Exercice écrit

Brevet — Métropole, septembre 2014 — Arithmétique

Brevet — sujet officiel

Métropole septembre 2014 Arithmétique

Énoncé

Léa pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.

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Étude d’un exemple :

5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
1. Calculer \(5\times 7+1\).
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2. Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?
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Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul.

	A	B	C	D	E
1		Nombre impair	Nombre impair suivant	Produit de ces nombres impairs consécutifs	Résultat obtenu
2	\(x\)	\(2x+1\)	\(2x+3\)	\((2x+1)(2x+3)\)	\((2x+1)(2x+3)+1\)
3	0	1	3	3	4
4	1	3	5	15	16
5	2	5	7	35	36
6	3	7	9	63	64
7	4	9	11	99	100
8	5	11	13	143	144
9	6	13	15	195	196
10	7	15	17	255	256
11	8	17	19	323	324
12	9	19	21	399	400

D’après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
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Montrer que cet entier est un multiple de 4.
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Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3. Lesquelles ? Aucune justification n’est attendue.

Formule 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3)

Formule 2 : =(2*B3+1)*(2*C3+3)

Formule 3 : =B3*C3

Formule 4 : =(2*D3+1)*(2*D3+3)
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Étude algébrique :
1. Développer et réduire l’expression \((2x+1)(2x+3)+1\).
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2. Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
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