Exercice écrit

Exercice 33

Dossier 2kπ — sujet officiel

Exercice source 125 Nombres complexes : partie algébrique

En posant \(z=a+ib\) avec \(a\) et \(b\) deux réels, résoudre \(z^2=\overline z\).
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Pour la suite de l’exercice, on notera \(z_0\) la solution dont la partie imaginaire est strictement positive.

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Montrer que \(z_0\times\overline{z_0}=1\).
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Donner la forme algébrique de \(z_0\), \(z_0^2\) et \(z_0^3\).
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Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(z_0^{3n}=1\).
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En déduire la valeur de \(z_0^{3n+1}\) et \(z_0^{3n+2}\) pour tout entier naturel \(n\).
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En déduire la valeur de \(z_0^{999}\) et \(z_0^{1000}\).
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