) :

À toi — Changer les poids, sans changer les taux internes

On construit une autre situation fictive : A traite 20 dossiers faciles avec 90 % de réussite et 80 difficiles avec 10 % ; B traite 80 faciles avec 95 % et 20 difficiles avec 20 %. Calcule les deux taux globaux. Que montre cette comparaison avec la première situation ? Indice, après une tentative : Reviens aux effectifs de réussites avant d’additionner.

Correction expliquée.

Pour A : \(0{,}90\times20=18\) réussites faciles et \(0{,}10\times80=8\) difficiles. Le taux global vaut \((18+8)/(20+80)=26/100=26\%\). Pour B : \(0{,}95\times80=76\) et \(0{,}20\times20=4\) ; le taux vaut \((76+4)/(80+20)=80/100=80\%\). Les taux dans chaque catégorie n’ont pas changé, mais les taux globaux ont changé parce que la composition des groupes a changé. Les deux comparaisons, globale et par catégorie, répondent à des questions différentes. Critères de réussite. Je donne les poids et les taux, puis j’explique l’inversion sans lui attribuer automatiquement une cause.

Complément facultatif — Une propriété du procédé, pas une preuve d’optimalité

On répartit les couples d’une série en deux groupes non vides d’effectifs \(n_1\) et \(n_2\). Leurs points moyens sont \(G_1(x_1;y_1)\) et \(G_2(x_2;y_2)\), avec \(x_1\ne x_2\). La droite de Mayer est la droite passant par ces deux points. La propriété suivante explique une vérification utile ; elle ne prouve pas que cette droite est le « meilleur » ajustement selon tous les critères.

Propriété — Le point moyen de toute la série appartient à cette droite

Si la droite passant par \(G_1\) et \(G_2\) a pour équation \(y=ax+b\), alors le point moyen \(G(\bar x;\bar y)\) de toute la série vérifie \(\bar y=a\bar x+b\). Ce résultat reste vrai lorsque les deux groupes ont des effectifs différents.

Corollaire — Cas des deux groupes de même effectif

Si \(n_1=n_2=n>0\), alors \(\bar x=(x_1+x_2)/2\) et \(\bar y=(y_1+y_2)/2\) : \(G\) est le milieu du segment \([G_1G_2]\).

À toi — Vérifier une construction

Deux groupes de même effectif ont pour points moyens \(G_1(2;4)\) et \(G_2(5;9)\). Retrouve le point moyen global et vérifie qu’il appartient à la droite \(y=(5/3)x+2/3\). Si les deux groupes avaient des effectifs différents, pourrait-on encore prendre leur milieu ?

Correction expliquée.

Comme les effectifs sont égaux, \(G((2+5)/2;(4+9)/2)=G(3{,}5;6{,}5)\). On vérifie :

À retenir — Quelques écritures à retrouver rapidement

Pour \(n\) observations complètes et de même poids,

À toi — Situation 1

36 adhérents représentent 18 % d’une association. Retrouve son effectif. Parmi les adhérents, 60 % utilisent une application ; parmi ces utilisateurs, 25 % activent une notification. Quelle proportion de toute l’association utilise l’application avec cette notification activée ? Combien de personnes cela représente-t-il ? Indice, après une tentative : Dans la seconde partie, le groupe « utilisateurs » est intermédiaire.

À toi — Situation 2

Un tarif de 50 euros augmente de 10 %, puis diminue de 10 %. Un élève annonce un retour à 50 euros. Vérifie. Indépendamment, un autre tarif coûte 54 euros après une hausse de 8 % : retrouve sa valeur initiale. Indice, après une tentative : Fais apparaître la valeur intermédiaire et l’équation qui relie le départ à l’arrivée.

À toi — Situation 3

200 inscrits choisissent un seul moment et une seule activité. Complète les trois cases vides, puis donne deux contrôles du total.

Indice, après une tentative : Dans chaque ligne et chaque colonne, les catégories constituent une répartition sans double comptage.

À toi — Situation 4

Avec le tableau précédent, détermine la fréquence des personnes qui viennent en semaine et font de la musique : dans toute la population, parmi les personnes de semaine, puis parmi les musiciens. Compare ensuite la part de la musique dans chacun des deux moments. Quelle précaution faut-il prendre avant d’affirmer qu’un moment « favorise » cette pratique ? Indice, après une tentative : Le même numérateur 45 répond à trois questions différentes.

À toi — Situation 5

On veut représenter la répartition des trois activités pour les 200 inscrits, puis comparer cette répartition entre semaine et week-end. Propose une représentation pour chacune des deux questions. Si tu choisis un disque pour l’ensemble, calcule l’angle du secteur musique. Dans une autre étude, six valeurs sont \(2;4;4;6;8;12\). Donne la moyenne, la médiane, les quartiles et l’étendue. Utilise pour les quartiles les rangs arrondis à l’entier supérieur de \(n/4\) et \(3n/4\). Indice, après une tentative : Pour comparer des groupes de tailles différentes, réfléchis aux hauteurs que tu souhaites réellement comparer.

À toi — Situation 6

Six essais indépendants ont donné les couples suivants : le volume traité \(x\) est en litres et la durée \(y\) en minutes.

Construis le nuage et calcule son point moyen. Propose un ajustement affine raisonnable et explique comment tu l’as obtenu. Estime la durée pour 3,5 litres puis pour 9 litres ; distingue le statut de ces deux estimations. Les données prouvent-elles une proportionnalité exacte ? Indice, après une tentative : Une méthode possible consiste à partager les observations ordonnées en deux groupes de trois ; d’autres ajustements justifiés sont possibles.

À toi — Situation 7

Une feuille contient les 200 individus de la situation 3 sur les lignes 2 à 201. Le moment est en colonne B et l’activité en C. Écris une formule comptant « semaine et musique ». Si le tableau récapitulatif place l’effectif 45 en H2, le total de semaine 90 en J2 et le total général 200 en J4, quelle formule sert à calculer la fréquence de cette case dans le total général, en gardant ce total fixe à la recopie ? Indice, après une tentative : Sépare le comptage ET de la division par le bon total.

À toi — Situation 8

Un formulaire en ligne recueille 80 réponses volontaires, dont 75 % favorables à un nouvel atelier. Une affiche annonce : « Trois habitants sur quatre souhaitent cet atelier. Le succès est certain et doublera l’an prochain, d’après la droite du graphique. » Rédige un avis critique en quatre phrases au maximum. Indice, après une tentative : Distingue répondants et habitants, souhait et comportement, observation et prolongement de modèle.

Exemple — Correction de la situation 1

L’effectif total \(N\) vérifie \(36=0{,}18N\). On divise les deux membres par le coefficient \(0{,}18>0\) :

Exemple — Correction de la situation 2

La première hausse donne \(50\times1{,}10=55\) euros. La baisse suivante porte sur 55 : \(55\times0{,}90=49{,}50\) euros. Le coefficient global est \(1{,}10\times0{,}90=0{,}99\), donc le taux global \(0{,}99-1=-0{,}01=-1\%\). Le tarif n’est pas revenu au départ.

Pour le second tarif, la hausse de 8 % correspond à \(c=1{,}08\). On écrit \(54=1{,}08V_i\). Comme \(1{,}08\ne0\), on divise les deux membres par 1,08 :

Exemple — Correction de la situation 3

En semaine, les jeux comptent \(90-30-45=60-45=15\) personnes. Le week-end, la lecture compte \(110-20-40=90-40=50\) personnes. Le total vaut \(90+110=200\).

Contrôle des colonnes : \(30+50=80\), \(45+20=65\), \(15+40=55\), puis \(80+65+55=200\). Contrôle des lignes : \(30+45+15=90\) et \(50+20+40=110\), puis \(90+110=200\). Tous les effectifs sont entiers et non négatifs.

Exemple — Correction de la situation 4

L’intersection « semaine et musique » compte 45 personnes.

• Dans tout le groupe : \(45/200=0{,}225=22{,}5\%\).

• Parmi les personnes de semaine : \(45/90=0{,}50=50\%\).

• Parmi les musiciens : \(45/65=9/13\approx0{,}6923\), soit environ 69,23 %.

Dans le week-end, la part de la musique vaut \(20/110=2/11\approx0{,}1818\), soit environ 18,18 %. La part observée est donc plus forte en semaine, 50 % contre environ 18,18 %, même si le groupe du week-end est plus nombreux. Le verbe « favorise » suggère une cause. Les inscrits n’ont pas forcément les mêmes préférences ou les mêmes contraintes ; le tableau permet une comparaison descriptive, pas une preuve que le moment choisi provoque une préférence.

Exemple — Correction de la situation 5

Pour une seule population répartie en trois activités exclusives, des barres ou un disque conviennent. La part de musique est \(65/200=0{,}325\) ; son angle vaut

Pour les six valeurs ordonnées, la somme est \(2+4+4+6+8+12=36\) et la moyenne vaut \(36/6=6\). Les deux valeurs centrales sont la troisième et la quatrième, 4 et 6 : la médiane est \((4+6)/2=5\). Pour le premier quartile, \(6/4=1{,}5\) : on retient le rang 2, premier entier supérieur ou égal, donc \(Q_1=4\). Pour le troisième, \(3\times6/4=18/4=4{,}5\) : on retient le rang 5, donc \(Q_3=8\). L’étendue vaut \(12-2=10\). La moyenne 6 et la médiane 5 ne répondent pas à la même définition.

Exemple — Correction de la situation 6

Le nuage contient les points \((1;2)\), \((2;5)\), \((3;5)\), \((4;8)\), \((5;9)\) et \((6;13)\). Chaque abscisse reste associée à son ordonnée ; on ne relie pas ces essais indépendants par une courbe qui inventerait des observations intermédiaires.

Description. Les points suivent une tendance croissante approximativement rectiligne, sans être exactement alignés. La droite proposée est \(y=2x\) ; le point moyen orange est situé en \((3{,}5;7)\). Les moyennes sont

Exemple — Correction de la situation 7

Le comptage peut s’écrire

Les deux critères sont appliqués à la même ligne ; on obtient 45. Pour la fréquence globale, la formule est =H2/$J$4. La valeur stockée est \(45/200=0{,}225\) ; au format pourcentage, elle s’affiche 22,5 %. Le total J4 est entièrement bloqué, car ni sa ligne ni sa colonne ne doivent changer à la recopie. La formule =H2/J2 donnerait 50 % et répondrait à la question « parmi ceux de semaine ».

Exemple — Correction de la situation 8

Une réponse possible : « Parmi les 80 répondants volontaires, \(0{,}75\times80=60\) sont favorables à l’atelier. Ces répondants ne représentent pas automatiquement tous les habitants. Une intention déclarée ne garantit ni une inscription effective ni le succès du projet. Un prolongement de droite est une projection sous hypothèses, pas une certitude de doublement. » Critères de réussite. Je corrige le champ, le passage de l’intention au fait et le statut de la prévision, sans prétendre que l’enquête ne contient aucune information utile.

À retenir — La dernière vérification

Avant de valider une réponse, demande-toi : « Ai-je répondu à la bonne question, avec le bon dénominateur, la bonne unité et le bon degré de certitude ? » Retrouver le bon nombre n’est qu’une partie du travail mathématique ; expliquer ce qu’il signifie est l’autre.